该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次解，用y(代) 表示，特解用y()表示。即有y(t)=y()+y.(t) 1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y(n(t)+any(n-1)(t)+...+ay(t)+aoy(t)=O 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特 征方程为 n+ani入n-+..+a1入+ao=0
该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次解，用 y h(t) 表示，特解用 y p(t)表示。即有 y(t)=y h(t)+y p(t) 1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+ …+a1 y(1)(t)+a 0y(t)= 0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特 征方程为 λ n+a n-1 λn-1 + …+a1λ+a 0=0
()特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解 y,(0=∑ce4 =1 (2)特征根有重根。若入是特征方程的k重根，即 有元1=12=元3=.=入k,而其余(-k)个根k+1, 入k+2,,入n都是单根，则微分方程的齐次解 0=(41+A2+.+A0e2+2Ce i=K+1
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解 (2) 特征根有重根。若λ是特征方程的k重根，即 有 λ1=λ2=λ3=…=λk ， 而 其 余 (n-k) 个 根 λk+1 ， λk+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解 1 ( ) i n t h i i y t ceλ = =∑ t N i K i t k K K h i y t At At A e Ce λ λ ∑ = + − − = + + + + 1 2 2 1 1 ( ) ( ... )
3)若、必1为头轭复根，即 a12=即明在齐次解 中，相应于、 的部分为 01,02 e(A cosB t+4 sin B t) 2.特解 特解的函数形式与激动函数的形式有关。下表列出 了几种类型的激励函数f()及其所对应的特征解y,()。 选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定条 数，就可得出特解
2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出 了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。 选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系 数，就可得出特解。 1 2 ( cos sin ) t e A tA t α β β + 3）若 、 为共轭复根，即 那么，在齐次解 中，相应于 、 的部分为 α1 α1 2 =α ± jβ , 1 2 α ,α α2
激励函数及所对应的解 激励f) 特解y,（) P"+Pw-l+…十P1十P 所有特征根均不为零 cos P:cos+P2sinBt sin P cost+P2 sinBt e" Pe", 当α不是特征根时 Pite+Pe", 当a是特征单根时 Pie+P-te+…+Pte+Pe, 当a是Y重特征根时
激励函数及所对应的解
3.完全解 微分方程的全解为 ()=∑ce+y, i=1 当特征根中入1为K重根，而其余(-K)个根 均为单根时，方程的全解为 N y(0)=(4tK-+AK-2+…+A4)e+ C,e+yp0 i=K+1 根据初始条件yk)(0+)(k=0,1,…,n-1) 确定式中常数A
3.完全解 微分方程的全解为 1 () () i n t i p i y t ce y t λ = = + ∑ 当特征根中λ1为K重根，而其余(n-K)个根 均为单根时，方程的全解为 ( ) ( ... ) ( ) 1 2 2 1 1 y t A t A t A e C e y t P t N i K i t k K K i = + + + + ∑ + = + − − λ λ 根据初始条件: (0 )( 0,1, , 1) ( ) y + k = n − k L 确定式中常数A