第三章线性方程组 S1消元法 教学目标掌握解线性方程组高斯消元法，齐次线性方程组有非零解的充分条件 教学重点：解线性方程组高斯消元法， 教学方法：讲授法 教学过程 现在来讨论一般线性方程组所谓一般线性方程组是指形式为 a,X+a1,x,++a1x.=b, a+a3+.+anxn=b, (0 a+a,x3+.+anx=b 的方程组，其中x,x2,.,x代表n个未知量，5是方程的个数，a,=12,.,5,广=12，.，)称为方程 组的系数，b(=1,2,·,)称为常数项方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数a 的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标表示它是x,的系数 所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k,k,.k组成的有序数组（化，人，.k),当x,，.，x 分别用k,k2,.人，代入后，(1)中每个等式都变成恒等式方程组(1)的解的全体称为它的解集合解方程 组实际上就是找出它全部的解或者说，求出它的解集合如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为 同解 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了确切 地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 a1a2.an） 3 aao·ab. 来表示 例如解方程组
第三章线性方程组 §1 消元法 教学目标: 掌握解线性方程组高斯消元法，齐次线性方程组有非零解的充分条件. 教学重点: 解线性方程组高斯消元法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 现在来讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (1) 的方程组,其中 1 2 , , , n x x x 代表 n 个未知量,s 是方程的个数, ( 1,2, , , 1,2, , ) ij a i s j n = = 称为方程 组的系数, ( 1,2, , ) i b i s = 称为常数项.方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 ij a 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程,第二个指标表示它是 j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由 n 个数 1 2 , , n k k k 组成的有序数组 1 2 ( , , ) n k k k ,当 1 2 , , , n x x x 分别用 1 2 , , n k k k 代入后,(1)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程 组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为 同解的. 显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了.确切 地说,线性方程组(1)可以用下面的矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b a a a b (2) 来表示. 例如,解方程组
[2x-x2+3x=1, 4x+2x2+5x=4, 2x +2x3=6, 第二个方程减去第一方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 [2x,-x2+3x=1, 4x-x3=2 x-为=5， 第二个方程诚去第三个方程的4倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 [2x-x2+3x3=1, x-x=5, 3x=-18 这样，我们就容易求出方程组的解为(9，-1，-6)。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换也只是由以下三 种基本的变换所构成 1.用一非零的数乘某一方程 2.把一个方程的倍数加到另一个方程： 3.互换两个方程的位置. 定义1变樟123称为线性方程组的初统变梅 消元的过程就是反复施行初等变换的过程下面证明，初等变换总是把方程组变成同 解的方程组我们只对第二种初等变换来证明 对方程组 a+a2x32+.+anxn=b, a+++a=b (0 a,+a,3+.+axn=b, 进行第二种初等变换为简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组 [(an+kaz)+(az+kazz )2+.+(aim+kazn)x=b+kbz, 4x+a53+.+anxn=h, () a+a,23+.+ann=b 现在设(G,G,.,c)是(1)的任一解因(1)与（们的后5-1个方程是一样的.所以(G,C,.,C)满 足（的后s-1个方程又(G,2,.,c)满足1）的前两个方程 auc+ac+.+ac=b a19+a2C2+.+a2nCn=b
