华中科技大学：物理实验教学资源（讲义课件）单摆与三线摆

单摆与三线摆实验本实验预习时请参考大学物理实验教材第一册：实验2.1单摆的设计与不确定度分析和实验6.1多功能摆的设计与研究。一、背景介绍测量重力加速度对地球物理学科、大地测量学科、计量学科、石油矿场勘探、地质学科研究、地震预测等领域具有广泛实用价值，如地质勘探中，经过测量重力加速度可获知重力场异常区位置，进而达到勘探矿产资源及石油资源的目的。同时运用岩石与矿物密度和重力场间存在的关系研究构造。现有测量重力加速度的经典方法有单摆法，三线摆法，打点时法，落球法，弹簧称法，平衡法以及滴水法等。单摆法及三线摆均是基于摆动这一最基本的物理现象。伽利略很早就发现了摆的等时性原理，指出摆的周期与摆长的平方根成正比，而与摆的质量和材料无关，为后来摆钟的设计与制造奠定了基础。1673年，荷兰科学家惠更斯制造的惠更斯摆钟就运用了摆的等时性原理。西方工艺家们把摆的等时性原理用于时钟上，作为稳定的定时器”，使机械钟能够指示出“秒”，从而将计时精度提高了近100倍。在日常生活、工业生产、现代测量技术和科学研究各个领域中，人们已研制出形态千差万别、功能各不相同的摆，例如：单摆、双线摆、三线摆、振动摆、扭摆、弹簧摆、冲击摆、复摆、倒立摆、圆锥摆、电磁摆、混沌摆等等。根据摆的基本原理设计出来的各种精密仪器和装备，为科学的发展和社会的进步做出了显著的贡献，例如，葛氏扭摆内耗仪、凯特摆测重力加速度、傅科摆证实了地球自转等。单摆、扭摆作为最经典的实验，是众多形形色色、用途各异的精密摆的基础，它不仅在学生进行科学实验训练方面有很大作用，而且在科学研究和精密仪器设计等各个方面均有重要价值。一

1 单摆与三线摆实验 本实验预习时请参考大学物理实验教材第一册：实验 2.1 单摆的设计与不确定度分析和实 验 6.1 多功能摆的设计与研究。 一、背景介绍 测量重力加速度对地球物理学科、大地测量学科、计量学科、石油矿场勘探、地质 学科研究、地震预测等领域具有广泛实用价值，如地质勘探中，经过测量重力加速度可 获知重力场异常区位置，进而达到勘探矿产资源及石油资源的目的．同时运用岩石与矿 物密度和重力场间存在的关系研究构造。现有测量重力加速度的经典方法有单摆法，三 线摆法，打点时法，落球法，弹簧称法，平衡法以及滴水法等。 单摆法及三线摆均是基于摆动这一最基本的物理现象。伽利略很早就发现了摆的等 时性原理，指出摆的周期与摆长的平方根成正比，而与摆的质量和材料无关，为后来摆 钟的设计与制造奠定了基础。1673 年，荷兰科学家惠更斯制造的惠更斯摆钟就运用了摆 的等时性原理。西方工艺家们把摆的等时性原理用于时钟上，作为稳定的“定时器”，使 机械钟能够指示出“秒”，从而将计时精度提高了近 100 倍。在日常生活、工业生产、现 代测量技术和科学研究各个领域中，人们已研制出形态千差万别、功能各不相同的摆， 例如：单摆、双线摆、三线摆、振动摆、扭摆、弹簧摆、冲击摆、复摆、倒立摆、圆锥 摆、电磁摆、混沌摆等等。根据摆的基本原理设计出来的各种精密仪器和装备，为科学 的发展和社会的进步做出了显著的贡献，例如，葛氏扭摆内耗仪、凯特摆测重力加速度、 傅科摆证实了地球自转等。单摆、扭摆作为最经典的实验，是众多形形色色、用途各异 的精密摆的基础，它不仅在学生进行科学实验训练方面有很大作用，而且在科学研究和 精密仪器设计等各个方面均有重要价值

从上世纪七十年代开始，随着光、电、计算机、真空技术等先进科技的发展，国际上开始研制能直接测量重力加速度值的精密仪器即绝对重力仪，目前有两类：经典绝对重力仪；原子干涉绝对重力仪。中国计量院获得2017年全球绝对重力仪关键比对主办权是国际社会对我国相关工作的认可。国内冷原子重力仪主要研究机构有华中科技大学、中国计量院、浙江工业大学、中科院武汉数物等，其中华科物理学院引力中心胡忠坤、周敏康团队历经15年潜心研究，突破技术封锁，于2021年自主研发了绝对重力仪，重力测量灵敏度达到4.2μGal/Hz/2，测量不确定度达到3μGal，是国际最好水平，已经投入实际使用，为服务国家需求迈出了坚实一步。二、思考题：A、单摆实验1、为确保单摆在n个周期内小角度稳定摆动，可以采取哪些措施？2、为了提高周期T的测量精度，周期次数n是否越大越好，为何？3、根据修正后的周期公式，提出提高g的测量精度的途径。4、何谓误差均分原理？在实验设计、仪器选用方面中的作用？5、如何做使单摆做简谐振动？摆角如何选择？B、三线摆实验1、如何让三线摆稳定摆动？如何避免摆的晃动？2、摆动角度是大一些或者小一些？为什么？3、影响三线摆精度的主要因素有哪些？二、实验目的1.根据误差均分原理，对单摆法测量重力加速度g进行实验设计和仪器选配2

