《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第八章 λ一矩阵

第八章λ一矩阵 §1λ一矩阵§2一矩阵初等变换下的标准形 教学目标：掌握λ一矩阵、λ一矩阵的初等变换、λ一矩阵初等变换下的标准形的概念，λ一矩 阵可逆的充要条件，标准形的求法。 教学重点：λ一矩阵初等变换下的标准形的求法。 教学方法：讲授法. 教学过程： §1λ一矩阵 设P是一个数域，是一个文字.若一个矩阵的元素均属于P[],则称此矩阵为λ一矩阵，因为 PCP[],故通常所说P上矩阵也是λ一矩阵.为了区别起见，P上矩阵称为数字矩阵.今后用 A(1),B(1)等表示λ一矩阵 与数字矩阵一样λ一矩阵也有加法、乘法运算，并且有与数字矩阵相同的算律.同样n×n,λ— 矩阵也有行列式的概念，并与数字矩阵的行列式有相同的性质.利用行列式，可定义一矩阵的子式， 由此可得 定义1若λ一矩阵A()有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1级子式（若存在的话）全为 零，则称A()的秩为r.规定零矩阵的秩为零 定义2设A()为矩阵，若存在n×nλ一矩阵B()使 A(1)B(2)=B(1)A(λ)=E (1) 则称A(1)可逆.而B()就称为A()的逆矩阵，记为A-1() 定理1n级矩阵A(λ)可逆0≠|A(λ)∈P 证明若A()可逆，则有B()使(1)式成立.两边取行列式得 |A(λ)}|B(λ)|=|E|=1 上式表明A(1)是P[1]中的零次多项式，即P中非零数

第八章  —矩阵 §1  —矩阵 §2  —矩阵初等变换下的标准形 教学目标: 掌握  —矩阵、  —矩阵的初等变换、  —矩阵初等变换下的标准形的概念，  —矩 阵可逆的充要条件，标准形的求法。 教学重点:  —矩阵初等变换下的标准形的求法。 教学方法: 讲授法. 教学过程: §1  —矩阵 设 P 是一个数域，是一个文字.若一个矩阵的元素均属于 P ，则称此矩阵为  —矩阵，因为 P P   ，故通常所说 P 上矩阵也是  —矩阵.为了区别起见， P 上矩阵称为数字矩阵.今后用 A B ( ), ( )   等表示  —矩阵 与数字矩阵一样  —矩阵也有加法、乘法运算，并且有与数字矩阵相同的算律.同样 n n ， — 矩阵也有行列式的概念，并与数字矩阵的行列式有相同的性质.利用行列式，可定义  —矩阵的子式， 由此可得 定义 1 若  —矩阵 A( )  有一个 r r( 1)  级子式不为零，而所有 r +1 级子式(若存在的话)全为 零，则称 A( )  的秩为 r .规定零矩阵的秩为零. 定义 2 设 A( )  为矩阵，若存在 n n  —矩阵 B( )  使 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( )     = = (1) 则称 A( )  可逆.而 B( )  就称为 A( )  的逆矩阵，记为 1 A ( )  − . 定理 1 n 级矩阵 A( )  可逆    0 ( ) A P  . 证明 若 A( )  可逆，则有 B( )  使(1)式成立.两边取行列式得 A B E ( ) ( ) 1    = = 上式表明 A( )  是 P中的零次多项式，即 P 中非零数

