《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第五章 二次型

第五章二次型 §1二次型的矩阵表示 教学目标掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示 教学重点：二次型分的概念、二次型的矩阵表示 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设P是一数域.an∈P1≤i<j≤n)称n元二次齐次多项式 fx,x2,.,x)=a1+2a23+.+2ax +a2z+.+2a2nmx2xn E13EA 为数域P上的一个n元二次型，简称二次型. 例如 +2+3x5+2x+4xx+3x 就是0上的-个三元二次型（其中系数4：=24：=24=2） 定义2设c,∈P1≤i,j≤m),称关系式 x=Gy+C2乃2+.+Cyn (2) 。=C+Cn2h+.+cm 为由x,.,x,到片，.，y的一个线性替换简称线性替换如果系数行列式c≠0，则称线性替换(2)为 非退化的 容易看出，若把(2)代入(1)，就得到变元为片，·，y的二次型，换言之，线性替换把二次型变为二次

第五章二次型 §1 二次型的矩阵表示 教学目标: 掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示. 教学重点: 二次型分的概念、二次型的矩阵表示. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 P 是一数域. (1 ) ij a P i j n     称 n 元二次齐次多项式 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 nn n +a x (1) 为数域 P 上的一个 n 元二次型,简称二次型. 例如 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 x x x x x x x x x + + + + + 3 2 4 3 就是 Q 上的一个三元二次型(其中系数 12 13 23 1 3 , , 2 2 2 a a a = = = ). 定义 2 设 (1 , ), ij c P i j n    ,称关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + (2) 为由 1 , , n x x 到 1 , , n y y 的一个线性替换,简称线性替换.如果系数行列式 0 ij c  ,则称线性替换(2)为 非退化的. 容易看出,若把(2)代入(1),就得到变元为 1 , , n y y 的二次型,换言之,线性替换把二次型变为二次 型

在研究二次型时，矩阵是一个有力的工具，下面讨论二次型的矩阵表示，令a=a,<).由于 XX,=x无，所以二次型(1)可以写成 f(x,x,.,x)=ax2+a2x为2++anxx。 +a+an2 。 ax (3) 把(3)的系数排成一个矩阵 aa.aw aan2.ann 它就称为二次型(3)的矩阵.因为。=Q,亿j=1,2,.,n川，所以A=A这样的矩阵称为对称矩阵，简称 xn 则由矩阵的乘法有（约定(a)=a) aaaiw anan2.am 41x1+a,x2++a1X. =(,2,xn) a1+az+.+anx an+an23+.+d

在研究二次型时,矩阵是一个有力的工具,下面讨论二次型的矩阵表示.令 ( ) ji ij a a i j =  .由于 i j j i x x x x = ,所以二次型(1)可以写成 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 n n ij i j i j a x x = = = (3) 把(3)的系数排成一个矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       (4) 它就称为二次型(3)的矩阵.因为 ( , 1,2, , ) ji ij a a i j n = = ,所以 A A =  这样的矩阵称为对称矩阵,简称 对称阵.因此,二次型的矩阵都是对称阵. 令 1 2 n x x X x       =       则由矩阵的乘法有(约定 ( ) a a = ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x X AX x x x a a a x           =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =       + + +

,x,.,x)=XLX g 这就是二次型(3)的矩阵表示（或矩阵形式） 由A的构成易知，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的，因而，若二次型 fx,x,.,x,)=XAX=XBX,则A=B ClG.Gm】 cac2.Cm y.) 则线性替换(2)可表示为 X=CY YBY现在来看B与A的关系 把(5)代入(4)，得 )=X4X=(CY)A(CY)=YCACY =Y(C'AC)Y =YBY 易知CAC是对称的.故有B=CAC 定义3.设A,B为数域P上的n级方阵.若有n级可逆矩阵C,使 B=C'AC 则称A与B是合同的 容易证明，合同关系具有 I).反身性：A=E'AE 2).对称性：B=CAC→A=(CyBC 3).传递性：A=C'AC,A=C2'AC2→A=(CC2YA(CC2) 作业： 预习：下一节的基本概念 S2标准形

1 1 n n ij i j i j a x x = = = 故 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX =  (4) 这就是二次型(3)的矩阵表示(或矩阵形式). 由 A 的 构 成 易 知 , 二 次 型 和 它 的 矩 阵 是 相 互 唯 一 决 定 的 , 因 而 , 若二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX X BX = =   ,则 A B = 令 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n c c c y c c c y C Y c c c y             = =               则线性替换(2)可表示为 X CY = (5) 设二次型由(4)给出,由前面的讨论知,二次型(4)经非退化线性替换 X CY = 化为二次型 Y BY .现在来看 B 与 A 的关系 把(5)代入(4),得 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) n f x x x X AX CY A CY Y C ACY = = =     = = Y C AC Y Y BY    ( ) 易知 C AC 是对称的.故有 B C AC =  . 定义 3. 设 A B, 为数域 P 上的 n 级方阵.若有 n 级可逆矩阵 C ,使 B C AC =  则称 A B 与 是合同的. 容易证明,合同关系具有 1).反身性: A E AE =  2).对称性: 1 1 B C AC A C BC ( ) − − =  =   3).传递性: 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 A C AC A C AC A C C A C C , ( ) ( )   = =  =  . 作业: 预习: 下一节的基本概念. §2 标准形

