《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第四章 矩阵

而A(BC)=AW的第i行第I列元素为 2a,=2a,2b-22a,bu 由于双重连加号可以交换次序，所以(7)与(8)的结果是一样的，这就证明了结合律 但是，矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来，AB≠BA 例如 4-(10-(1-88 而 a(1g-(别 在这个例子中我们还看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点由此，还 可得出矩阵乘法的消去律不成立即当AB=AC时不一定有B=C定义3主对角线上的元素全是1 其余元素全是0的n×n矩阵 10.0 01.0 00.1 称为n级单位矩阵，记为E。,在不致引起含混时简单写为￡.显然有 AnE=Au E,Au Au 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 M(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA. (10) 我们还可以定义矩阵的方幂，设A是一n×n矩阵，定义 A=A=.A 换句话说，就是k个A连乘当然，方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义由乘法的结合律，不难 证明 A=(A )A" 这里，是k,1任意正整数证明留给读者去做因为矩阵乘法不适合交换律，所以(AB)与AB一般地不

而 A BC AW ( ) = 的第 i 行第 l 列元素为 1 1 1 1 1 n n m n m ij jt ij jk kt ij jk kl j j k j k a w a b c a b c = = = = =     = = (8) 由于双重连加号可以交换次序,所以(7)与(8)的结果是一样的,这就证明了结合律. 但是,矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来, AB BA  . 例如 1 1 1 1 A   =     − − 1 1 , 1 1 B   − =     − , 1 1 1 1 AB   =     − − 1 1 1 1   −     − 0 0 , 0 0   =     而 1 1 1 1 BA   − =     − 1 1 1 1       − − 2 2 . 2 2   =     − − 在这个例子中我们还看到,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘法的一个特点.由此,还 可得出矩阵乘法的消去律不成立.即当 AB AC = 时不一定有 B C= .定义 3 主对角线上的元素全是 1, 其余元素全是 0 的 n n 矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1             称为 n 级单位矩阵,记为 E n ,在不致引起含混时简单写为 E .显然有 A E A sn n sn = , E A A s sn sn = . 矩阵的乘法和加法还适合分配律,即 A B C AB AC ( ) , + = + (9) ( ) . B C A BA CA + = + (10) 这两个式子的证明留给读者自己来作.应该指出,由于矩阵的乘法不适合交换律,所以(9)与(10)是两条不 同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂,设 A 是一 n n 矩阵,定义 1 1 , k k A A A A A + = =  换句话说, k A 就是 k 个 A 连乘.当然,方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律,不难 证明 k l k l A A A + = , ( ) , k l kl A A 这里,是 kl, 任意正整数.证明留给读者去做.因为矩阵乘法不适合交换律,所以 ( )k AB 与 k k A B 一般地不

相等 3.数量乘法 定义4矩阵 kaka2.kan ka1ka2.ka ka1ka2.kan 称为矩阵A=(a,)m与数k的数量乘积记为k4. 不难验证，数量乘积适合以下的规律： (k+A=kA+IA (A+B)=KA+B, (12) k()=(A. (13) 14=A, (14) k(AB)=(kA)B=A(kB). (15) 我们只证明等式(15)，其余留给读者证明设A=(a)m,B=(bn)m,在k(AB),(k4)B,A(kB)中，亿，)的 元素依次为 k∑abna,b,=k∑a,ba,)=k2a,bn 显然它们是一样的，这就证明了等式(15)， 矩阵 (k0.0 =0k.0 (00.k 通常称为数量矩阵，作为15)的特殊情形，如果A是一n×n矩阵，那么有 kA=(kE)A=A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的.再有， kE+=(k+)E, 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法。 4转置 把一矩阵的A行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为A'.可确切地定义如下：

相等. 3.数量乘法 定义 4 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn ka ka ka ka ka ka ka ka ka             称为矩阵 ( ) A a = ij sn 与数 k 的数量乘积,记为 kA. 不难验证,数量乘积适合以下的规律: ( ) k l A kA lA + = + (11) k A B kA kB ( ) , +=+ (12) k lA kl A ( ) ( ) , = (13) 1 , A A = (14) k AB kA B A kB ( ) ( ) ( ). = = (15) 我们只证明等式(15),其余留给读者证明.设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij sn jt nm 在 k AB kA B A kB ( ),( ) , ( ) 中,( , ) it 的 元素依次为 1 , n ij jt j k a b =  1 ( ) n ij jt j ka b =  = 1 , n ij jt j k a b =  1 ( ) n ij jt j a kb =  = 1 , n ij jt j k a b =  显然它们是一样的,这就证明了等式(15). 矩阵 0 0 0 0 0 0 k k kE k       =       通常称为数量矩阵,作为(15)的特殊情形,如果 A 是一 n n 矩阵,那么有 kA kE A A kE = = ( ) ( ). 这个式子说明,数量矩阵与所有的 n n 矩阵作乘法是可交换的.再有, kE lE k l E + = + ( ) , 这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4.转置 把一矩阵的 A 行列互换,所得到的矩阵称为 A 的转置,记为 A .可确切地定义如下:

定义5设 aia.am A= azaz.azm a1a2.am 所谓A的转置就是指矩阵 aa.am = ana2nam 显然，S×n矩阵的转置是n×s矩阵 矩阵的转置适合以下的规律： (4)=A, (16) (A+B)'=4+B'. (17) (AB)'=B'A', (18) kA'=k'. (19) (16)表示两次转置就还原，这是显然的.(17，(19)也很容易验证现在来看一下(18).设 aa.a） bb2.bm A=4ag.4n B= b1b2.b2n a1a2.amJ (bw1bx2.bnm 4B中化)的元素为立0，A所以(By中》的元素被是g,=立04：其次，B中的心)元 素是b,中(k,)的元素是a,因之，B”中(，)的元素即为 6-260,-26=6 故(18)成立