反之，若d=A(2)是P中非零数，令A'()表4()的伴随矩阵，则它也是入一矩阵由于 A.4'a-'a.4a=E d d 故A(2)可逆 $2入一矩阵初等变换下的标准形 定义3以下变换叫做入一矩阵的初等变换： (1)交换矩阵的两行（列）： (2)用非零数c乘矩阵的某一行（列）： (3)将矩阵某一行（列）的(2)倍加到另一行（列），这是()∈P[ 和数字矩阵一样，对应上述三种初等变换，也可引进初等矩阵，分别记为P亿，)，PG(c》P亿，j(()》 其作用也和数字阵中的初等矩阵相同初等矩阵均可逆且 P'6,)=P6,),P-'(ic》=Pi(白》P-'Gjoa》=P6j0a》 为了简便，今后用记号[，小表示交换1，j两行（列[(c]表示用c≠0乘i行（列）：[i+j(p]表示把j 行列的(2)倍加到1行（列）. 定义4若经一系列初等变换可将A)化为B(),则称A()与B()等价 易知等价关系且有反身性、对称性与传递性利用初等变换与初等矩阵的关系可得，A()与B()等 价的充要条件是有一系列初等矩阵B,B,.,P,2,22,.,2使 A()=R,B,.,PB(2)g,O2,.,g (0) 本节将证明任意一个入一矩阵都可经初等变换化为某种对角形.为此，先证 引理设A()的左上角元素a,(2)≠0.并且A()至少有一个元素不被它整除.那么必有与 4)等价的矩阵B(),它的左上角元素也不为零，但次数比a,()的次数低 证明4()的第一列中有一个元素a()不能被4(2)整除，则 aa(2)=a,(a)q)+r(2),r()≠0，(a)<a(a,(2) 对A()作下列初等行变换：

反之，若 d A = ( )  是 P 中非零数，令 A ( )   表 A( )  的伴随矩阵，则它也是  —矩阵.由于 ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A E d d        =  = 故 A( )  可逆. §2  —矩阵初等变换下的标准形 定义 3 以下变换叫做  —矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列)； (2) 用非零数 c 乘矩阵的某一行(列)； (3) 将矩阵某一行(列)的  ( ) 倍加到另一行(列)，这是    ( ) . P  和数字矩阵一样，对应上述三种初等变换，也可引进初等矩阵，分别记为 P i j P i c ( , ), ( ( )) P i j ( , ( ( )))   其作用也和数字阵中的初等矩阵相同.初等矩阵均可逆且 1 1 1 1 P i j P i j P i c P i P i j P i j ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) c     − − − = = = 为了简便，今后用记号 i j ,  表示交换 i j , 两行(列). i c( ) 表示用 c  0 乘 i 行(列)； i j + ( )   表示把 j 行(列)的  ( ) 倍加到 i 行(列). 定义 4 若经一系列初等变换可将 A( )  化为 B( )  ，则称 A( )  与 B( )  等价. 易知等价关系且有反身性、对称性与传递性.利用初等变换与初等矩阵的关系可得， A( )  与 B( )  等 价的充要条件是有一系列初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , P P P Q Q Q s t 使 1 2 1 2 ( ) , , , ( ) , , , A P P P B Q Q Q   = s t (1) 本节将证明任意一个  —矩阵都可经初等变换化为某种对角形.为此，先证 引理 设 A( )  的左上角元素 11 a ( ) 0   .并且 A( )  至少有一个元素不被它整除.那么必有与 A( )  等价的矩阵 B( )  ，它的左上角元素也不为零，但次数比 11 a ( )  的次数低. 证明 A( )  的第一列中有一个元素 1 ( ) i a  不能被 11 a ( )  整除，则 1 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, ( ( )) ( ( ))) i a a q r r r a        = +     . 对 A( )  作下列初等行变换：

a(). a().）r().） 4A)= =B(2) a(2). r(2). a(2). 则B()即为所求 1)在A()的第一行中有一个元素a,()不能被a,(2)整除，此时的证明与1)类似 2)A()的第一行与第一列中，所有元素均被4，()整除，但A)中另有一个元素 a,(2)(，j广>)不能被a,(a)整除设a(2)=a,()(2).对A(2)作下述等行变换 a(2).a(a).） a.a,(2). 4A(2)= a().a,(2) 0.a,()-a,((2) a(2).a(2)+(1-p()a(2).】 =A(a). 0.a,(2)-a(a0p(2). 矩阵A()的第一行中有一个元素a,(a)+(1-p)a,()不能被a,(2)整除，化为情形2) 定理2任意一个非零s×n入一矩阵A()都等价于形如 d,(a) d2(2) d.(a) 0 0 的矩阵，其中r21,d,(2)0=1,2,.,r)是首次系数为1的多项式，且d()d(2)(i=1,2,.,r-1) 证明经过适当的行列调动后.可使A()左上角元素a,(2)≠0.如果a,(2)不能整除A()的所 有元素，由引理，有与A2)等价的B()它左上角的元素b(a)≠0，且次数比a,()低如果6()还 不能整除B(2)的所有元素，由引理，又有与B,()等价的B,(),它左上角的元素b,()≠0，且次

