中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1某光滑曲面由曲线y=f(x)绕竖直y轴旋转一周形成，一自然半径为a、质量为m、劲 度系数为k的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为 参考答案：y=C-2nπ2 -(x-a)2(C为任意常数)。 mg 2如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模 型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中 每条棱均由电阻R的材料构成，则AB节点间的等效电阻 为 考省案子风 3.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500m的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼 一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置， 叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细 胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像 素)：所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。若将复眼看作球面圆锥，球面半径 r=1.5mm,则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径d约为（请给出两位有效数字） 参考答案：30um 4.开路电压U。与短路电流Isc是半导体pn结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间 的关系表达式：U。= ,式中各符号代表的物理量分别 为 参考答案：U。= kT 式中e为电子电量的绝对值，k为波尔兹曼常量，T为绝 Is e 对温度，Is为p-n结的反向饱和电流。 评分标准：本题共20分。 第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30m之间即得5分，否则0分。第4 题第一空格占4分，第二空格占1分
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第 26 届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1.某光滑曲面由曲线 y f x ( ) 绕竖直 y 轴旋转一周形成，一自然半径为a 、质量为m 、劲 度系数为k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为 。 参考答案： 2 2 2 y C x a ( ) mg （C 为任意常数）。 2.如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模 型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中 每 条 棱 均 由 电 阻 R 的 材 料 构 成 ， 则 AB 节 点 间 的 等 效 电 阻 为 。 参考答案： 7 12 R 3.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm的光，它是由 5000 个小眼构成的复眼，小眼 一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置， 叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细 胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像 素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。若将复眼看作球面圆锥，球面半径 r mm 1.5 ，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径 d 约为（请给出两位有效数字） 。 参考答案：30m 4.开路电压U0 与短路电流 SC I 是半导体 p-n 结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间 的关系表达式：U0 = ，式中各符号代表的物理量分别 为 。 参考答案： 0 ln 1 SC S IkT U e I ，式中 e 为电子电量的绝对值，k 为波尔兹曼常量，T 为绝 对温度， S I 为 p-n 结的反向饱和电流。 评分标准：本题共 20 分。 第 1、2 题每题填对均得 5 分，第 3 题只要答案在 27-30 m 之间即得 5 分，否则 0 分。第 4 题第一空格占 4 分，第二空格占 1 分
