第九章欧几里得空间 §1.定义与基本性质 教学目标掌握欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式，度量矩阵的概念。 教学重点：欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式。 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设V是实数域R上的一个线性空间，若在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 (a,B),它具有下列性质： )(a,B=(B,a 2)(ka,B)=k(a.B). 3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y5 4)(a,a)20,(a,a)=0a=0. 这里a,B,y是V中任意向量，k是任意实数，则称V为欧几里得空间. 例1.在R”中对任意向量 a=(a,4,.an)bB=(6,b2,.b) (a.B)=ab+ab+.+ab (1) 定义 则易知()是内积，从而R”是欧几里得空间，今后仍用R”表示它 例2.在[a,上所有实连续函数全体所成线性空间C[a,]中.定义 (fx,g(x》=fxg(x)d 2 由定积分性质不难证明(2)是内积从而C[a,b]构成欧几里得空间 下面指出，欧几里得空间的一些基本性质，由定义1中1)可得 2)(a,kB)=(kBa)=k(B,a)=(a,B):
第九章 欧几里得空间 §1.定义与基本性质 教学目标: 掌握欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式，度量矩阵的概念。 教学重点: 欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 V 是实数域 R 上的一个线性空间，若在 V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 ( , ), 它具有下列性质： 1) ( , ) ( , ); = 2) ( , ) ( , ); k k = 3) ( , ) ( , ) ( , ); + = + 4) ( , ) 0,( , ) 0 0. = = 这里 , , 是 V 中任意向量， k 是任意实数，则称 V 为欧几里得空间. 例1. 在 n R 中.对任意向量 1 2 1 2 ( , , ), ( , , ) n n = = a a a b b b 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b (1) 定义 则易知(1)是内积，从而 n R 是欧几里得空间，今后仍用 n R 表示它. 例 2．在 a b, 上所有实连续函数全体所成线性空间 C a b , 中.定义 ( ( ), ( )) ( ) ( ) b a f x g x f x g x dx = (2) 由定积分性质不难证明(2)是内积.从而 C a b , 构成欧几里得空间. 下面指出，欧几里得空间的一些基本性质，由定义 1 中 1)可得 2) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ); k k k k = = =
3)(a,B+Y）=(B+,a)=(B,a)+(y,a)=(a,B)+(a,) 由条件4)可知，对任意向量a,√(a,a)有意义.于是我们引进 定义2非负实数√a,a)称为向量a的长度，记为d, 由此定义可知，对a∈V,k∈R有 ka=a ⊙ 长度为1的向量称为单位向量若口去0则由)5知·回“线是一个单位向最，如此得到单位向 量的方法称为将α单位化. 为了在一般欧几里得空间中引进夹角的概念，我们先给出 柯西一布涅柯夫斯基不等式：对Va,BeV有 (a.B)saB 当且仅当α，B线性相关时，等号成立 证明B-0时，结论显然成立以下设B≠0.令1为实变量，则由条件(4)知，对1∈R有 (a+1B,a+tβ)20.即 (a,a)+2(a,B)1+(B+B)r2≥0 由一元二次实函数的性质可知 4[(a,B)-4(a,aBB≤0. 由此即得(a,B)≤(a,a(B,).当a,B线性相关时，等号显然成立.反之，若等号成立.则必有 (a+iB,a+tB)=0.由条件4)有a+tB=0.故a,B线性相关 由(4)可导出许多著名的不等式例如对例1中的空间R”,(4)式即 22c2 而对于例2中的空间C[a,b],(4式即 rsd
3) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). + = + = + = + 由条件 4)可知，对任意向量 , ( , ) 有意义.于是我们引进 定义 2 非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 . 由此定义可知，对 V k R , 有 k k = (3) 长度为 1 的向量称为单位向量.若 0. 则由(3)易知， 1 就是一个单位向量，如此得到单位向 量的方法称为将 单位化. 为了在一般欧几里得空间中引进夹角的概念，我们先给出 柯西—布涅柯夫斯基不等式：对 , V 有 ( , ) (4) 当且仅当 , 线性相关时，等号成立. 证明 = 0 时，结论显然成立.以下设 0. .令 t 为实变量，则由条件(4)知，对 t R 有 ( , ) 0. + + t t 即 2 ( , ) 2( , ) ( ) 0 + + + t t (5) 由一元二次实函数的性质可知. 2 4 ( , ) 4( , )( , ) 0. − 由此即得 ( , ) ( , )( , ). .当 , 线性相关时，等号显然成立.反之，若等号成立.则必有 ( , ) 0. + + = t t .由条件 4)有 + = t 0 .故 , 线性相关. 由(4)可导出许多著名的不等式.例如.对例 1 中的空间 n R ，(4)式即 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = 而对于例 2 中的空间 C a b , ，(4)式即 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx
利用(4)我们可以引入 定义3非零向量a,B的夹角(a,B)规定为 (a.B)=arccos((a.p) aB 此外由(4)还容易推出三角不等式 la+Bsla+B 定义4对Va,B∈V,若(a,)-0.则称a与B正交或互相垂直，记为a⊥B 由定义可知，两个非零向量正交一它们的夹角为气，此外，零向量与任何向量正交 在欧几里得空间中，勾股定理及其推广成立，即若：上B,则 la+Br=la+o 又当a,a2,.,an两两正交时，有 la+a42+.+an=af+la2+.+aP 设V是n维欧几里得空间.6，.，6n是V的一组基，对于二向量 =x6+x262++xEn,B=y6+y62++y6n (a,B)=(2x2y5,)=2G,e,xy iel fel a,=(e2,6,i,j=1,2,n. 显然有a,=an,于是 (a.-axy 利用矩阵，(a,B)还可以写成 (a.B)=X'AY (10 其中
利用(4).我们可以引入 定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 ( , ) , arccos , 0 , . = (6) 此外.由(4)还容易推出三角不等式 + + (7) 定义 4 对 , V ，若 ( , ) 0. = 则称 与 正交或互相垂直，记为 ⊥ . 由定义可知，两个非零向量正交 它们的夹角为 , 2 此外，零向量与任何向量正交. 在欧几里得空间中，勾股定理及其推广成立，即若 ⊥ ，则 2 2 2 + = + 又当 1 2 , , , m 两两正交时，有 2 2 2 2 1 2 1 2 + + + = + + + m m 设 V 是 n 维欧几里得空间. 1 , , n 是 V 的一组基，对于二向量 1 1 2 2 1 1 2 2 , n n n n = + + + = + + + x x x y y y 有 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n i i j j i j i j i j i j x y x y = = = = = = 令 ( , ), , 1,2, , . ij j a i j n = = (8) 显然有 ij ji a a = ，于是 1 1 ( , ) n n ij i j i j a x y = = = (9) 利用矩阵， ( , ) 还可以写成 ( , ) = X AY (10) 其中
分别是a,B的坐标，而A=(a)n称为基6，6n的度量矩阵 易证（留作作业），不同基的度量矩阵是合同的.又X≠(0，.，0y'时(a,a)=XAX>0.故度量知 阵是正定的最后，约定用欧氏空间表示欧几里得空间. 作业·P394习题1。 预习：下一节的基本概念 §2标准正交基 教学目标掌握标准正交基的定义，一组基为标准正交基的充要条件、施密特正交化方法。 教学重点：标准正交基的定义，施密特正交化方法。 教学方法：讲授法 教学过程 定义5欧氏空间V一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组 注意：单独一个非零向量所成向量组也是正交向量组. 首先，我们有：正交向量组是线性无关的事实上，若4，.，an是正交向量组，令 k4+k凸2++kan=0, 用a,与等两边作内积得R(C,)=0.由C,≠0有(aC,a)>0.，故必有k=0(i=1,2,m) 因此，4，.，n线性无关 定义6.在维欧氏空间中，含n个向量的正交向量组称为正交基：由单位向量构成的正交基称为 标准正交基. 设6，.，6n是一组标准正交基由定义有 6-6 (0 由(1)立即推出：一组基是标准正交基一它的度量矩阵是单位矩阵. 再由度量矩阵正交及正定矩阵必与单位矩阵合同，可知V中必有一组基的度量矩阵为单位矩阵
