音与弦的受迫振动【实验目的】1.研究音叉振动系统的受迫振动、共振现象及物理规律。2.研究波在弦上的传播规律及驻波形成的条件。【实验原理】一、简谐振动、阻尼振动与受迫振动系统在回复力作用下做周期性运动的现象被称之为振动，振动是物质运动的基本形式之一。作机械振动的物体可以等效为弹簧振子的运动，在回复力的作用下作简谐振动。实际的振动系统都会受到阻尼力的影响，振动都会慢慢衰减，直至最后停止振动。在物体的振动速度不大时，它所受的阻尼力大小通常与速率成正比，若以F表示阻尼力大小，可将阻尼力写成如下形式：dxF=-V=-(1)dt式中是比例系数，其值取决于运动物体的形状、大小和周围介质的性质等。物体的振动在有阻尼存在的情况下，其动力学方程为：d'xdxx_kxmd=-di其中m为振子的等效质量，k为与振子属性有关的劲度系数。k,28=二，代入上式可得：令0=一mmdx+28+0%x=0(2)dt?dt式中の。是对应于无阻尼时系统振动的固有角频率，称为阻尼系数。当阻尼较小时，式（2）的解为：x=Age-cos(ot+Po)(3)式中，の=-82。由公式(3)可知，如果=0，则认为是无阻尼的运动，这时x=A。cos(ot+β），成为简谐运动。在≠0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式の=-2可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为：2元T=2元——2(4)0-82与无阻尼的周期T=2元。相比，周期变大。实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来。要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充。振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性的外力称为驱动力。为简单起见，假设驱动力有如下形式：F=F。cosのt式中F为驱动力的幅值，の为驱动力的角频率
音叉与弦的受迫振动 【实验目的】 1. 研究音叉振动系统的受迫振动、共振现象及物理规律。 2. 研究波在弦上的传播规律及驻波形成的条件。 【实验原理】 一、简谐振动、阻尼振动与受迫振动 系统在回复力作用下做周期性运动的现象被称之为振动，振动是物质运动的基本形式之一。 作机械振动的物体可以等效为弹簧振子的运动，在回复力的作用下作简谐振动。实际的振动系统 都会受到阻尼力的影响，振动都会慢慢衰减，直至最后停止振动。 在物体的振动速度不大时，它所受的阻尼力大小通常与速率成正比，若以 F 表示阻尼力大小， 可将阻尼力写成如下形式： dx F v dt （1） 式中 是比例系数，其值取决于运动物体的形状、大小和周围介质的性质等。 物体的振动在有阻尼存在的情况下，其动力学方程为： kx dt dx dt d x m 2 2 其中 m 为振子的等效质量， k 为与振子属性有关的劲度系数。 令 m m k ,2 2 0 ，代入上式可得： 2 0 2 2 0 2 x dt dx dt d x （2） 式中0 是对应于无阻尼时系统振动的固有角频率， 称为阻尼系数。 当阻尼较小时，式（2）的解为： cos( ) 0 0 x A e t t （3） 式 中 ， 2 2 0 。 由 公 式 (3) 可 知 ， 如 果 =0 ， 则 认 为 是 无 阻 尼 的 运 动 ， 这 时 cos( ) 0 0 x A t ，成为简谐运动。在 ≠0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运 动。从公式 2 2 0 可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为： 2 2 0 2 2 T （4） 与无阻尼的周期 0 T 2 相比，周期变大。 实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来。要使振动能持续下去，必需对 振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充。振子在周期性外力作用 下发生的振动叫受迫振动，周期性的外力称为驱动力。 为简单起见，假设驱动力有如下形式： F F cost 0 式中 F0为驱动力的幅值， 为驱动力的角频率
振子处在驱动力、阻力和回复力三者的作用下，其动力学方程成为d'xdx-kx+Focosot(5)mdt?dt全，28=二，得到：仍令%=m"md'x.dxFo+0x=dr3+25(6)cosotdtm微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：(7)x=Age-"cos(/o-8't+po)+Acos(ot+p)式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳态项。在振子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：(8)x=Acos(ot+Φ)应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同。首先其中の并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次A和の不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（8）代入方程（6)，就可计算出FoFo(9)A=y +(om-k)2m/o -0) +48202RY(10)tgp=kom-0在稳态时，振动物体的速度为dx(11)cos(ot+p-Cdt其中F.(12)2+(om-0二、共振在驱动力幅值F。固定的情况下，应有怎样的驱动角频率の才可使振子发生强烈振动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。1.速度共振从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差元2，一般地说，外力方向与物体运动方向并不相同，有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功，振子输入能量：反向时驱动力做负功，振子输出能量。输入功率的大小可由F·V计算。设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力幅值F均固定的情况下，仅改变驱动力的频率の，由（12）式不难得知，如果满足のm-k/①=0KF-F当0=0。时，同时有tgp→8，时，振子的速度幅值有最大值，即vmax28mVm2