二、(15分)天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。这涉及几何尺寸 的按比例缩放。为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。 1.在牛顿力学框架中，设质点在力场F(r)中作轨道运动，且有F(ar)=aF(r）,k为常数， ”为位矢。若几何尺寸按比率α缩放显示，确定运行时间的缩放率B。 2.由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比。 参考答案 1设位矢、时间缩放分别为r=r,1=B1,故速度、加速度满足关系 .△r lim- 1 0△d=BN0△1B (1) △y-lim va a=ma立FmF (2) 缩放前后质点均满足牛顿运动方程，即 ma=F(r) (3) ma F(r) (4) 利用(2)式及F(ar)=aF(r),(4)式化简为 ma=ak-B2F(r） (5) 对照(3)式，得 k-1 B=a (6) 2.万有引力场中，有k=2,设想轨道尺寸按 a'=al (7) 缩放，则周期按 r=Br=a'r (8) 缩放，故有 x22 5=下 (9 评分标准：本题共15分 第一小题占10分，正确得出(6)式得得10分，其中正确得出(5)式得5分。 第二小题占5分。正确得出(9)式得5分
二、（15 分）天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。这涉及几何尺寸 的按比例缩放。为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。 1.在牛顿力学框架中，设质点在力场 F r( ) 中作轨道运动，且有 ( ) ( ) k F r F r ，k 为常数， r 为位矢。若几何尺寸按比率 缩放显示，确定运行时间的缩放率。 2.由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比。 参考答案 1.设位矢、时间缩放分别为 / / r r t t , ,故速度、加速度满足关系 / / / / 0 0 lim lim t t r r v v t t （1） / / / / 2 2 0 0 lim lim t t v v a v t t (2) 缩放前后质点均满足牛顿运动方程，即 ma F r ( ) (3) / / ma F r ( ) (4) 利用（2）式及 ( ) ( ) k F r F r ，（4）式化简为 1 2 ( ) k ma F r （5） 对照（3）式，得 1 2 k （6） 2.万有引力场中，有k 2，设想轨道尺寸按 / l （7） 缩放，则周期按 1 / 2 （8） 缩放，故有 / 2 2 / 3 3 l l （9） 评分标准： 本题共 15 分 第一小题占 10 分，正确得出（6）式得得 10 分，其中正确得出（5）式得 5 分。 第二小题占 5 分。正确得出（9）式得 5 分
三、(20分)在水平面上有两根垂直相交 的内壁光滑的连通细管，管内放置两个 质量均为m、电荷量均为q的同号带点 质点A和B。初始时，质点A至两管交 点O的距离为d,质点B位于交点O 处，速度相互垂直，方向如图所示，大小 均为4。三 k为静电力常量。求 B Uo A md 在以后的运动中，它们之间的最小距离。 参考答案： 两质点的相对位矢为r=产4-T8,记其单位矢量为，='。由于质点约束在管内运动， 所受合力必定沿运动方向，即静电力沿运动方向的分力，两质点运动方程 ma4=- -实官访 (1) 相减可得 ma= (2) 其中a=aB-a4为B相对于A的加速度。(2)式表明，B相对于A的运动即力心固定之库 仑势场中质点的m运动，其电势能为： U=kg' 2 (3) 中心力场中运动质点的角动量、能量守恒。此处角动量与能量均应为B相对A的运动的值， 可由初始条件定出： L-mdix(J-mdmd (4)
三、（20 分）在水平面上有两根垂直相交 的内壁光滑的连通细管，管内放置两个 质量均为 m、电荷量均为 q 的同号带点 质点 A 和 B。初始时，质点 A 至两管交 点 O 的距离为 d，质点 B 位于交点 O 处，速度相互垂直，方向如图所示，大小 均为 2 0 kq u md ，k 为静电力常量。求 在以后的运动中，它们之间的最小距离。 参考答案： 两质点的相对位矢为r r r A B ，记其单位矢量为 r r e r 。由于质点约束在管内运动， 所受合力必定沿运动方向，即静电力沿运动方向的分力，两质点运动方程 2 2 ( ) A r kq ma e i i r 2 2 ( ) B r kq ma e j j r （1） 相减可得 2 2 r kq ma e r （2） 其中 B A a a a 为 B 相对于 A 的加速度。（2）式表明，B 相对于 A 的运动即力心固定之库 仑势场中质点的 m 运动，其电势能为： 2 2 kq U r (3) 中心力场中运动质点的角动量、能量守恒。此处角动量与能量均应为 B 相对 A 的运动的值， 可由初始条件定出： 2 0 0 ( ) kq L mdi u j u i md md （4） y x A u0 O B u0 d
2m-%j+,+g=2g 、 (5) d d 所求量即近力心点到力心的距离rn,该点速度山n必与矢径me,垂直，故有： kq mru =md (6) md ,2g2 2m2+ 22 (7) d 从而解得 +5d r=- (8) 4 评分标准：本题共20分 正确得出(3)式得10分：(4)、(5)、(6)、(7)与(8)各占2分。 四、(10分)热机和热泵利用物质热力学循环实现相反功能：前者从高温处吸热，将部分热 量转化为功对外输出，其余向低温处放出：后者依靠外界输入功，从低温处吸热，连同外界 做功转化成的热量一起排向高温处，按热力学第二定律，无论热机还是热泵，若工作物质循 环过程中只与温度为T,I的两个热源接触，则吸收的热量Q,巴，满足不等式9+马≤0， T 其中热量可正可负，分别表示从热源吸热与向热源放热。 原供暖设备原本以温度T的锅炉释放的热量向房间直接供暖，使室内温度保持恒温T, 高于户外温度T2。为提高能源利用率，拟在利用原有能源的基础上采用上述机器改进供暖 方案，与直接供暖相比，能耗下降的理论极限可达到多少？ 参考答案： 为表述方便，以下热量均用绝对值表示。 可以采用热机热泵联合供暖方案：利用热机从锅炉吸收热量，转化为功：此功驱动热泵， 从户外吸热，向室外放热。 热机的高温热源锅炉，低温热源可选室内或户外环境。以室外为例，设热机从锅炉吸热 Q,向室外放热Q0,则有 g0_go≤0 (1) To To 热泵的高、低温热源分别为室内、户外环境。设热泵从户外吸热Q2,向室外放热Q2,则有 g+9≤0 (2) T 通过热机、热泵联合工作，室内获得的总能量为 91=Q0+92 (3)
