中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 三、(20分)如图所示，一质量为m、底边AB长为 b、等腰边长为a、质量均匀分布的等腰三角形平板， 可绕过光滑铰链支点A和B的水平轴x自由转动： 图中原点O位于AB的中点，y轴垂直于板面斜向上， B z轴在板面上从原点O指向三角形顶点C.今在平板 上任一给定点M,(x,0,)加一垂直于板面的拉力Q (1)若平衡时平板与竖直方向成的角度为，求拉 力Q以及铰链支点对三角形板的作用力NA和N: (2)若在三角形平板上缓慢改变拉力Q的作用点M的位置，使平衡时平板与竖直方向成的角度 仍保持为，则改变的作用点M形成的轨迹满足什么条件时，可使铰链支点A或B对板作用力的 垂直平板的分量在M变动中保持不变？ 解答： (1)平板受到重力P、拉力2，、铰链对三角形板的作用力NA和NB,各力及其作用点的坐标 分别为： P =(0,-mgsino,-mg coso),(0,0,h): 2M,=(0,Q,0),(x,0,o): N=(N,NN,(号0.0： b NB=(N,N,N),（-20,O) 式中 a2、b2 是平板质心到x轴的距离」 平板所受力和（对O点的）力矩的平衡方程为 ∑F=N+N=0 ① >F,=Q+NAy+NBy-mgsin=0 ② ∑F=N+N-mg cosp=0 ∑M,=mghsin-Q·z=0 ④ 6 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
6 三、（20 分）如图所示，一质量为 m、底边 AB 长为 b、等腰边长为 a、质量均匀分布的等腰三角形平板， 可绕过光滑铰链支点 A 和 B 的水平轴 x 自由转动； 图中原点 O 位于 AB 的中点，y 轴垂直于板面斜向上， z 轴在板面上从原点 O 指向三角形顶点 C. 今在平板 上任一给定点M ( ,0, ) 0 0 0 x z 加一垂直于板面的拉力Q. （1）若平衡时平板与竖直方向成的角度为，求拉 力 Q 以及铰链支点对三角形板的作用力 NA和 NB； （2）若在三角形平板上缓慢改变拉力 Q 的作用点 M 的位置，使平衡时平板与竖直方向成的角度 仍保持为，则改变的作用点 M 形成的轨迹满足什么条件时，可使铰链支点 A 或 B 对板作用力的 垂直平板的分量在 M 变动中保持不变？ 解答： （1）平板受到重力 PC 、拉力 M0 Q 、铰链对三角形板的作用力 NA 和 NB，各力及其作用点的坐标 分别为： C P (0, sin , cos ) mg mg ， (0,0, ) h ； M0 Q (0, ,0) Q ， 0 0 ( ,0, ) x z ； A A A A ( , , ) N N N N x y z ， ( ,0,0) 2 b ； B B B B ( , , ) N N N N x y z ， ( ,0,0) 2 b 式中 2 1 2 3 4 b h a 是平板质心到 x 轴的距离. 平板所受力和（对 O 点的）力矩的平衡方程为 A Bx 0 F N N x x ① A B F Q N N mg y y y sin 0 ② A B F N N mg z z z cos 0 ③ 0 sin 0 M mgh Q z x ④ M0 A B x Q O y z C 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 Σ4，=N号 b二0 ⑤ ∑M=Ox,+N b0 b_N py 2 ⑥ 联立以上各式解得 Q=mghsin o 20 NA =-NBs, NA=Na=mg cosp 即 (0 mghsin) ⑦ 20 mg cosp), ⑧ mg cos) ⑨ (2)如果希望在M(x,0,)点的位置从点M(x,0,)缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的 作用力N保持不变，则需 Na- 常量 ⑩ M点移动的起始位置为M。,由⑩式得 b_2x=b_2x0 ① 222020 或 ② 这是过A宁00)点的直线 (*) 7 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
7 B A 0 2 2 y z z b b M N N ⑤ 0 A B 0 2 2 z y y b b M Q x N N ⑥ 联立以上各式解得 0 mgh sin Q z ， N N A B x x ， 0 0 0 sin 2 1 ( ) 2 Ay mg h b x N b z z ， 0 0 0 sin 2 1 ( ) 2 By mg h b x N b z z A B 1 cos 2 N N mg z z 即 M0 0 sin (0, ,0) mgh z Q ， ⑦ 0 A A 0 0 sin 1 2 ( , 1 ( ) , cos ) 2 2 x mg h b x N mg b z z N ， ⑧ 0 B A 0 0 sin 1 2 ( , 1 ( ) , cos ) 2 2 x mg h b x N mg b z z N ⑨ （2）如果希望在M( ,0, ) x z 点的位置从点M ( ,0, ) 0 0 0 x z 缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的 作用力 NBy 保持不变，则需 sin 2 1 ( ) 2 By mg h b x N b z z 常量 ⑩ M点移动的起始位置为M0 ，由⑩式得 0 0 0 2 2 b x b x z z z z ⑪ 或 0 0 0 2 2 b x b x z z z ⑫ 这是过A( ,0,0) 2 b 点的直线. (*) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理