2 振子处在驱动力、阻力和回复力三者的作用下，其动力学方程成为 kx F t dt dx dt d x m 2 0 cos 2 （5） 仍令 m m k ,2 2 0 ，得到： t m F x dt dx dt d x 2 cos 2 0 2 0 2 （6） 微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是： cos( ) cos( ) 0 2 2 0 0 x A e t A t t （7） 式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳态项。在振子振动一 段时间达到稳定后，其振动式即成为： x Acos(t ) （8） 应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有 所不同。首先其中 并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次 A 和 不决定于振子 的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（8）代入 方程（6)，就可计算出 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 4 ( ) m F k m F A （9） k m tg （10） 在稳态时，振动物体的速度为 ) 2 cos( max v t dt dx v （11） 其中 2 2 0 max ( ) k m F v （12） 二、共振 在驱动力幅值 F0固定的情况下，应有怎样的驱动角频率 才可使振子发生强烈振动？这是个 有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。 1. 速度共振 从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差 2 ，一般地说，外力方向与物体运动方向并 不相同，有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功，振子输入能量；反向时驱动力做 负功，振子输出能量。输入功率的大小可由 F v 计算。设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力 幅值 F0均固定的情况下，仅改变驱动力的频率 ，由（12）式不难得知，如果满足m k 0 时，振子的速度幅值有最大值，即 0 0 max 2 F F m 。当 m k 0 时，同时有tg
元0=2°由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，于是驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值vmx随の的变化曲线如图1所示。显然或值越小，Vmax~の关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表示，其值等于品质因数：fo0O=-(13)f2-f02 -01其中f.为の。对应的频率，f、f,为半功率点，即功率下降到最大值的一半、vmx下降到最大值的0.707倍时对应的频率值。2.位移共振驱动力的频率?为何值时才能使振子的位移振幅A有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导为零，即可求得A的极大值及对应的@值为：F(14)A:2mo/0-820,=02-28(15)由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的角频率の=①，时，位移振幅A有最大值，称为UmaxlA阻尼=0阻尼=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大n图1速度共振曲线图2位移共振曲线位移共振，这时的の<00。位移共振的幅值A随的变化曲线如图2所示。由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼8有关。阻尼越大，振幅的最大值越小：阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼8很小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点有最大幅值的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回3