1 1 , n n x y X Y x y = = 分别是 , 的坐标，而 ( ) A a = ij n n 称为基 1 , , n 的度量矩阵. 易证(留作作业)，不同基的度量矩阵是合同的.又 X (0, ,0) 时 ( , ) 0. = X AX 故度量矩 阵是正定的.最后，约定用欧氏空间表示欧几里得空间. 作业: P394,习题 1。. 预习: 下一节的基本概念. §2 标准正交基 教学目标: 掌握标准正交基的定义，一组基为标准正交基的充要条件、施密特正交化方法。 教学重点: 标准正交基的定义，施密特正交化方法。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 5 欧氏空间 V 一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 注意：单独一个非零向量所成向量组也是正交向量组. 首先，我们有：正交向量组是线性无关的.事实上，若 1 , , m 是正交向量组，令 1 1 2 2 0, m m k k k + + + = 用 i 与等两边作内积得 ( , ) 0. Riii = 由 0 i 有 ( , ) 0. i i ，故必有 0( 1,2, , ) i k i m = = . 因此， 1 , , m 线性无关. 定义 6.在 n 维欧氏空间中，含 n 个向量的正交向量组称为正交基；由单位向量构成的正交基称为 标准正交基. 设 1 , , n 是一组标准正交基.由定义有 1, ; ( , ) 0, . i j i j i j = = (1) 由(1)立即推出：一组基是标准正交基 它的度量矩阵是单位矩阵. 再由度量矩阵正交及正定矩阵必与单位矩阵合同，可知 V 中必有一组基的度量矩阵为单位矩阵
从而V中必有标准正交基 利用标准正交基，向量的坐标可由内积方便地表示出来即 a=(6,a)6+(62,a)62+.(6n,a)6 此外，在标准正交基下，内积的表达式非常简单，设 a-2-2% (a,B)=∑xy=XY 定理1n维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基 证明设，.，an是正交向量组，对n一m作数学归纳法 当n-m=0时，a,.,a己是一组正交基假设n-m=k时定理成立，即可以找到民，月使 ,.,a,月，.，成为一组正交基 现在看n-m=k+1的情形因为m<n,必有B不级被a,.,a线性表出.令 aml=B-k-k32-k 其中k,.,kn待定用C,与a1作内积得 (a,ai)=(B,a)-k(g,g),i=l,2,.,m. ，则有a.a=0=2,m由B的取法可知a0因4以是 正交向量组.又因为此时有n-(m+)=k+m+1-(m+)=k,由归纳假设.a,.,a可以扩充为一 正交基于是定理得证 下面给出由V的任意一组基求出V的标准正交基的方法 定理2由欧氏空间V的任意一组基6，6，都可求出V的一组标准正交基 证明设6，6n是一组基取乃=6，一般地，假定已求出，h,.,门m(m≤m).它们是正交向 量组由定理1它们可扩充成的一组正交基，m,。再将它们单位化，即得的一组标准 正交基。 例把 a4=(11,0,0,a2=1,0,1,0),a4=(-1,0,0,1).a4=(1-1,-1,)
从而 V 中必有标准正交基. 利用标准正交基，向量的坐标可由内积方便地表示出来.即 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) = + + n n (2) 此外，在标准正交基下，内积的表达式非常简单，设 1 1 , n n i i i i i i x y = = = = 则 1 ( , ) n i i i x y X Y = = = (3) 定理 1 n 维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基. 证明 设 1 , , m 是正交向量组，对 n m− 作数学归纳法. 当 n m− =0 时， 1 , , m 已是一组正交基.假设 n m k − = 时定理成立，即可以找到 1 , , k 使 1 1 , , , , , m k 成为一组正交基. 现在看 n m k − = +1 的情形.因为 m n ，必有 不级被 1 , , m 线性表出.令 1 1 1 2 2 , m m m k k k + = − − − − 其中 1 , , m k k 待定.用 i 与 m+1 作内积得 1 ( , ) ( , ) ( , ), 1,2, , . i m i i i i + = − = k i m 取 ( , ) , ( , ) i i i i k = 则有 1 ( , ) 0 ( 1,2, , ). i m + = =i m 由 的取法可知 1 0. m+ .因此 1 1 , , m+ 是 正交向量组.又因为此时有 n m k m m k − + = + + − + = ( 1) 1 ( 1) , 由归纳假设. 1 1 , , m+ 可以扩充为一 正交基.于是定理得证. 下面给出由 V 的任意一组基.求出 V 的标准正交基的方法. 定理 2 由欧氏空间 V 的任意一组基 1 , , n 都可求出 V 的一组标准正交基. 证明 设 1 , , n 是一组基.取 1 1 = , 一般地，假定已求出 1 2 , , , ( ) m m n .它们是正交向 量组.由定理 1.它们可扩充成 V 的一组正交基. 1 , , , , . m n 再将它们单位化，即得 V 的一组标准 正交基. 例 把 1 2 3 4 = = = − = − − (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1)