Computational Physics初值问题的提法= f(x,y)= y=y(x), xe[a,b]ymma=yoX=a数值问题的提法：求节点x处的近似值yk，步长hk=Xk+1Xk，为了方便，常取h不变，这样N=(b-a)/h。策略1）离散化：将区间「a，bl分为N个等间隔的子区间，每个区间宽度为h=(b-a)/N2寻找一个递推关系：把yn同(yn-1,Yn-2,）联系起来。ChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 初值问题的提法 0 d (, ) d ( ), [ , ] x a y f xy x y yx x ab y y = ì ï = í Þ = Î ï = î 数值问题的提法：求节点xk处的近似值 yk ，步长hk= xk+1- xk， 为了方便，常取h不变，这样 N=(b-a)/h 。 策略 1) 离散化：将区间 [a, b] 分为 N 个等间隔的子区间，每个区 间宽度为 h=(b-a)/N 2) 寻找一个递推关系: 把 yn 同 {yn-1, yn-2, .} 联系起来
Computational Physics一、 简单方法hhf"(x。)+O(h*)f(x。+h)=f(xo)+hf'(xo)+一f"(x)+一1.Euler法I(x + h)- f()+0(h)向前差分(商)f'(xo)=hf(xo + h)= f(xo)+ hf(x)+ O(hdy=f(x,y)dxJn+1 = yn + hf(xn, yn)+O(h2)川=yo1=0n=1,2,.,N—Euler法(y(xo) = yo精度太低！局部误差为O（h2）弄清常微方程初全局误差为值问题数值解法NO(h-)=0(h）的一些基本概念和构造方法的思通过欧拉方法的讨论路Chenwei Jiang,Xi'an JiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 一、简单方法 向前差分(商) î í ì = + = + + ( ) ( , ) ( ) 0 0 2 1 y x y y y hf x y O h n n n n n N = 1, 2, , —— Euler法 0 0 0 ( ) () ( ) () fx h fx f x Oh h + - ¢ = + 1. Euler法 2 3 4 0 00 0 0 ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) 2 6 h h f x h f x hf x f x f x O h += + + ¢ ¢¢ ¢¢¢ 局部误差为 O(h2) 全局误差为 NO(h2)≈O(h) 精度太低！ 2 0 00 f x h f x hf x O h ( ) () () ( ) += + + ¢ 通过欧拉方法的讨论 弄清常微方程初 值问题数值解法 的一些基本概念 和构造方法的思 路. 0 d (, ) d x a y f xy x y y = ì ï = í ï = î
ComputationalPhysicsYn+1 = yn + hf(xn, yn)+O(h2)欧拉法的几何意义y(xo)= yoyy(x)p4P2p3P￥1Xo￥4XXChenwei Jiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 欧拉法的几何意义 î í ì = + = + + ( ) ( , ) ( ) 0 0 2 1 y x y y y hf x y O h n n n n
ComputationalPhysics例题1考虑下述常微分方程（一阶常微分方程）和初值条件Euler法hy(1)y (3)h，并用.011109-.1434690.500步解.006519-.0463300.200.021625.0033180.100.001665-.0104530.050-.004098.0006660.020见Matlab程序.000333-.0020350.010chapter2example_1 Euler.m.000167-.0010140.005.000067--.0004050.002.0000330.001-.000203ChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics dy dx xy y / ; (0) 1 = - = 用Euler法求解y(1)与y(3)的值，采用不同步长h，并 与精确值比较，计算误差大小。 见Matlab程序 chapter2_exam ple_1_Euler.m 解答：方程的精确解为 2 x / 2 y e - = 例题1. 考虑下述常微分方程（一阶常微分方程）和初值条件 dy xdx y = -
ComputationalPhysics牛顿动力学方程（二阶常微分方程）d'x一维运动粒子的方程为f(x,t)m二di?用欧拉法写出具体的递推关系Yn+1 = yn +hf(xn,yn)dxpXn+1 = Xn + hp, / mxmPn+1 = Pn +hf(xn,tn)f(x,t)欧拉法的Matlab实现forn=1:N标量形式x(n+1) = x(n) + h * p(n) /mp(n+1) = p(n) + h * f(x(n), t(n))endChenwei Jiang,Xi'anJiaotongUniversity2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 牛顿动力学方程（二阶常微分方程） 一维运动粒子的方程为 ( , ) d d 2 2 f x t t x m = 用欧拉法写出具体的递推关系 ( , ) n 1 n n n y = y + h f x y + ï ï î ï ï í ì = = ( , ) d d d d f x t t p m p t x î í ì = + = + + + ( , ) / 1 1 n n n n n n n p p hf x t x x hp m 欧拉法的Matlab实现 for n = 1:N x(n+1) = x(n) + h * p(n) /m p(n+1) = p(n) + h * f(x(n), t(n)) end 标 量 形 式