中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第28届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、(15分)在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B两点，导轨直径AB=2R,AB与竖直方向间的夹角为60°，在导 轨上套一质量为m的光滑小圆环，一劲度系数为k的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A、B两点，如图28决 一1所示。当圆环位于A点正下方C点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从C点无初速度释放，圆环在时刻t运动到C点， C'0与半径0B的夹角为8，重力加速度为g.试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：(1)0=90°(2)9-30° 60 图28决一1 二、(15分)如图28决一2所示，在水平地面上有一质量为M、长度为L的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧， 两弹簧位于同一直线上，其原长分别为h和h,劲度系数分别为k和k2:两弹簧的另一端分别放着一质量为m1、m的小 球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2 与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定： 小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的：从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时， 小车移动力距离3.试求开始时弹簧1的长度1和后来弹簧2所达到的最大压缩量△2 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
第 28 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、（15 分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在 A、B 两点，导轨直径 AB=2R，AB 与竖直方向间的夹角为 60°，在导 轨上套一质量为 m 的光滑小圆环，一劲度系数为 k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与 A、B 两点，如图 28 决 —1 所示。当圆环位于 A 点正下方 C 点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从 C 点无初速度释放，圆环在时刻 t 运动到 C'点， C'O 与半径 OB 的夹角为 θ，重力加速度为 g.试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）θ=90°（2）θ=30° 二、（15 分）如图 28 决—2 所示，在水平地面上有一质量为 M、长度为 L 的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧， 两弹簧位于同一直线上，其原长分别为 l1和 l2，劲度系数分别为 k1和 k2；两弹簧的另一端分别放着一质量为 m1、m2的小 球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态，小球 2 被锁定在车底板上，小球 2 与小车右端的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速释放小球 1，当弹簧 1 的长度等于其原长时，立即解除对小球 2 的锁定； 小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时， 小车移动力距离 l3.试求开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量 Δl2. A B C C' O D θ 60° 图 28 决—1 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 dinadaiaaa 图28决一2 三、(20分)某空间站A绕地球作圆周运动，轨道半径为r=6.73×10m.一人造地球卫星B在同一轨道平面内作圆周运动， 轨道半径为=32，A和B均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了 节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。 往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图 28决一3所示。已知地球半径为Re=6.38×10m,地球表面重力加速度为g=9.80m/s3.试求： (1)飞船离开空间站A进入椭圆转移轨道所必须的速度增量△v,若飞船在远地点恰好与卫星B相遇，为了实现无相对 运动的捕获，飞船所需的速度增量△va, (2)按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A至少需要绕地球转过的角度。 转移轨道 地球 图28决一3 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
三、（20 分）某空间站 A 绕地球作圆周运动，轨道半径为 rA=6.73×106m.一人造地球卫星 B 在同一轨道平面内作圆周运动， 轨道半径为 rB=3rA/2，A 和 B 均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了 节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。 往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图 28 决—3 所示。已知地球半径为 Re=6.38×106m，地球表面重力加速度为 g=9.80m/s2.试求： （1）飞船离开空间站 A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 ΔvA，若飞船在远地点恰好与卫星 B 相遇，为了实现无相对 运动的捕获，飞船所需的速度增量 ΔvA. （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站 A 至少需要绕地球转过的角度。 A B 地球 转移轨道 图 28 决—3 k1 mm k2 L 图 28 决—2 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 四、(15分)摩尔质量为μ的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管，导管内横截面的面积为5， 一摩尔绝对温度为T的该气体的内能为5RT2,式中R为普适气体常量。 (1)将一加热装置固定放置在管得中部，以恒定功率W给气体加热，如图28决一4(a)所示。假设该装置对气流的阻 力可以忽略，当气流稳定后，管中气体虽然在加热装置附近的状态不均匀，但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋于均匀。 在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为P,温度为T。,向右流动的速度为v%.已知加热装置右边均匀稳流区域中 气体的压强为P1,试求该区域气体的温度T1. (2)现将管中的加热装置换成一多空塞，如图28决一4(b)所示。在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别为 To和Po,向右流动的速度为%：多孔塞右边气体的压强为P2(P2<P).假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何 形式的能量交换，求多孔塞右边气体的流速2 o 加 Vo Po,To P1 置 Po,To 彩 (a) (b) 图28决一4 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
