第一章多项式 §1数域，§2一元多项式 教学目标掌握数域、一元多项式的概念、次数公式多项式的运算及运算性质 教学重点：数域、一元多项式的概念次数公式消去律 教学方法：讲授法 教学过程 多项式是代数学中最基本的研究对象之一按照所研究的问题，我们常常需要明确所考虑的数的范 围，常见的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数它们虽然有很大差别，但却有很多共同的性质 例如，关于加、 减、乘、除等运算的性质（即通常所说的代数性质）.有些数集也具有有理数、实数及复 数所共有的代数性 质为了在讨论中能把它们统 起来，我们引入一个一般的概名 定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1如果P中任意两个数（这两个也可以相同） 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域. 显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域这三个数域我 们分别用字母Q、R、C来代表全体整数组成的集合就不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数 如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，我们就说数集P对这个运算是封闭 的.因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含0,1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不 为0)是封闭的，那么P就称为一个数域 下面来举一些例子 例1所有具有形式a+bW2的数（其中a,b是任何有理数，构成一个数域通常用Q(√2）米表示这 个数域显然，数集Q(√万)包含0与】并且它对于加减法是封闭的.现在证明它对乘除法也是封闭的.我 们知道 (a+b2Xc+d2)=(ac+2bd)+(ad+be) 因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数这就说明乘积 (a+b2)(c+d瓦)还在Q(瓦)内，所以Q(√2)对于乘潮封闭的 设a+bW5≠0，于是a-bW2也不为零（为什么？），而 6得-%k滑-等器奈
第一章 多项式 §1 数域，§2 一元多项式 教学目标: 掌握数域、一元多项式的概念、次数公式, 多项式的运算及运算性质. 教学重点: 数域、一元多项式的概念,次数公式,消去律. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 多项式是代数学中最基本的研究对象之一.按照所研究的问题,我们常常需要明确所考虑的数的范 围.常见的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数.它们虽然有很大差别,但却有很多共同的性质. 例如,关于加、减、乘、除等运算的性质（即通常所说的代数性质）.有些数集也具有有理数、实数及复 数所共有的代数性质.为了在讨论中能把它们统一起来,我们引入一个一般的概念. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合,其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个数(这两个也可以相同) 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然,全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域我 们分别用字母 Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域,因为不是任意两个整数的商都是整数. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一运算的结果都仍在 P 中,我们就说数集 P 对这个运算是封闭 的.因此,数域的定义也可以说成,如果一个包含 0,1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不 为 0）是封闭的，那么 P 就称为一个数域. 下面来举一些例子. 例 1 所有具有形式 a b + 2 的数(其中 a b, 是任何有理数),构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这 个数域.显然,数集 Q( 2) 包含 0 与 1 并且它对于加减法是封闭的.现在证明它对乘除法也是封闭的.我 们知道 ( 2)( 2) ( 2 ) ( ) 2 a b c d ac bd ad bc + + = + + + . 因为 a b c d , , , 都是有理数,所以 ac bd ad bc + + 2 , 也是有理数.这就说明乘积 ( 2)( 2) a b c d + + 还在 Q( 2) 内,所以 Q( 2) 对于乘潮封闭的. 设 a b + 2 0 ，于是 a b − 2 也不为零（为什么？），而 2 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 c d c d a b ac bd ad bc a b a b a b a b a b + + − − − = = + + + − + −