2 从上世纪七十年代开始，随着光、电、计算机、真空技术等先进科技的发展，国际 上开始研制能直接测量重力加速度值的精密仪器即绝对重力仪，目前有两类：经典绝对 重力仪；原子干涉绝对重力仪。中国计量院获得 2017 年全球绝对重力仪关键比对主办权， 是国际社会对我国相关工作的认可。国内冷原子重力仪主要研究机构有华中科技大学、 中国计量院、浙江工业大学、中科院武汉数物等，其中华科物理学院引力中心胡忠坤、 周敏康团队历经 15 年潜心研究，突破技术封锁，于 2021 年自主研发了绝对重力仪，重 力测量灵敏度达到 4.2μGal/Hz1/2，测量不确定度达到 3μGal，是国际最好水平，已经投入 实际使用，为服务国家需求迈出了坚实一步。 二、思考题： A、单摆实验 1、 为确保单摆在 n 个周期内小角度稳定摆动，可以采取哪些措施？ 2、 为了提高周期 T 的测量精度，周期次数 n 是否越大越好，为何？ 3、 根据修正后的周期公式，提出提高 g 的测量精度的途径。 4、 何谓误差均分原理？在实验设计、仪器选用方面中的作用？ 5、 如何做使单摆做简谐振动？摆角如何选择？ B、三线摆实验 1、如何让三线摆稳定摆动？如何避免摆的晃动？ 2、摆动角度是大一些或者小一些？为什么？ 3、影响三线摆精度的主要因素有哪些？ 二、实验目的 1.根据误差均分原理，对单摆法测量重力加速度g进行实验设计和仪器选配；

2.研究单摆运动规律，用单摆法测量当地重力加速度g：3.研究三线摆运动规律，用扭摆法测量当地重力加速度g及验证平行轴定理；4.学会用不确定度方法分析和评定实验结果。三、实验原理1.单摆：支点理想的单摆应该是一根没有质量，没有弹性的线，系住一个没有体积的质点，在真空中纯粹由于重力的作用，在与地面垂直的平面内作摆角趋于零的自由振动。二端面端面由于作简谐振动，其摆动周期公式为（自己推导）：图1单摆示意图LT=2元,Vg考虑到摆球的尺寸，单摆法测量重力加速度的计算公式为：4元L其中L=(L,+L,)/2g=T?式中L为有效摆长，LI、L2分别为单摆固定点到摆球上下端面的距离，如图1所示。由此可推导g的相对不确定U(g)公式（自己推导）：[ () ()0U(g)=(2L）问题：如通过测量摆线长度1及摆球直径d计算摆长，即L=l+d/2，则g的相对21()uTTU?不确定Ur(g）公式?(U.(g)=d(21+a)(21 +d实际的单摆，当考虑复摆、浮力及摆角的修正，修正后的摆动周期公式为：3

3 2.研究单摆运动规律，用单摆法测量当地重力加速度g； 3.研究三线摆运动规律，用扭摆法测量当地重力加速度g及验证平行轴定理； 4.学会用不确定度方法分析和评定实验结果。 三、实验原理 1.单摆： 理想的单摆应该是一根没有质量，没有弹性的线，系住一个没有 体积的质点，在真空中纯粹由于重力的作用，在与地面垂直的平面内 作摆角趋于零的自由振动。 由于作简谐振动，其摆动周期公式为（自己推导）： 考虑到摆球的尺寸，单摆法测量重力加速度的计算公式为： 2 2 4 L g T   1 2 其中 L L L =(  ) / 2 式中 L 为有效摆长，L1、 L2 分别为单摆固定点到摆球上下端面的距离，如图 1 所示。 由此可推导 g 的相对不确定 Ur(g)公式（自己推导）： L1 2 2 2 2 2 2 2 r L T 1 1 2 U ( g ) U U U 2L 2L T                      问题：如通过测量摆线长度 l 及摆球直径 d 计算摆长，即 L l d =  / 2，则 g 的相对 不确定 Ur(g)公式？ （ 2 2 2 2 2 2 r l d T 2 1 2 U ( g ) U U U 2l d 2l d T                        ） 实际的单摆，当考虑复摆、浮力及摆角的修正，修正后的摆动周期公式为： g L T  2 图 1 单摆示意图