定义 5 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       所谓 A 的转置就是指矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n sn a a a a a a A a a a        =       显然, s n 矩阵的转置是 n s  矩阵 矩阵的转置适合以下的规律: ( ) , A A   = (16) ( ) , A B A B + = +    (17) ( ) , AB B A    = (18) kA kA   = . (19) (16)表示两次转置就还原,这是显然的.(17),(19)也很容易验证.现在来看一下(18).设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 n n N N nm b b b b b b B b b b       =       AB 中 ( , ) i j 的元素为 1 , n ik kj k a b =  所以 ( ) AB  中 ( , ) i j 的元素就是 ij c = 1 n jk ki k a b =  .其次, B 中的 ( , ) i k 元 素是 , ki b A 中 ( , ) k j 的元素是 , jk a 因之, BA  中 ( , ) i j 的元素即为 ' 1 n ij ki jk k c b a = =  1 . n jk ki ij k a b c = = =  故(18)成立. 作业: P202,习题 1 之 1),P204,习题 10. 预习: 下一节的基本概念

S3矩阵的乘积的行列式与秩S4矩阵的逆 教学目标掌握矩阵乘积的行列试与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、柜阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学重点：逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学方法：讲授法 教学过程 S3矩阵的乘积的行列式与秩 定理1设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么 AB=A B. 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 证明这是第二章§8中己经证明了的结论 用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的情形，即有 推论1设A,A,.,An是数域P上的n×n矩阵，则 4,4,.,An=44A 定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果4≠0；否则称为退化的. 然一 ×n矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于n 从定理1立刻推出 推论2设A,B是数域P上n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩我们有 定理2设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，则 秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩 证明为了证明(2)，只需要证明秩(AB)≤秩(A),同时秩(AB)≤秩(B),现在来分别证明这两个

§3 矩阵的乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 教学目标: 掌握矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学重点: 逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §3 矩阵的乘积的行列式与秩 在这一节我们来看一下矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系. 关于乘积的行列式有 定理 1 设 A B, 是数域 P 上的两个 n n 矩阵,那么 AB A B = , 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明 这是第二章§8 中已经证明了的结论. 用数学归纳法,定理 1 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 1 设 1 2 , , , A A A m 是数域 P 上的 n n 矩阵,则 1 2 1 2 , , , A A A A A A m m = . 定义 6 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退化的,如果 A  0 ;否则称为退化的. 显然,一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 n . 从定理 1,立刻推出 推论 2 设 A B, 是数域 P 上 n n 矩阵,矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A B, 中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩,我们有 定理 2 设 A 是数域 P 上 n m 矩阵, B 是数域 P 上 m s  矩阵,则 秩 ( ) min AB  [秩 ( ) A ,秩 ( ) B ], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明 为了证明(2),只需要证明秩( ) AB  秩( ) A ,同时秩( ) AB  秩( ) B ,.现在来分别证明这两个

不等式设 a1aam b,b2.b. D A= a21a2a2m bb2. ,B= ++t +++ （ama2am b2.bm 令B,B,.,Bn表示B的行向量，C,C,.,Cn表示AB的行向量.由计算可知，C,的第j个分量和 aB+a2B,+.+anBn的第j个分量都等于∑akbg,因而 C,=a1B+aaB2+.+aB (i=1,2,.,n), 即矩阵AB的行向量组C,C,·,C,可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也就 是说 秩(AB)≤秩(B) 同样，令A,A,.,A表示A的列向量，D,D,.,D表示AB的列向量由计算可知， D=bA,b4,.,bA (i=l,2,.,) 这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者 的秩，这就是说， 秩(AB)S秩(A) 用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的情形，即有 推论如果A=A4.4,那么 秩(4)≤in秩(4，) §4矩阵的逆 在2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是n×n矩阵 我们知道，对于任意n的级方阵A都有 AE=EA=A, 这里E是n级单位矩阵因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数 中的地位，一个复数a≠0的倒数a~可以用等式

不等式.设 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 , s s m m ms b b b b b b B b b b       =      . 令 1 2 , , , B B B m 表示 B 的行向量, 1 2 , , , C C Cm 表示 AB 的行向量.由计算可知, Ci 的第 j 个分量和    i i im m 1 1 2 2 B B B + + + 的第 j 个分量都等于 1 m ik kj k a b =  ,因而 1 1 2 2 ( 1,2, , ), C B B B i n i i i im m = + + + =    即矩阵 AB 的行向量组 1 2 , , , C C Cn 可经 B 的行向量组线性表出.所以 AB 的秩不能超过 B 的秩,也就 是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) B . 同样,令 1 2 , , , A A A m 表示 A 的列向量, 1 2 , , , D D D s 表示 AB 的列向量.由计算可知, 1 1 2 2 , , , ( 1,2, , ) D b A b A b A i s i i i mi m = = . 这个式子表明,矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A 的列向量组线性表出,因而前者的秩不可能超过后者 的秩,这就是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) A . 用数学归纳法,定理 2 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 如果 A A A A = 1 2 t ,那么 秩 1 ( ) min j t A    秩 ( ) Aj . §4 矩阵的逆 在§2 我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是 n n 矩阵. 我们知道,对于任意 n 的级方阵 A 都有 AE EA A = = , 这里 E 是 n 级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看, n 级单位矩阵在 n 级方阵中的地位类似于 1 在复数 中的地位,一个复数 a  0 的倒数 1 a − 可以用等式