    11 11 1( ) 1, 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i q i i a a r A B a r a         −                   = → → =                     则 B( )  即为所求. 1) 在 A( )  的第一行中有一个元素 1 ( ) i a  不能被 11 a ( )  整除，此时的证明与 1)类似. 2) A( )  的第一行与第 一列中，所 有元素均被 11 a ( )  整除，但 A( )  中另有一个 元素 ( ) ( , 1) ij a i j   不能被 11 a ( )  整除.设 1 11 ( ) ( ) ( ). i a a     = 对 A( )  作下述等行变换：     11 1 11 1 1( ) 1 1 11 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( )) ( ) 0 j j i i ij ij j ij j i i a a a a A a a a a a a a a                 − +         = → −     + − → 1 1 ( ). ( ) ( ) ( ) j j A a          = −   矩阵 1 A ( )  的第一行中有一个元素 1 ( ) (1 ( )) ( ) ij j a a     + − 不能被 11 a ( )  整除，化为情形 2). 定理 2 任意一个非零 s n  —矩阵 A( )  都等价于形如 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d d          的矩阵，其中 1, ( ) ( 1,2, , ) i r d i r  =  是首次系数为 1 的多项式，且 1 ( ) ( ) ( 1,2, , 1) i i d d i r   + = − . 证明 经过适当的行列调动后.可使 A( )  左上角元素 11 a ( ) 0   .如果 11 a ( )  不能整除 A( )  的所 有元素，由引理，有与 A( )  等价的 1 B ( )  它左上角的元素 1 b ( ) 0,   且次数比 11 a ( )  低.如果 1 b ( )  还 不能整除 1 B ( )  的所有元素，由引理，又有与 1 B ( )  等价的 2 B ( )  ，它左上角的元素 2 b ( ) 0,   且次

数比b(2)低如此继续进行下去因a(a)的次数有限，有限步之后，必有B,(a)与A()等价.它左上 角元素b,(2)≠0，且b,(2)整除B,()的所有元素b,()b(2)=b,()q(). 对B,(2)作初等变换 b,().h().】 (b.(2)0 [2-a-0 B,(2) .2-z-(:: A(2) 其中A()中所有元素均被b,()整除，因为它们都是B,()中元素的组合 如果A()≠0，则对A(入)重复以上过程，进而把矩阵化为 d.()0.0Y 0 d(a).0 0 0 A(2) 0 0 (0 0 其中d()与d,(a)都是首次系数为1的多项式(d(a)与b,()只差一个数数倍数)，而且 d(2)d4(),d()整除A(a)的所有元素 如此进行下去，4()最后就化成了所要求的形式，它称为A()的标准形 例用初等变换化 (1-元21-1 4)=元2-1 1+22+元-1-2 为标准形 12-1 ）12-1元） 10 解：4高02-元→0-元 30- 12+2-1-21-1-2-0-元-2- 10 0-a时10 2 0 0-2232*200-22-元 02 0=B)】 002+