四、（15 分）摩尔质量为 μ 的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管，导管内横截面的面积为 S， 一摩尔绝对温度为 T 的该气体的内能为 5RT/2，式中 R 为普适气体常量。 （1）将一加热装置固定放置在管得中部，以恒定功率 W 给气体加热，如图 28 决—4（a）所示。假设该装置对气流的阻 力可以忽略，当气流稳定后，管中气体虽然在加热装置附近的状态不均匀，但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋于均匀。 在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为 P0，温度为 T0，向右流动的速度为 v0.已知加热装置右边均匀稳流区域中 气体的压强为 P1，试求该区域气体的温度 T1. （2）现将管中的加热装置换成一多空塞，如图 28 决—4（b）所示。在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别为 T0和 P0，向右流动的速度为 v0；多孔塞右边气体的压强为 P2（P2<P0）.假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何 形式的能量交换，求多孔塞右边气体的流速 v2. （a） v0 P0,T0 P1 加热装置 （b） P0,T0 v0 P2 多孔塞 图 28 决—4 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 五、(15分)如图28决一5所示，一个三棱镜ABC的顶角α小于90°.假设光线在纸面内以任意入射角入射到AB面上的D 点，经一次折射后，又入射到AC面上，且能在AC面上发生全反射。已知光线在AC面上发生全反射的临界角为日(O<45), AC边足够长。试求下列两种情形下分别求三棱镜顶角α的取值范围： (1)如果光线仅从AB面上法线的下方入射： (2)如果光线仅从AB面上法线的上方入射。 图28决一5 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
五、（15 分）如图 28 决—5 所示，一个三棱镜 ABC 的顶角 α 小于 90°.假设光线在纸面内以任意入射角入射到 AB 面上的 D 点，经一次折射后，又入射到 AC 面上，且能在 AC 面上发生全反射。已知光线在 AC 面上发生全反射的临界角为 Θ（Θ<45°）， AC 边足够长。试求下列两种情形下分别求三棱镜顶角 α 的取值范围： （1）如果光线仅从 AB 面上法线的下方入射； （2）如果光线仅从 AB 面上法线的上方入射。 A B C D α 图 28 决—5 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 六、(20分)一电荷量为g的点电荷产生的电场在距离它为r处的电场强度的大小为E=k,号，式中k为常量：一条长直 2 导线中通有电流1时，它产生的磁场在与导线相距为，（远小于长直导线的长度）处的磁感应强度的大小为B=人头，式 中km也为常量。 上述两常量比值的平方根 ,可用如图28决一6所示的实验装置，通过低频（约几百赫兹）的电场和磁场来测定。 图中A、B表示水平放置的、电容为C1的平行板电容器的极板，极板为正方形，边长为a1(极板间距远小于a1)。极板B 固定，极板A悬挂在天平臂一端的挂钩上，M、N为两根水平放置的平行长直金属细杆，长度均为σ2，两杆间的距离为h (hK<02)。杆N固定，杆M悬挂于天平臂的另一挂钩上。C2为一个已知电容器的电容，K是电键。交流电源的电压u与时 间t的关系为u=U6cos2,其中f表示交流电的频率。各部分通过导线如图链接。已知在电键K打开时，天平已调节至平 衡。接通电源后，天平将失去平衡。通过调节交流电源的频率，可使天平重新达到平衡（注意：天平具有惯性，实际上是 交流电的平均效果使天平平衡)，试求，区的表达式。【图中的双线可视为刚性绝缘杆，单线视为导线，曲线表示柔软无 质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁场对M和N的影响。】 C2 图28决—6 七、(20分)两个劲度系数均为k的相同的轻质金属弹簧，上端固定在水平绝缘横杆上，竖直下垂，下端与一质量为m的 匀质刚性金属杆连接，金属杆的长度为，杆长与两弹簧的间距相等。将金属杆置于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场 方向垂直于纸面向内。杆、弹簧和交流电源“构成一闭合电路，金属杆和弹簧的电阻可忽略：且回路电流的磁场远弱于外 磁场B,如图28决一7(a)所示。在图28决一7(b)中，一电感和一电容并连后接到同样地交流电源u上。若在图28 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
六、（20 分）一电荷量为 q 的点电荷产生的电场在距离它为 r 处的电场强度的大小为 e 2 q E k r ，式中 ke为常量；一条长直 导线中通有电流 i 时，它产生的磁场在与导线相距为 r（远小于长直导线的长度）处的磁感应强度的大小为 2 m i B k r ，式 中 km也为常量。 上述两常量比值的平方根 e m k k 可用如图 28 决—6 所示的实验装置，通过低频（约几百赫兹）的电场和磁场来测定。 图中 A、B 表示水平放置的、电容为 C1的平行板电容器的极板，极板为正方形，边长为 a1（极板间距远小于 a1）。极板 B 固定，极板 A 悬挂在天平臂一端的挂钩上，M、N 为两根水平放置的平行长直金属细杆，长度均为 a2，两杆间的距离为 h （h<<a2）。杆 N 固定，杆 M 悬挂于天平臂的另一挂钩上。C2为一个已知电容器的电容，K 是电键。交流电源的电压 u 与时 间 t 的关系为 u=U0cos2πft，其中 f 表示交流电的频率。各部分通过导线如图链接。已知在电键 K 打开时，天平已调节至平 衡。接通电源后，天平将失去平衡。通过调节交流电源的频率，可使天平重新达到平衡（注意：天平具有惯性，实际上是 交流电的平均效果使天平平衡），试求 e m k k 的表达式。【图中的双线可视为刚性绝缘杆，单线视为导线，曲线表示柔软无 质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁场对 M 和 N 的影响。】 七、（20 分）两个劲度系数均为 k 的相同的轻质金属弹簧，上端固定在水平绝缘横杆上，竖直下垂，下端与一质量为 m 的 匀质刚性金属杆连接，金属杆的长度为 l，杆长与两弹簧的间距相等。将金属杆置于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场 方向垂直于纸面向内。杆、弹簧和交流电源 u 构成一闭合电路，金属杆和弹簧的电阻可忽略；且回路电流的磁场远弱于外 磁场 B，如图 28 决—7（a）所示。在图 28 决—7（b）中，一电感和一电容并连后接到同样地交流电源 u 上。若在图 28 A B a1 C1 K u M NJ a2 C2 h 图 28 决—6 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理