2 2 2 0 0 1 ( ) 2 2 kq kq E m u j u i d d （5） 所求量即近力心点到力心的距离 mr ，该点速度 m u 必与矢径 m r r e 垂直，故有： 2 m m kq mr u md md (6) 2 2 2 2 1 2 2 m m kq kq mru r d (7) 从而解得 1 5 4 r d （8） 评分标准： 本题共 20 分 正确得出（3）式得 10 分；（4）、（5）、(6)、(7)与(8)各占 2 分。 四、（10 分）热机和热泵利用物质热力学循环实现相反功能：前者从高温处吸热，将部分热 量转化为功对外输出，其余向低温处放出；后者依靠外界输入功，从低温处吸热，连同外界 做功转化成的热量一起排向高温处，按热力学第二定律，无论热机还是热泵，若工作物质循 环过程中只与温度为 1 2 T T, 的两个热源接触，则吸收的热量 1 2 Q Q, 满足不等式 1 2 1 2 0 Q Q T T ， 其中热量可正可负，分别表示从热源吸热与向热源放热。 原供暖设备原本以温度 T0的锅炉释放的热量向房间直接供暖，使室内温度保持恒温 T1, 高于户外温度 T2。为提高能源利用率，拟在利用原有能源的基础上采用上述机器改进供暖 方案，与直接供暖相比，能耗下降的理论极限可达到多少？ 参考答案： 为表述方便，以下热量均用绝对值表示。 可以采用热机热泵联合供暖方案：利用热机从锅炉吸收热量，转化为功；此功驱动热泵， 从户外吸热，向室外放热。 热机的高温热源锅炉，低温热源可选室内或户外环境。以室外为例，设热机从锅炉吸热 Q0 ,向室外放热Q10 ，则有 0 10 0 0 0 Q Q T T (1) 热泵的高、低温热源分别为室内、户外环境。设热泵从户外吸热 2 Q ,向室外放热 12 Q , 则有 (2) 通过热机、热泵联合工作，室内获得的总能量为 Q Q Q 1 10 12 (3) 12 2 1 2 0 Q Q T T
将(1)、(2)两式相加，得 2+9-9≤0 (4) TTT 若热机以户外环境为低温热源，同理可得上式。 由能量守恒定律给出 9.9+Q2 (5) 直接供暖时，给室内供热Q,锅炉所释放的热量为 =0 (6) 联立(4)(5)两式，可得热机热泵供暖锅炉释放的热量为 9≥ -0, (7) T(T。-T2)1 能耗下降率为 2-2s(T-T) (8) T(To-T) 理论极限为上式取等号。 本题共10分，其中(4)式占4分。 五、(15分)磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们 熟悉的欧姆定律，本题研究的问题即为一例。 设xoy平面内有密度（单位体积内的电子数）为n的二维电子气。平面内沿x轴方向 存在均匀电场E=Ei(i为轴正方向的单位矢量)，垂直于平面的z轴方向存在匀强磁场， 磁感应强度为B=Bk(k为z轴正方向的单位矢量)。已知平面内的电子运动受到的散射阻 力与速度y成正比，可等效地用一时间参量：描述为-心，m为电子质量，试求在稳态沿 T x和y方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度的电流）j,和j,将结果用电子 eB 电荷量绝对值e、n、m、E、T及o表示出，o= m 参考答案： 列出x和y方向的二维电子的牛顿方程如下： ma,=-eE-ey B-my; (1) T may =ev B-- (2) 在稳态，v不随时间变化，电子无加速度，a=a=0。因此由(2)式得
将（1）、（2）两式相加，得 0 2 1 0 2 1 0 Q Q Q T T T (4) 若热机以户外环境为低温热源，同理可得上式。 由能量守恒定律给出 Q Q Q 1 0 2 （5） 直接供暖时，给室内供热 1 Q , 锅炉所释放的热量为 / Q Q 0 1 （6） 联立（4）（5）两式，可得热机热泵供暖锅炉释放的热量为 0 1 2 0 1 1 0 2 ( ) ( ) T T T Q Q T T T （7） 能耗下降率为 / 0 0 2 0 1 / 0 1 0 2 ( ) ( ) Q Q T T T Q T T T （8） 理论极限为上式取等号。 本题共 10 分，其中（4）式占 4 分。 五、（15 分）磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们 熟悉的欧姆定律，本题研究的问题即为一例。 设 xoy 平面内有密度（单位体积内的电子数）为 n 的二维电子气。平面内沿 x 轴方向 存在均匀电场 E Ei （ i 为轴正方向的单位矢量），垂直于平面的 z 轴方向存在匀强磁场， 磁感应强度为 B Bk （k 为 z 轴正方向的单位矢量）。已知平面内的电子运动受到的散射阻 力与速度v 成正比，可等效地用一时间参量 描述为 mv ，m 为电子质量，试求在稳态沿 x 和 y 方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度的电流） xj 和 y j ，将结果用电子 电荷量绝对值 e、n、m、E、 及表示出， eB m 。 参考答案： 列出 x 和 y 方向的二维电子的牛顿方程如下： x x y mv ma eE ev B （1） y y x mv ma ev B （2） 在稳态，v 不随时间变化，电子无加速度， 0 x y a a 。因此由（2）式得