第七章线性变换 §1线性变换的定义$2线性变换的运算 教学目标掌握线性变换、线性变换的运算的定义与简单性质。 教学重点：线性变换、线性变换的运算的定义， 教学方法：讲授法 教学过程 51线性变换的定义 我们研究问题，一方面要认识研究对象单个的和总体的性质但更重要的是研究它们之间的各种 联系在线性空间中研究对象之间的各种关系通过映射建立起来的.线性空间V到V自身的映射称为 V的一个变换，本章我们来研究最简单，同时也是最基本的一变换：线性变换 定义1设A是'的一个变换若对a,BeP,k∈P有 A(a+B)=A(a)+A(B),A(ka)=kA(a). 则称A为一个线性变换 例l.设X∈P"B∈Pm,则 A(X)=BX 是P”的一个线性变换它就是第五章中研究过的线性替换 例2. 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E: E(a)=a,VaeV 以及零变换0： 0(a)=0,a∈V 都是线性变摸 例3.V中的数乘变换K: K(a)=ka.Vaev. 是线性变换，其中k是P中任意取定的数： 例4. PLx]或PLx]n中微分变换D: D(f(x))=f(x)
第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 教学目标: 掌握线性变换、线性变换的运算的定义与简单性质。 教学重点: 线性变换、线性变换的运算的定义. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §1 线性变换的定义 我们研究问题，一方面要认识研究对象单个的和总体的性质.但更重要的是研究它们之间的各种 联系.在线性空间中.研究对象之间的各种关系通过映射建立起来的.线性空间 V 到 V 自身的映射称为 V 的一个变换，本章我们来研究最简单，同时也是最基本的一变换：线性变换 定义 1 设 A 是 V 的一个变换.若对 , , V k P 有 A A A A k kA ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). + = + = 则称 A 为一个线性变换. 例1． 设 . , n n n X P B P 则 A X BX ( ) = 是 n P 的一个线性变换.它就是第五章中研究过的线性替换. 例2． 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ： E V ( ) , . = 以及零变换 0 ： 0( ) 0, = V 都是线性变换 例 3． V 中的数乘变换 K ： K k V ( ) . . = 是线性变换，其中 k 是 P 中任意取定的数： 例4． P x[ ] 或 [ ] P x n 中微分变换 D ： D f x f x ( ( )) ( ) =
是线性变换 例5.用C[a,b)表示[a,b)]上全体连续函数作成的R上的线性空间 则此空间中的积分变换J: Jfx》=f(d) 是一个线性变换 二。线性变换的简单性质： 1.设A是V的线性变换，则4(O)=0,4(-a)=-A(a)这是因为 4A(0)=A0-a)=0A(a)=0. A-a)=A(-1)=(-1)4Aa)=-4a) 2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变： B-∑ka,→4AB)-∑k4a) 2a=0→2ka)=0 由2)立得 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 注意：3之逆不成立比如零变换把线性无关向量组变成线性相关的向量组 $2线性变换的运算 1.乘积：设A,B是V的两个线性变换令 AB:V-V,(ABX(a)=A(B(a)). 则易知AB仍是线性变换，称为A与B的乘积 乘法具有结合律：(AB)C=A(BC) 但乘法一般不可交换例如，对于微分变换D与积分变换J, Dfx》=f"(x,Jfx》=fth DJ=E,但JD≠E. 此外，设E为V中恒等变换.A为V中任一线性变换，则易知EA=AE=A 2线性变换的和 1)设A,B为V的线性变换令 A+B:V>V.(A+B)(a)=A(a)+B(a).VaEV
是线性变换 例5． 用 C a b [ , ] 表示 [ , ] a b 上全体连续函数作成的 R 上的线性空间. 则此空间中的积分变换 J ： ( ( )) ( ) x a J f x f dt = 是一个线性变换. 二．线性变换的简单性质： 1． 设 A 是 V 的线性变换，则 A A A (0) 0, ( ) ( ). = − = − 这是因为 A A A (0) (0 ) 0 ( ) 0. = = = A A A A ( ) ( 1 ) ( 1) ( ) ( ) − = − = − = − 2． 线性变换保持线性组合与线性关系式不变： 1 1 ( ) ( ) r r i i i i i i k A k A = = = = 1 1 0 ( ) 0 r r i i i i i i k k A = = = = 由 2)立得 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 注意：3 之逆不成立.比如零变换把线性无关向量组变成线性相关的向量组. §2 线性变换的运算 1. 乘积：设 A B, 是 V 的两个线性变换.令 AB V V AB A B : ,( )( ) ( ( )), → = 则易知 AB 仍是线性变换，称为 A 与 B 的乘积. 乘法具有结合律： ( ) ( ) AB C A BC = 但乘法一般不可交换.例如，对于微分变换 D 与积分变换 J ， 0 ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) x D f x f x J f x f t dt = = DJ E = , 但 JD E . 此外，设 E 为 V 中恒等变换. A 为 V 中任一线性变换，则易知 EA AE A = = . 2.线性变换的和. 1) 设 A B, 为 V 的线性变换.令 A B V V A B A B V + → + = + : ,( )( ) ( ) ( ), .