教学目标掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形 教学重点：用配方法求二次型的标准形. 教学方法讲授法 教学过程 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题何谓最简单的二次型？一般而言，就是只含平方次 的二次型 f(.x)=dxi+d++dx2 我们有 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为1)的形式 证明对n作归纳法n=I时结论显然成立.假设对n-1元二次型结论成立.下面看n元二次型的 情形设 fx,.,x)=Σa,xxa,=0) 分三种情形讨论： 1).a=l,2,.,m)中至少有一个不为零，不妨设a1≠0.此时 6=a+2a+2a+22q -4f+24+22 -a+aia-(ap +a =a+2aia广+22 其中 22=-ga+2a 是一个x2,.,x的n-1元二次型.令

教学目标: 掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形. 教学重点: 用配方法求二次型的标准形. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题.何谓最简单的二次型?一般而言,就是只含平方次 的二次型 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + (1) 我们有 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为(1)的形式. 证明 对 n 作归纳法. n =1 时结论显然成立.假设对 n−1 元二次型结论成立.下面看 n 元二次型的 情形.设 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) n n n ij i j ij ji i j f x x x a x x a a = = = =   . 分三种情形讨论: 1). ( 1,2, , ) ii a i n = 中至少有一个不为零,不妨设 11 a  0 .此时 2 1 2 11 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , , ) n n n n n j j i i j ij i j j i i j f x x x a x a x x a x x a x x = = = = = + + +    2 11 1 1 1 2 2 2 2 n n n j j ij i j j i j a x a x x a x x = = = = + +   1 2 1 2 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n j j i j ij i j j j i j a x a a x a a x a x x − − = = = = = + − +    1 2 11 1 11 1 2 2 2 ( ) , n n n j j ij i j j i j a x a a x b x x − = = = = + +   其中 1 2 11 1 2 2 2 2 2 ( ) n n n n n ij i j j j ij i j i j j i j b x x a a x a x x − = = = = =    = − + 是一个 2 , , n x x 的 n−1 元二次型.令

x=y-∑aa,y, 3=2, Ix=y. 则它是非退化线性替换，且使 )=a+22 由归纳假设对∑∑6，y,有非退化线性替换 五 3=C2y+C++Cn》a 。 =Cn2y2 +Cm3y3+.+Cmy 使它化为平方和。d,子+d,子+.+d于是，非退化线性替换 53=C22乃2+.+C2myn Cw22++Cmy 就使得 fx,x,.,xn)=a+d2+.+dn 由归纳法原理此时定理得证 2).所有a=0.但至少有一个4，≠0，不妨设a2≠0.令 [x=1+ x3=-2 3=5 (X=5 它是非退化线性替换且使 f,x,.,xn)=2a253+.=2a(+2-)+.2a2-2a2号+， 上式右端是，2，.，二n的元二次型，且：子的系数不为零，化为第一种情形，故定理成立 3).41=a2=.=an=0

1 1 1 11 1 2 2 2 , , , n j j j n n x y a a y x y x y − =  = −     =    =  则它是非退化线性替换,且使 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a y b y y = = = +  . 由归纳假设,对 2 2 n n ij i j i j b y y = =  有非退化线性替换 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 , , , n n n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + 使它化为平方和. 2 2 2 2 2 3 3 . n n d z d z d z + + + 于是,非退化线性替换 2 1 3 22 2 2 2 2 , , n n n n nn n z y z c y c y z c y c y  =   = + +     = + + 就使得 2 2 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x a z d z d z = + + + 由归纳法原理.此时定理得证. 2).所有 0 ii a = .但至少有一个 1 0 j a  ,不妨设 12 a  0.令 1 1 2 2 1 2 3 3 . n n x z z x z z x z x z  = +  = −    =    =  它是非退化线性替换.且使 1 2 12 1 2 ( , , , ) 2 n f x x x a x x = + 12 1 2 1 2 = + − + 2 ( )( ) a z z z z 2 2 12 1 12 2 2 2 , a z a z − + 上式右端是 1 2 , , , n z z z 的元二次型,且 2 1 z 的系数不为零,化为第一种情形,故定理成立. 3). 11 12 1 0. n a a a = = = =