3 2 。 由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，于是 驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。 这一现象称为速度共振。速度幅值 max v 随ω的变化曲线如图 1 所示。 显然 或 值越小， max v ~ω关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表 示，其值等于品质因数： 2 1 0 2 1 0 f f f Q （13） 其中 0 f 为0 对应的频率， 1 f 、 2 f 为半功率点，即功率下降到最大值的一半、 max v 下降到最大值 的 0.707 倍时对应的频率值。 2. 位移共振 驱动力的频率ω为何值时才能使振子的位移振幅 A 有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导 为零，即可求得 A 的极大值及对应的ω值为： 2 2 0 0 2 m F A （14） 2 2 r 0 （15） 由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的角频率 r 时，位移振幅 A 有最大值，称为 位移共振，这时的ω＜ω0。位移共振的幅值 A 随ω的变化曲线如图 2 所示。 由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼 有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻 尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼 很小，发生共振时位移共振幅值过大，从 而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。 比较图 1 和图 2 可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，当速 度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点有最大幅值 的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回 图 1 速度共振曲线 图 2 位移共振曲线
转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大。这就是位移共振与速度共振并不发生在同一条件下的原因。显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图2的位移共振曲线清楚地看出来。三、音叉的受迫振动音叉是一个典型的振动系统，其二臂对称、振动相反，而中心杆处于振动的节点位置，净受力为零而不振动，其固有频率可因其质量、音叉臂长短、粗细、材质不同而不同。音叉具有广泛的应用，如用于产生标准的“纯音”信号、用于检测液位的传感器等。实验中借助手音叉，来研究受迫振动及共振现象，将两个带铁芯的电磁线圈置于钢质音叉臀的上下方两侧，并靠近音叉臂。给其中一个线圈（称为驱动线圈）两端施加正弦交流电压，产生交变磁场，使音叉臂磁化，产生周期性的驱动力而使音叉受迫振动，改变驱动线圈两端电压的频率可产生不同频率的驱动力。另一个线圈（称为接收线圈）用于探测音叉臂的振动状态。接收线圈两端连接交流电压表，测量接收线圈中的感应电压。由于感应电流1。B，dB代表交变磁场dtdt变化的快慢，其值大小与音叉振动速度有关，速度越快，磁场变化越快，产生的电流越大，从而使测得的电压值越大，可以测量受迫振动与驱动力频率的关系，研究受迫振动与共振现象及其规律。四、音叉的振动周期与质量的关系2元从（4）式T=2元=—可知，在阻尼8较小、且可忽略的情况下有：0V0%-82mT~2元=2元(16)Vk0这样我们可以通过改变质量m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为256Hz的音叉的两臂上对称等距开孔，音叉的共振频率「变大，将两个相同质量的码mx对称地加在两臂上，这时的T变大，共振频率变小。从式（16）可知这时：T2=4元2(17)(mo+mx)k其中k称为音义振子的等效劲度系数，它与音义的力学属性有关。mo为不加质量块时的音义振子的等效质量，mx为两个振动臂增加的物块等效质量，如果码安装位置固定，可近似认为mx与码质量成正比。五、弦振动与驻波两端固定并张紧的钢丝在周期性外力作用下而运动，可以看作两端固定的弦作受It=0迫振动。可以简化认为波动是从左固定端发出的，沿弦线朝右固定端方向传播，称为入Lt-射波，再由右端反射沿弦线朝左端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上It沿相反方向传播时将相互于涉，改变弦长或驱动频率，当弦长是半波长的整倍数时，弦线上就会形成驻波。这时，弦线被分成段形成波节和波腹。图3驻波的形成如图3所示。设图中的两列波是沿x轴4
4 转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大。这就是位移共振与速度共振并不 发生在同一条件下的原因。显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图 2 的位移共振曲线清楚地看出来。 三、音叉的受迫振动 音叉是一个典型的振动系统，其二臂对称、振动相反，而中心杆处于振动的节点位置，净受 力为零而不振动，其固有频率可因其质量、音叉臂长短、粗细、材质不同而不同。音叉具有广泛 的应用，如用于产生标准的“纯音”信号、用于检测液位的传感器等。 实验中借助于音叉，来研究受迫振动及共振现象，将两个带铁芯的电磁线圈置于钢质音叉臂 的上下方两侧，并靠近音叉臂。给其中一个线圈（称为驱动线圈）两端施加正弦交流电压，产生 交变磁场，使音叉臂磁化，产生周期性的驱动力而使音叉受迫振动，改变驱动线圈两端电压的频 率可产生不同频率的驱动力。另一个线圈（称为接收线圈）用于探测音叉臂的振动状态。接收线 圈两端连接交流电压表，测量接收线圈中的感应电压。由于感应电流 dt dB I ， dt dB 代表交变磁场 变化的快慢，其值大小与音叉振动速度有关，速度越快，磁场变化越快，产生的电流越大，从而 使测得的电压值越大，可以测量受迫振动与驱动力频率的关系，研究受迫振动与共振现象及其规 律。 