则易知A+B仍是线性变换，称为A与B的和 2)线性变换的加法适合结合律与交换律 (A+B)+C=A+(B+C),A+B=B+A. 3)A+0=0+A 4)对于线性变换A.令 -A:(-A0a)=-Aa) 易知一A也是线性变换称为A的负变换 5)线性变换的乘法对加法有左、右分配律： A(B+C)=AB+AC.(B+C)A=BA+CA 3数乘 1)设A是P中线性变换k∈P.令 kA:(kA)(a)=kA(a)VaEV, 则易知k4仍为线性变换称为k与A的数量乘积 2)数乘具有下列性质 ()A=k4,(k+A=k4+A k(A+B)=kA+kB,1A=A 岛介细的线生老的加法与数是运复性烫可知线性空间Y中的全休线性变换，对知上定义 数乘米说，构成数域P上的一个线性空间 4.可逆变 设A是V的变换，若存在V的变换B使 AB=BA=E 则称A是可逆的.B称为A的逆变换记为设A为A的可逆线性变换，则由 A(a+)=A[(A)+(Ar(B)]=Ar'[AA'(a)》+A('(B] =A'[A'(a)+A'(β)1=(A(Γ'(a)+A'(B) -'(a)+r'(B) A(ka)=A(k(AA(a))=A(k(A(A-(a)))) ='(4Ak4r'(a》=(AA0(kr'(a》=k4r'(a) 可知，也是V的线性变换 5.线性变换的多项式 由线性变换的乘法适合结合律知，A若是线性变换则可定义
则易知 A B+ 仍是线性变换，称为 A 与 B 的和. 2) 线性变换的加法适合结合律与交换律： ( ) ( ), . A B C A B C A B B A + + = + + + = + 3) A A + = + 0 0 . 4) 对于线性变换 A .令 − − = − A A A : ( )( ) ( ). 易知 −A 也是线性变换.称为 A 的负变换. 5) 线性变换的乘法对加法有左、右分配律： A B C AB AC B C A BA CA ( ) .( ) . + = + + = + 3.数乘 1) 设 A 是 V 中线性变换. k P . 令 kA kA kA V : ( )( ) ( ) , = 则易知 kA 仍为线性变换.称为 k 与 A 的数量乘积. 2) 数乘具有下列性质 ( ) ( ),( ) , kl A k lA k l A kA lA = + = + k A B kA kB A A ( ) ,1 + = + = 由上面介绍的线性变换的加法与数乘运算性质可知.线性空间 V 中的全体线性变换，对如上定义 的加法与数乘来说，构成数域 P 上的一个线性空间. 4.可逆变换 设 A 是 V 的变换，若存在 V 的变换 B 使 AB BA E = = . 则称 A 是可逆的. B 称为 A 的逆变换记为 1 A . − 设 A 为 A 的可逆线性变换，则由 1 1 1 1 1 1 1 A A AA AA A A A A A ( ) [( )( ) ( )( )] [ ( ( )) ( ( ))] − − − − − − − + = + = + 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A A [ ( ( ) ( ))] ( )( ( ) ( )) − − − − − − = + = + 1 1 A A ( ) ( ) − − = + 1 1 1 1 1 A k A k AA A k A A ( ) ( ( )( )) ( ( ( ( )))) − − − − − = = 1 1 1 1 1 A A kA A A kA kA ( ( ( ))) ( )( ( )) ( ) − − − − − = = = 可知， 1 A − 也是 V 的线性变换. 5.线性变换的多项式 由线性变换的乘法适合结合律知， A 若是线性变换则可定义
4"=4A.A 称为A的n次幂再令A°=E.则可推出指数法则。 A+"=A".A,(A)”=A(m,n之0). 当A可逆时，定义A”=(A”,则指数法则对负整数也成立 设f(x)=amx"+am-xm-+.+a。∈P[xl,则 f(A)=a 4+aA++aE. 是一线性变换称为线性变换A的多项式易知f(A)g(A)=g(A)f(A). 作业：P323,习题1之1)，3)，5). 预习：下一节的基本概念 §3线性变换的矩阵 教学目标掌握线性变换的矩阵的概念、线性变换与矩阵的对应关系、线性变换在不同基下的矩 阵的关系。 教学重点：线性变换的矩阵的概念、线性变换在不同基下的矩阵的关系。 教学方法：讲授法. 教学过程 对于有限维空间V中的线性变换，矩阵是一个有力的研究工具，本节我们来建立线性变换与矩阵 的关系. 我们知道，n维线性空间中任一向量可由任一给定的一组基，唯一地线性表出，再由线性 变换的定义，不难看出，只要知道了A松，A6。,则我们就掌握了A,换言之，我们有 1.设6，.，6n是V的一组基若 A6,=B6,i=1,2,n (0 则A=B. 证明对5∈V.设5=∑x6,则有（由(1）