图为是有理或。所以答二器产电是有数这债框我了时于除法的封得性 例2所有可以表成形式 a+aπ+.+anπ b+bπ+.+bnπm 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数，a,b=0,j=0,m)是整数验证留给读者去做 例3所有奇数组成的数集对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.√互的整倍数的全体成 一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭当然，以上这两个数集都不是数域 最后，我们指出数域的一个重要性质所有的数域都包含有理数域作为它的一部分事实上，设P是 一个数域，由定义，P含有1.根据P对于加法的封闭性，1+1=2,2+1=3，n+1=n+1,.全在P中 换句话说，P包含全体自然数又因P包含全体整数任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由P 对除法的封闭性即得上结论. 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作为基础设x是一个符号（或 称文字)，我们有 定义2设n是一非负整数形式表达式 anx+an-x-+.+a6 (1) 其中4,4，a全属数域P,称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式 在多项式()中，a,x称i为次项，a,称为i次项的系数以后我们用f(x),g(x),.或∫，g,.等来 代表多项式. 定义3如果在多项式∫(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与 g(x)就称为相等，记为f(x)=g(x) 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. 在()中，如果a,≠0，那么ax”称为多项式(1)的首项，a称为首项系数，n称为多项式(1)的次数 零多项式是唯一不定义次数的多项式多项式f(x)的次数记为(f(x) 现在我们对形式表达式()，引入运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式 设f(x)=ax”+anr-+.+ao,gx)=bx"+bn-x-++是数域P上两个多项式.那 么可以写成 fx)-ax.g()-b
因为 a b c d , , , 是有理数，所以 2 2 2 2 2 , 2 2 ac bd ad bc a b a b − − − − 也是有理数.这就证明了对于除法的封闭性. 例 2 所有可以表成形式 0 1 0 1 n n m m a a a b b b + + + + + + 的数组成一数域,其中 n m, 为任意非负整数, , ( 0, , ; 0, , ) i i a b i n j m = = 是整数.验证留给读者去做. 例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的. 2 的整倍数的全体成 一数集,它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭.当然,以上这两个数集都不是数域. 最后,我们指出数域的一个重要性质.所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.事实上,设 P 是 一个数域,由定义, P 含有 1.根据 P 对于加法的封闭性,1 1 2,2 1 3, , 1 1, + = + = + = + n n 全在 P 中, 换句话说, P 包含全体自然数.又因 P 包含全体整数.任何一个有理数都可以表成两个整数的商,由 P 对除法的封闭性即得上结论. 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域 P 作为基础.设 x 是一个符号(或 称文字),我们有 定义 2 设 n 是一非负整数.形式表达式 1 1 0 n n n n a x a x a − + + + − , (1) 其中 0 1 , , , n a a a 全属数域 P ,称为系数在数域 P 中的一元多项式,或者简称为数域 P 上的一元多项式. 在多项式(1)中, i i ax 称 i 为次项, i a 称为 i 次项的系数.以后我们用 f x g x ( ), ( ), 或 f g, , 等来 代表多项式. 定义 3 如果在多项式 f x( ) 与 g x( ) 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么 f x( ) 与 g x( ) 就称为相等,记为 f x g x ( ) ( ) = 系数全为零的多项式称为零多项式,记为 0. 在(1)中,如果 0 n a ,那么 n n a x 称为多项式(1)的首项, n a 称为首项系数, n 称为多项式(1)的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式 f x( ) 的次数记为 ( ( )) f x . 现在我们对形式表达式(1),引入运算,为便于计算和讨论,我们常常用和号来表达多项式 设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是数域 P 上两个多项式.那 么可以写成 0 ( ) n i i i f x a x = = , 0 ( ) m j j j g x b x = =