数比 1 b ( )  低.如此继续进行下去.因 11 a ( )  的次数有限，有限步之后，必有 ( ) B s  与 A( )  等价.它左上 角元素 ( ) 0, s b   且 ( ) s b  整除 ( ) B s  的所有元素 ( ); ( ) ( ) ( ). ij ij s ij b b b q     = 对 ( ) B s  作初等变换      21 31    12 13 1 2 1( ) , 3 1( ) , 2 1( ) , 3 1( ) , 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 s j s q q s q q i b b b B b A       − − − −             = →                 其中 1 A ( )  中所有元素均被 ( ) s b  整除，因为它们都是 ( ) B s  中元素的组合. 如果 1 A ( ) 0   ，则对 1 A ( )  重复以上过程，进而把矩阵化为 1 2 2 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 d d A          其中 1 d ( )  与 2 d ( )  都是首次系数为 1 的多项式( 1 d ( )  与 ( ) s b  只差一个数数倍数) ，而且 1 2 2 d d d ( ) ( ), ( )    整除 2 A ( )  的所有元素. 如此进行下去， A( )  最后就化成了所要求的形式，它称为 A( )  的标准形. 例 用初等变换化 2 2 3 2 1 2 1 ( ) 1 1 A              − −   = −       + + − − 为标准形 解：         3 1 2 2 2 1 3 2 1(2 1) 3 2 3 2 3 2 3 1( ) 1 2 1 1 2 1 1 0 0 ( ) 0 0 0 1 1 1 0 A                         − + − − −       − −       → − → − → −                   + − − − − − − − −             3 2( 1) 2( 1) , 3( 1) 2 2,3 3 2( ) 2,3 2 3 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ). 0 0 0 0 0 B                − + − − +             → − → − → → =               − − − − − +    

$3不变因子 教学目标掌握行列式因子的概念与性质，不变因子的概念，二入一矩阵等价的充要条件，入一 矩阵可逆的充要条件。 教学重点：行列式因子、不变因子的概念，二入一矩阵等价的充要条件。 教学方法：讲授法。 教学过程： 现在来证明，入一矩阵的标准形是唯一的。首先引入 定义5设元一矩阵4(2)的秩为r,1≤k≤”，A()中全部k阶子式的首项系数为1的最大公因 式D,()称为4()的k阶行列式因子。 定理3等价的入一矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。 证明：我们只需证明，入一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。 设一矩阵A)经过一次行初等变换变成B(),f()与g()分别是4()与B(2)的k阶行 列式因子。我们证明∫=g。下面分三种情形讨论： 1)A()→B()。这时，B()的每个k阶子式或者等于4()的某个k阶子式，或者与 4)的某个k阶子式反号，因此f()是B()的k阶子式的公因式，从而f(2)g()。 2)4()m©1→B()。B()的每个k阶子式或者等于A)的某个k阶子式，或者等于A() 的某个k阶子式的c倍。因此f(a)是B()的k阶子式的公因式，从而f)g()。 3)A()1B)。这时B()中那些包含1行与j行的k阶子式和那些不包含1行与/ 行的k阶子式都等于A()中对应的k阶子式：B()中那些包含i行但不包含j行的k阶子式，按1行

作业: P355,习题 1 之 2），3）。. 预习: 下一节的基本概念. §3 不变因子 教学目标: 掌握行列式因子的概念与性质，不变因子的概念，二  —矩阵等价的充要条件，  — 矩阵可逆的充要条件。 教学重点: 行列式因子、不变因子的概念，二  —矩阵等价的充要条件。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 现在来证明，  —矩阵的标准形是唯一的。首先引入 定义 5 设  —矩阵 A( )  的秩为 r k r ,1  ，A( )  中全部 k 阶子式的首项系数为 1 的最大公因 式 ( ) Dk  称为 A( )  的 k 阶行列式因子。 定理 3 等价的  —矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。 证明： 我们只需证明，  —矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。 设  —矩阵 A( )  经过一次行初等变换变成 B( )  ，f ( )  与 g( )  分别是 A( )  与 B( )  的 k 阶行 列式因子。我们证明 f g = 。下面分三种情形讨论： 1） A( )  ⎯⎯⎯→[ , ] i j B( )  。这时， B( )  的每个 k 阶子式或者等于 A( )  的某个 k 阶子式，或者与 A( )  的某个 k 阶子式反号，因此 f ( )  是 B( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。 2） A( )  ⎯⎯⎯→ [ ( )] i c B( )  。B( )  的每个 k 阶子式或者等于 A( )  的某个 k 阶子式，或者等于 A( )  的某个 k 阶子式的 c 倍。因此 f ( )  是 B( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。 3） A( )  ⎯⎯⎯⎯→ [ ( )] i j +  B( )  。这时 B( )  中那些包含 i 行与 j 行的 k 阶子式和那些不包含 i 行与 j 行的 k 阶子式都等于 A( )  中对应的 k 阶子式； B( )  中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 阶子式，按 i 行