n n A AA A = 个 称为 A 的 n 次幂.再令 0 A E = . 则可推出指数法则. ,( ) ( , 0). m n m n m n mn A A A A A m n + = = 当 A 可逆时，定义 1 ( ) , n n A A − − = 则指数法则对负整数也成立. 设 1 1 0 ( ) [ ], m m m m f x a x a x a P x − = + + + − 则 1 1 1 0 ( ) . m m m m f A a A a A a E − − = + + + − 是一线性变换.称为线性变换 A 的多项式.易知 f A g A g A f A ( ) ( ) ( ) ( ). = 作业: P323,习题 1 之 1），3），5）。. 预习: 下一节的基本概念. §3 线性变换的矩阵 教学目标: 掌握线性变换的矩阵的概念、线性变换与矩阵的对应关系、线性变换在不同基下的矩 阵的关系。 教学重点: 线性变换的矩阵的概念、线性变换在不同基下的矩阵的关系。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 对于有限维空间 V 中的线性变换，矩阵是一个有力的研究工具，本节我们来建立线性变换与矩阵 的关系. 我们知道， n 维线性空间中任一向量可由任一给定的一组基 1 , , n 唯一地线性表出，再由线性 变换的定义，不难看出，只要知道了 1 , , A A n ，则我们就掌握了 A ，换言之，我们有 1. 设 1 , , n 是 V 的一组基.若 , 1,2, , A B i n i i = = (1) 则 A B= . 证明 对 V. 设 1 n i i i x = = ，则有(由(1))
5=立46=立Be=时 由5的任意性知必有A=B. 结论1表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2.设6，6n是V的一组基对于任意一组向量么，,一定有一个线性变换A使 As,=gi=l,2,.,n 证明对VEeV.设 5-26 (3) 定义 5=a (4 则显然A是V的变换任取，则B=∑b6,7=立c6B+7=∑6+Ge,kB=∑仙e 由4)立得 4B+)=26+Ga=2a+2e4=A0+4y AkB)=∑C,=k∑ba,=kAB 因此，A是线性变换又因为 6,=06,+.+051+l6,+061+.+08n,i=1,2,.n Ae=0a+.+0a1+la,+0a1+.+0an=a,i=1,2,n 所以 综上所述，我们有 定理1.设8，6n是V的一组基.%，.，Cn是V中任意n个向量，则存在唯一的线性变换A使 A6,=a,i=1,2.n 定义2.设6，6n是n维线性空间'的一组基，A是V中的一个线性变换若有
1 1 n n i i i i i i A x A x B B = = === 由 的任意性知必有 A B= . 结论 1 表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2. 设 1 , , n 是 V 的一组基.对于任意一组向量 1 , , , n 一定有一个线性变换 A 使 1,2, , A i n i i = = (2) 证明 对 V. 设 1 n i i i x = = (3) 定义 1 n i i i A x = = (4) 则显然 A 是 V 的变换.任取，则 1 , n i i i b = = 1 n i i i c = = 1 ( ) , n i i i i b c = + = + 1 . n i i i k kb = = 由(4)立得 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i i i i i i A b c b c A A = = = + = + = + = + 1 1 ( ) n n i i i i i i A k kb k b kA = = = = = 因此， A 是线性变换.又因为 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , i i i i n i n = + + + + + + = − + 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , A i n i i i i n i = + + + + + + = = − + 所以 综上所述，我们有 定理 1. 设 1 , , n 是 V 的一组基. 1 , , n 是 V 中任意 n 个向量，则存在唯一的线性变换 A 使 1,2, , A i n i i = = 定义 2. 设 1 , , n 是 n 维线性空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换.若有