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 2 6, x x x x x x x x − + = + + = + = 第二个方程减去第一方程的 2 倍,第三个方程减去第一个方程,就变成 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1, 4 2, 5, x x x x x x x − + = − = − = 第二个方程减去第三个方程的 4 倍,把第二第三两个方程的次序互换,即得 1 2 3 2 3 3 2 3 1, 5, 3 18, x x x x x x − + = − = = − 这样,我们就容易求出方程组的解为 (9, 1, 6) − − . 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所作的变换也只是由以下三 种基本的变换所构成: 1. 用一非零的数乘某一方程; 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程; 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1,2,3,称为线性方程组的初等变换. 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程组变成同 解的方程组.我们只对第二种初等变换来证明. 对方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (1) 进行第二种初等变换.为简便起见,不妨设把第二个方程的 k 倍加到第一个方程得到新方程组 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) , , n n n n n s s sn n s a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b + + + + + + = + + + + = + + + = (1 ) 现在设 1 2 ( , , , ) n c c c 是(1)的任一解.因(1)与 (1 ) 的后 s −1 个方程是一样的.所以 1 2 ( , , , ) n c c c 满 足 (1 ) 的后 s −1 个方程.又 1 2 ( , , , ) n c c c 满足(1)的前两个方程 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 , , n n n n a c a c a c b a c a c a c b + + + = + + + =
把第二式的两边乘以k,再与第一式相加，即为 (an+kaz)c+(av2 +kaz)c+.+(a+)c =b+kb 故(G,C2,·,C)又满足（门的第一个方程，因而是（门的解类似地可证(）的任一解也是(1)的解这就 证明了(1)与（是同解的 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组 对于方程组(1)，首先检查，的系数如果x的系数a1,a,.a,全为零，那么方程组(1)对x没有任何限 制。x就可以取任意值，而方程组(1)可以看作x,x的方程组来解如果的系数：不全为零，那么利 用初等变换3，可以设41≠0.利用初等变换2，分别地把第一个方程的-血倍加到第1个方程 a11 (位=2，.，s).于是方程组(1)就变成 a+a22+.+axn=b, a2'x2+.+anxn=b 3 a++=b 其中 a-4-8a2/-2n 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 aa++a=6, aa'x2+.+am'xn=b 的问题.显然，(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得出(3)的一个解：而(3)的解显然都 是(4)的解这就是说，方程组(3)有解的充分必要条件为方程组(4)有解，而(3)与()是同解的，因之，方程组 (1)有解的充分必要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组为了讨论 起来方便，不妨设所得的方程组为
把第二式的两边乘以 k ,再与第一式相加,即为 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . n n n a ka c a ka c a ka c b kb + + + + + + = + 故 1 2 ( , , , ) n c c c 又满足 (1 ) 的第一个方程,因而是 (1 ) 的解.类似地可证 (1 ) 的任一解也是(1)的解.这就 证明了(1)与 (1 ) 是同解的. 下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1),首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , s a a a 全为零,那么方程组(1)对 1 x 没有任何限 制, 1 x 就可以取任意值,而方程组(1)可以看作 2 , , n x x 的方程组来解.如果的系数 1 x 不全为零,那么利 用初等变换 3,可以设 11 a 0 .利用初等变换 2, 分别地把第一个方程的 1 11 i a a − 倍加到第 i 个方程 ( 2, , ) i s = .于是方程组(1)就变成 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 2 2 , , n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b + + + = + + = + + = (3) 其中 1 1 11 , 2, , , 2, , . i ij ij j a a a a i s j n a = − = = 这样,解方程组(1)的问题就归结为解方程组 22 2 2 2 2 2 , n n s sn n s a x a x b a x a x b + + = + + = (4) 的问题.显然,(4)的一个解,代入(3)的第一个方程就定出 1 x 的值,这就得出(3)的一个解;而(3)的解显然都 是(4)的解.这就是说,方程组(3)有解的充分必要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)是同解的,因之,方程组 (1)有解的充分必要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论 起来方便,不妨设所得的方程组为