四、音叉的振动周期与质量的关系 从（4）式 2 2 0 2 2 T 可知，在阻尼 较小、且可忽略的情况下有： k m T 2 2 0 （16） 这样我们可以通过改变质量 m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为 256Hz 的音 叉的两臂上对称等距开孔，音叉的共振频率 f 变大，将两个相同质量的砝码 mX对称地加在两臂上， 这时的 T 变大，共振频率 f 变小。从式（16）可知这时： ( ) 4 0 2 2 m mX k T (17) 其中 k 称为音叉振子的等效劲度系数，它与音叉的力学属性有关。m0为不加质量块时的音叉 振子的等效质量，mX 为两个振动臂增加的物块等效质量，如果砝码安装位置固定，可近似认为 mX与砝码质量成正比。 五、弦振动与驻波 两端固定并张紧的钢丝在周期性外力 作用下而运动，可以看作两端固定的弦作受 迫振动。可以简化认为波动是从左固定端发 出的，沿弦线朝右固定端方向传播，称为入 射波，再由右端反射沿弦线朝左端传播，称 为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上 沿相反方向传播时将相互干涉，改变弦长或 驱动频率，当弦长是半波长的整倍数时，弦 线上就会形成驻波。这时，弦线被分成几段 形成波节和波腹。 如图 3 所示。设图中的两列波是沿 x 轴 图 3 驻波的形成
相反方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图3可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿x轴正方向传播的波为入射波，沿x轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“0”，且在x=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：X=Acos2元(f-号)，=Acos2元（ft+元2式中A为简谐波的振幅，「为频率，为波长，x为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：X+2=2AcOs2元(）cos2元ft(18)2由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为X2Acos2元（只与质点的位置x有关，与时间无关。1=0，2元（)=(2k+1)元/2由于波节处振幅为零，即cos2元（(k=0,1,2,3....)22可得波节的位置为：x=(2k+1)≤(19)4而相邻两波节之间的距离为：A元-(2k+1)Xk+1-X=[2(k +1)+1](20)442又因为波腹处的质点振幅为最大，同样可得波腹的位置为：non=2k(21)x=k-2A这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为：NL=n-(n=1,2,3,...)2由此可得沿弦线传播的横波波长为：1=21(22)n式中n为弦线上驻波的段数，即半波数，L为弦长。根据波动理论，弦线横波的传播速度为)1/2(23)V=(-p式中T为弦线中张力，p为弦线单位长度的质量，即线密度。根据波速、频率与波长的普遍关系式v=f入和(22)式可得横波波速为：5
5 相反方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左 传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。 由图 3 可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿 x 轴正方向传播的波为入射波，沿 x 轴负方 向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点 “0”，且在 x 0 处，振动质点 向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： 1 cos 2 ( ) x y A ft ， 2 cos 2 ( ) x y A ft 式中 A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长， x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波 为驻波，其方程为： 1 2 2 cos 2 ( ) cos 2 x y y A ft (18) 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为 2 cos 2 ( ) x A ，只与质点的位置 x 有关，与时间无关。 由于波节处振幅为零，即 cos 2 ( ) 0 x ， 2 ( ) (2 1) / 2 x k (k 0,1,2,3.) 可得波节的位置为： (2 1) 4 x k (19) 而相邻两波节之间的距离为： 1 [2( 1) 1] (2 1) 4 4 2 k k x x k k (20) 又因为波腹处的质点振幅为最大，同样可得波腹的位置为： 2 2 4 x k k (21) 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的 距离，就能确定该波的波长。 由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离 （弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为： 2 L n (n 1,2,3,.) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： 2L n (22) 式中 n 为弦线上驻波的段数，即半波数，L 为弦长。 根据波动理论，弦线横波的传播速度为： 1 2 ( ) T v (23) 式中 T 为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 根据波速、频率与波长的普遍关系式 v＝f 和(22)式可得横波波速为：