021d?dmo(1+mg) + PoT~2元-[1 +10L2L86mmpVg摆线质量及密度L：摆长d:摆球直径m、p:摆球质量及密度mopo:使之更接近理想单摆？如何选择各实验参数，2.误差均分原理：U,(an yW若要求U,(y)<k%，对于U,(y)=UaxIN12(alny(alny(alnyU(y)U2并假定ax,ax2ax,n(alnyk%U,则有：1,2...nInax,具体到本次实验：U,(8)-()u;对于L若要求U,(g)<1%,Ui(g)并假定2TL×1%则有：U,<×1%,U.<V22/2假定单摆参数：摆长L~50cm，预算摆动周期T～1.4s，要求重力加速度g的测量精度U,=U./g<1%。则得到U,<0.35cm,U<0.005s思考：卷尺是否可以用来测量摆长L？光电计时器是否可以测量单周期T？在光电计时器测量周期时，从启动（0时刻）到记录第一个周期的时间会超过一个周4

4 2 2 0 0 0 2 2 [1 (1 ) ] 10 6 2 8 l d d m m T g L m L m     m、ρ:摆球质量及密度 m0 、ρ0 ：摆线质量及密度 L:摆长 d：摆球直径 如何选择各实验参数，使之更接近理想单摆？ 2.误差均分原理： 对于              n i x i y r i U x y y U U y 1 2 2 ln ( ) ，若要求 Ur ( y)  k% ， 并假定 n U y U x y U x y U x y r x n x x n ln ( ) . ln ln 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2                                   ， 则有： 1 % ln              i x x y n k U i ，i 1,2,.n 。 具体到本次实验： 对于     2 2 L 2 r T U 2 U g U L T         若要求 Ur (g) 1% ， 并假定 2 2 ( ) 2 2 2 U g T U L UL T r               ， 则有： 1% 2 2 1%, 2     T U L UL T 假定单摆参数：摆长 L cm  50 ，预算摆动周期 T s 1.4 ,要求重力加速度 g 的测量 精度 Ur Ug / g 1%。 则得到： 0.35 , 0.005 U cm U s L T 思考：卷尺是否可以用来测量摆长 L？光电计时器是否可以测量单周期 T? 在光电计时器测量周期时，从启动（0 时刻）到记录第一个周期的时间会超过一个周

期，为提高测量的精确度，以连续摆动n个周期的总时间nT为一次测量，这样误差平分在每个周期中。本实验n取30，那么n是否越多越好，为什么？3.三线摆图2是三线摆原理图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连，半径为R的上圆盘和半径为r下圆盘的悬线点正好构成等边三角形。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O0作扭摆运动，摆长为L。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动，从而根图2三线摆原理图据能量守恒求出下盘放置物体前后的周期，进而求出重力速度g。当下圆盘绕中心转轴OO转动时，θ为下圆盘在摆动时最大的角，下圆盘的圆心位置相比以前上升h，下圆盘的扭转速度为の(=do/dt),上圆盘上升与下降时的速度为v(=dh/dt)。不计摩擦力，根据机械能守恒得：110+m2+mgh=恒量A22考虑到下盘在转动时，平动能量远小于扭转时所产生的能量，故平动动能可忽略不计，即110°+mgh=恒量2当悬盘处于平衡位置时，上、下圆盘垂直间距H为：H=L-(R-r)当下盘摆角为e时，忽略摆线伸长，上、下盘距离变化了h，则有：(H-h) = L-(R +r?-2RrcosO)5

5 期，为提高测量的精确度，以连续摆动 n 个周期的总时间 nT 为一次测量，这样误差平分 在每个周期中。本实验 n 取 30，那么 n 是否越多越好，为什么？ 3.三线摆 图 2 是三线摆原理图。上、下圆盘均处于水平， 悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相 连，半径为 R 的上圆盘和半径为 r 下圆盘的悬线点正好 构成等边三角形。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴 ' OO 作扭摆运动，摆长为 L。当下盘转动角度很小，且略去 空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动，从而根 据能量守恒求出下盘放置物体前后的周期，进而求出重 力速度 g。 当下圆盘绕中心转轴 OO`转动时，θ 为下圆盘在摆动时最大的角，下圆盘的圆心位 置相比以前上升 h，下圆盘的扭转速度为 ω(=dθ/dt),上圆盘上升与下降时的速度为 v(=dh/dt)。不计摩擦力，根据机械能守恒得： 1 1 2 2 2 2 I mv mgh     恒量 考虑到下盘在转动时，平动能量远小于扭转时所产生的能量，故平动动能可忽略不 计，即 1 2 2 I mgh    恒量 当悬盘处于平衡位置时，上、下圆盘垂直间距 H 为： 2 2 2 H L R r   -( ) 当 下 盘摆角为 θ 时 ， 忽 略 摆 线 伸 长 ， 上 、 下 盘 距 离 变 化 了 h ， 则 有 ：   2 2 2 2 H h L R r Rr - -( 2 cos )     图 2 三线摆原理图