Perron定理和 Frobenius定理 二. Perron定理和 Frobenius定理 定理72( Perron定理)设A>0,则 (1)p(A)>0; (2)p(A是A的一个单特征值; ()存在唯一的x>0,使得Ax=D(4Ax,|xl=1
Perron定理和Frobenius定理 二．Perron 定理和 Frobenius 定理 定理 7.2（Perron 定理）设 A 0 ，则 (1) ( ) 0 A ； (2) ( ) A 是 A 的一个单特征值； (3) 存在唯一的 x 0，使得 Ax A x = ( ) ， 1 x =1；
Perron定理和 Frobenius定理 (4)存在唯一的y>0,使得Ay=p(A)y,yx=1; 5)对v∈0(A),若≠(,则<以(4); (6)lim P (A)A=xy n→0
Perron定理和Frobenius定理 (4) 存在唯一的 y 0，使得 ( ) T A y A y = ， 1 T y x = ； (5) 对 ( ) A ，若 ( ) A ，则 ( ) A ； (6) 1 lim ( ) m T m A A xy − → =
Perron定理和 Frobenius定理 需要以下引理 引理1设≠0(i=1;…,m),则 ∑:|= 台存在O∈R,使得e二1>0,j=1,…,m(m个二,处在同一射线上)
Perron定理和Frobenius定理 需要以下引理： 引理 1 设 0 i z ( 1, , ) i m = ，则 1 1 m m j j j j z z = = = 存在 R，使得 0 i j e z ， j m =1, , （m 个 j z 处在同一射线上）
Perron定理和 frobenius定理 引理2设A>0,Ax=Ax,|=(A,0≠x∈C",则 x=p(4)x,x>0 (2)存在∈R,使得y=ex>0也是的特征向量 引理3λ是A的一个单特征值的充要条件是 (1)ramk(I-A)=n-1,即元的几何重数为1 (2)左右特征值向量u,,满足uv≠0
Perron定理和Frobenius定理 引理 2 设 A 0 ， Ax x = ， = ( ) A ，0 n x C ，则 (1) A x A x = ( ) ， x 0； (2) 存在 R，使得 0 i y e x = 也是 的特征向量. 引理 3 是 A 的一个单特征值的充要条件是 (1)rank I A n ( ) 1 − = − ，即 的几何重数为 1. (2) 左右特征值向量u ，v ，满足 0 T u v
Perron定理和 Frobenius定理 定理73设A≥0,则 (1)p(A是A的特征值; (2)存在x≥0,x≠0,使得Ax=p(A)x
Perron定理和Frobenius定理 定理 7.3 设 A 0，则 (1) ( ) A 是 A 的特征值； (2) 存在 x 0 ， x 0，使得 Ax A x = ( )