在表示多项式f(x)与g(x)的和时，如nm,为了方便起见，在gx)中令 bn=bn=.=bn1=0.那么f(x)与g(x)的和为 f(x)+g(x)=(a+b)x"+(a+b)x"+.++b)x+(o+)=>(a,+b.)x' 而f(x)与g(x)的乘积为 f(x).g(x)=a,bxm+(a,b+ab)x"(x 其中s次项的系数是 a,6+a-4+.+ab+ab.=∑ab, 所以∫(x)g(x)可表成 r) 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式。 对于多项式的加减法，不难看出f(x)±g(x)≤max(f(x),(g(x)》 对于多项式的乘法，可以证明，如果f(x)≠0，gx)≠0，那么fx)g(x)≠0，并且 a(f(x)g(x))=a(f(x))+(g(x)). 事实上，设 fx)=ax+an-x-++a,g(x)=bx+b-x1++b,an≠0，bn≠0 于是f(x)g(x)的首项是abx+".显然a,bn≠0，因之，f(x)g(x)≠0而且它的次数就是n+m. 由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 1.加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2.加法结合律：((x)+g(x)+x)=fx)+(g(x)+x) 3.乘法交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x) 4.乘法结合律：(f(x)g(x)hx)=f(x(g(x)hx) 5.乘法对加法的分配律：∫(xg(x)+h(x》=f(x)g(x)+f(x)hx)
在 表 示 多 项 式 f x( ) 与 g x( ) 的和时 , 如 n m , 为 了 方 便 起 见 , 在 g x( ) 中 令 1 1 0 n n m b b b = = = = − + .那么 f x( ) 与 g x( ) 的和为 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n f x g x a b x a b x − + = + + + + − − 1 1 0 0 + + + + ( ) ( ) a b x a b 0 ( ) n i i i i a b x = = + 而 f x( ) 与 g x( ) 的乘积为 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m n m n m n m f x g x a b x a b a b x + + − − − = + + 1 0 0 1 0 0 + + + + ( ) a b a b x a b 其中 s 次项的系数是 s s s s i j 0 1 1 1 1 0 i j s a b a b a b a b a b − − + = + + + + = 所以 f x( ) g x( ) 可表成 f x( ) g x( ) 0 ( ) m n s i j s i j s a b x + = + = = 显然,数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法,不难看出 ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ( ))) f x g x f x g x . 对于多项式的乘法,可以证明,如果 f x g x ( ) 0, ( ) 0 ,那么 f x g x ( ) ( ) 0 ,并且 = + ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) f x g x f x g x . 事实上,设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − , 0, 0 n m a b , 于是 f x( ) g x( ) 的首项是 n m n m a b x + .显然 0 n m a b ,因之, f x( ) g x( ) 0 而且它的次数就是 n m+ . 由以上证明还看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然,上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形. 和数的运算一样,多项式的运算也满足下面的一些规律. 1. 加法交换律: f x( ) + g x( ) = g x( ) + f x( ) 2. 加法结合律: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + 3. 乘法交换律: f x( ) g x( ) = g x( ) f x( ) 4. 乘法结合律: ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = 5. 乘法对加法的分配律: f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + = +
这此规律都很容易证明下面只给出乘法结合律的证明。 f()-ax:g(x)=bx:hx)=c 现在来证 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) 等式左边fx)g(x)中s次项的系数为∑a,b, 因此左边，中次项的系数为 (E吻= 在右边，g(x)Mx)中r次项的系数为∑b,9,因此右边次项的系数为 Ea(王b4)=Eb4 与左边次项的系数一样，所以左、右两边相等，这就证明了乘法满足结合律 对于多项式的乘法，我们还可以证明 6.乘法消去律：如果fx)g(x)=fx)h(x)且f(x)≠0，那么g(x)=h(x) 因若f(x)g(x)=f(x)hMx),则f(xg(x)-x》=0.而f（x)≠0，故g(x)-hx)=0, 也就是g(x)=h(x) 最后我们引入 定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为 P[x,P称为P[x]的系数域 作业：证明第一节例2 预习：下一节的基本概念 §3整除的概念 教学目标掌握整除的概念与性质，带余除法 教学重点：整除的概念与性质。 教学方法：讲授法