Cux+++++cux=di C2++c+cn=da Cx.+.+Cxn=d.n 0=d 0=0. 0=0. 其中c≠0,1=1,2，.，r.方程组(5)中的"0=0”这样一些恒等式可能不出现也可能出现，这时去掉它 们也不影响(5)的解而且()与(5)是同解的 现在考察(5)的解的情况. 如(5)中有方程0=d,而d≠0这时不管x,.,x,取什么值都不能使它成为等式故(5)无解， 因而()无解 当d,是零或(5)中根本没有"0=0”的方程时，分两种情况 1)r=n这时阶梯方程组为 G+C23+.+Gxn=d, Cn2+.+C2nn=d, 其中Cm≠0，i=1,2,.,n由最后一个方程开始，x。,x1.,x的值就可以逐个地唯一地决定了在这个 情形，方程组(6)，也就是方程组(1)有唯一的解 例上面讨论过的方程组 2x-x2+3x=1 4x1+2x3+5x3=4, 2x +2x=6, 经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组 [2x-x2+3x=1 -x3=5, 3x=-18, 用乘最后一个方程得x=-6.代入第二个方程，得=-1再把x=-6,x=-1代入第一个方程 即得x=9.这就是说，上述方程组有唯一的解(9，-1，-6) 2)r<n这时阶梯方程组为
11 1 12 2 1 1 1 22 2 2 2 2 1 , , , 0 , 0 0, , 0 0. r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d + + + + + + = + + + + = + + = = = = 其中 0, 1,2, , ii c i r = .方程组(5)中的 "0 0" = 这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它 们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考察(5)的解的情况. 如(5)中有方程 1 0 r d = + ,而 1 0 r d + .这时不管 1 , , n x x 取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解, 因而(1)无解. 当 r 1 d + 是零或(5)中根本没有 "0 0" = 的方程时,分两种情况: 1) r n = .这时阶梯方程组为 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 , , , n n n n nn n n c x c x c x d c x c x d c x d + + + = + + = = 其中 0, 1,2, , ii c i n = 由最后一个方程开始, 1 1 , , n n x x x − 的值就可以逐个地唯一地决定了.在这个 情形,方程组(6),也就是方程组(1)有唯一的解. 例 上面讨论过的方程组, 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 2 6, x x x x x x x x − + = + + = + = 经过一系列初等变换后,它变成了阶梯形方程组 1 2 3 2 3 3 2 3 1, 5, 3 18, x x x x x x − + = − = = − 用 1 3 乘最后一个方程,得 3 x = −6. 代入第二个方程,得 2 x = −1. 再把 3 x = −6, 2 x = −1. 代入第一个方程, 即得 1 x = 9. 这就是说,上述方程组有唯一的解 (9, 1, 6) − − 2) r n .这时阶梯方程组为
C+Cx2++cx+C+cu=di C22+.+C2x,+C2r1+.+C2nxn=d2 Cnx+C++Cmxg=d 其中c≠0，i=l,2,.,r把它改写成 G+C23+.+C,=d-C41-Gnxn, Cx2++Cx=d2-cr-C2 Cnx,=d,-Cr-CmXa 由此可见任给x,.,x。一组值，就唯一地定出无，X.,X,的值，也就是定出方程组(7)的一个解一般 地，由(7)我们可以把x,x,x通过x,x表示出来这样一组表达式称为方程组()的一般解，而 X+,.,x称为一组自由未知量 2x-x2+3x=1, 例解方程组 4x-2x2+5x=4, (8) 2x-x+4x=-1, 用初等变换消去x,得 2x-x2+3x3=1 -为=2 53=-2 再施行一次初等变换，得 2x-x2+3x3=1 =-2 改写一下， 2x+3x3=1+x X1=-2 最后得 x=5(7+x) x=-2
11 1 12 2 1 1, 1 1 1 1 22 2 2 2, 1 1 2 2 , 1 1 , , , r r r r n n r r r r n n rr r r r r rn n r c x c x c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d + + + + + + + + + + + + = + + + + + = + + + = 其中 0, 1,2, , ii c i r = .把它改写成 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 , 1 1 , , . r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x + + + + + + + + + = − − − + + = − − − = − − − (7) 由此可见,任给 1 , , r n x x + 一组值,就唯一地定出 1 2 , , r x x x 的值,也就是定出方程组(7)的一个解.一般 地,由(7)我们可以把 1 2 , , r x x x 通过 1 , , r n x x + 表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解,而 1 , , r n x x + 称为一组自由未知量. 例 解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 4 1, x x x x x x x x x − + = − + = − + = − (8) 用初等变换消去 1 x ,得 1 2 3 3 3 2 3 1 2, 2, x x x x x − + = − = = − 再施行一次初等变换,得 1 2 3 3 2 3 1 2, x x x x − + = = − (9) 改写一下, 1 3 2 3 2 3 1 , 2, x x x x + = + = − 最后得 1 2 3 1 (7 ), 2 2. x x x = + = −