这此规律都很容易证明.下面只给出乘法结合律的证明. 设 0 ( ) n i i i f x a x = = ; 0 ( ) m j j j g x b x = = ; 0 ( ) l k k k h x c x = = 现在来证 ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = 等式左边 f x( ) g x( ) 中 s 次项的系数为 i j i j s a b + = 因此左边, t 中次项的系数为 ( s k t + = i j i j s a b + = ) k c = i j k i j k t a b c + + = 在右边, g x( ) h x( ) 中 r 次项的系数为 j k i k r b c + = 因此右边次项的系数为 ( i i r t a + = j k j k r b c + = ) = i j k i j k t a b c + + = 与左边 t 次项的系数一样,所以左、右两边相等,这就证明了乘法满足结合律. 对于多项式的乘法,我们还可以证明 6.乘法消去律: 如果 f x g x f x h x ( ) ( ) ( ) ( ) = 且 f x( ) 0 ,那么 g x( ) = h x( ) 因若 f x g x f x h x ( ) ( ) ( ) ( ) = ,则 f x g x h x ( )( ( ) ( )) 0 − = .而 f x( ) 0 ,故 g x h x ( ) ( ) 0 − = , 也就是 g x h x ( ) ( ) = 最后我们引入 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体,称为数域 P 上的一元多项式环,记为 P [ ] x , P 称为 P [ ] x 的系数域. 作业: 证明第一节例 2. 预习: 下一节的基本概念 §3 整除的概念 教学目标: 掌握整除的概念与性质，带余除法. 教学重点: 整除的概念与性质. 教学方法: 讲授法
教学过程 这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环Px)中进行的，以后就不每 次重复说明了 在一元多项式环中，可以作加、减、乘、三种运算，但是乘法的逆运算一—除法一一并不是普遍 可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式， 例如，设 f(x)=3x23+4x2-5x+6,g(x)=x2-3x+1 我们可以按下面的格式来作除法：x2-3x+13x2+4x2-5x+6 3x+13 3x3-9x2+3x 13x2-8x+6 13x2-39x+13 31x-7 于是求得商为3x+13,余式为31x-7.所得结果可以写 3x3+4x2-5x+6=(3x+13x2-3x+1)+(31x-7) 这个求法实际上具有一般性，下面就按这个想法证明一元多项式环的一个基本性质。 带余除法对于Px]中任意两个多项式∫(x)与g(x),其中g(x)≠0，一定有Px]中的多项式 q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中((x)<(g(x》或者r(x)=0,并且这样的gx,r(x)是唯一决定的 证明()中q(x)和(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出我们用归钠法 语言来叙述 如果f(x)=0,取g(x)=(x)=0即可 以下设f(x)≠0.令f(x),g(x),的次数分别为n,m.对f(x)的次数n作（第二）数学归纳法 当n<m时，显然q(x)=0,r(x)=f(x)取，)式成立
教学过程: 这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的数域 P 上的多项式环 P x[ ] 中进行的,以后就不每 次重复说明了. 在一元多项式环中,可以作加、减、乘、三种运算，但是乘法的逆运算——除法——并不是普遍 可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式， 例如，设 3 2 f x x x x ( ) 3 4 5 6 = + − + , 2 g x x x ( ) 3 1 = − + 我们可以按下面的格式来作除法: 2 x x − + 3 1 3 2 3 4 5 6 x x x + − + 3 13 x + 3 2 3 9 3 x x x − + 2 13 8 6 x x − + 2 13 39 13 x x − + 31 7 x− 于是求得商为 3 13 x + ，余式为 31 7 x− .所得结果可以写成 3 2 2 3 4 5 6 (3 13)( 3 1) (31 7) x x x x x x x + − + = + − + + − 这个求法实际上具有一般性,下面就按这个想法证明一元多项式环的一个基本性质. 带余除法 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f x( ) 与 g x( ) ,其中 g x( ) 0 ,一定有 P x[ ] 中的多项式 q x r x ( ), ( ) 存在,使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + (1) 成立,其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 r x( ) 0 = ,并且这样的 q x r x ( ), ( ) 是唯一决定的. 证明 (1)中 q x( ) 和 r x( ) 的存在性可以由上面所说的除法直接得出.我们用归纳法 语言来叙述. 如果 f x( ) 0 = ,取 q x r x ( ) ( ) 0 = = 即可. 以下设 f x( ) 0 .令 f x( ) , g x( ) ,的次数分别为 n m, .对 f x( ) 的次数 n 作(第二)数学归纳法. 当 n m 时,显然 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 取,(1)式成立