转动惯量与杨氏模量的测量本实验包括两部分：第一部分为转动惯量的测定，第二部分为拉伸法测金属杨氏模量。第一部分为必做部分，第二部分为选做内容。选做内容可以不写预习报告；如完成了选做实验，需要提交数据处理与分析，写在必作内容后面。预习报告不超过实验报告两小面，篇幅不宜过多。第一部分转动惯量的测定【实验目的】1.理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义。2.掌握利用扭摆测量刚体转动惯量的原理和方法3.验证转动惯量平行轴定理。【预备问题】1.刚体的转动惯量与哪些因素有关？2.实验测量刚体的转动惯量有哪些方法？3.扭摆法是利用了什么关系来测定刚体转动惯量的？4.何为平行轴定理？【实验背景】转动惯量是惠更斯研究摆的重心升降问题时引入，后被欧拉命名的一个物理量。它是刚体转动时惯性的量度，与刚体的质量、转轴的位置及质量分布有关。转动惯量的测量在科研、工业和军事领域都具有重要意义。形状简单、质量分布均匀的刚体绕特定转轴的转动惯量可以通过它的质量以及几何尺寸直接计算出来，形状复杂、质量分布不均匀的刚体的转动惯量通常很难直接计算，需要用实验方法测定。因此，学会用实验方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。【实验原理】一、扭摆法当研究的问题涉及到物体的转动时，必须考虑物体的大小和形状，不能再将物体视为质点
转动惯量与杨氏模量的测量 本实验包括两部分：第一部分为转动惯量的测定，第二部分为拉伸法测金属杨氏模量。第一 部分为必做部分，第二部分为选做内容。 选做内容可以不写预习报告；如完成了选做实验，需要提交数据处理与分析，写在必作内容 后面。 预习报告不超过实验报告两小面，篇幅不宜过多。 第一部分 转动惯量的测定 【实验目的】 1. 理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义。 2. 掌握利用扭摆测量刚体转动惯量的原理和方法。 3. 验证转动惯量平行轴定理。 【预备问题】 1. 刚体的转动惯量与哪些因素有关？ 2. 实验测量刚体的转动惯量有哪些方法？ 3. 扭摆法是利用了什么关系来测定刚体转动惯量的？ 4. 何为平行轴定理？ 【实验背景】 转动惯量是惠更斯研究摆的重心升降问题时引入，后被欧拉命名的一个物理量。它是刚体转 动时惯性的量度，与刚体的质量、转轴的位置及质量分布有关。转动惯量的测量在科研、工业和 军事领域都具有重要意义。形状简单、质量分布均匀的刚体绕特定转轴的转动惯量可以通过它的 质量以及几何尺寸直接计算出来，形状复杂、质量分布不均匀的刚体的转动惯量通常很难直接计 算，需要用实验方法测定。因此，学会用实验方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。 【实验原理】 一、扭摆法 当研究的问题涉及到物体的转动时，必须考虑物体的大小和形状，不能再将物体视为质点
但如果物体的大小和形状的改变可以忽略，实际物体就可以抽象为具有不变的大小和形状的刚体。定轴转动是刚体的一种较简单的运动，描述定轴转动基本规律的动力学方程为：M=Iβ(1)其中，M是对定轴的力矩，β是角加速度，I就是刚体对定轴的转动惯量。公式（1）也称为转动定律。图1扭摆实验测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过测定与转动惯量有关系的某个描述该运动特征的物理量来间接地得到刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，如扭摆法、旋转法、三线摆法等。本实验采用的扭摆法就是利用刚体的转动惯量和扭摆摆动周期的关系来测定刚体的转动惯量。扭摆装置如图1所示。待测刚体可以固定在扭摆的垂轴上，垂轴装有用以产生恢复力矩的薄片状螺旋弹簧，使刚体在水平面内转过一个角度，在弹簧的恢复力矩作用下，刚体就开始绕垂轴作往返扭转摆动。根据胡克定律，在一定的角位移范围（这个范围因弹簧而异，本仪器要求小于90°）内，可以认为弹簧受扭转后产生的恢复力矩M与角位移0成正比：M=-K0(2)式中K为弹簧的扭转常数。由转动定律(1)式有d'eMB=(3)dt?I令2=K/l，由式(3)和式(2)可得到刚体扭摆运动的运动微分方程：d0d?=-00(4)由(4)式可知扭摆运动具有简谐振动的特性，简谐振动的周期为1T=2元=2元(5)VK0测出摆动周期T，若K已知，由式（5）即可计算I弹簧的扭转常数K可以用下述方法测量：设金属载物圆盘绕垂轴的转动惯量为Io，测出其摆动周期为工0。选一个几何形状规则的物体，通过质量和几何尺寸计算出其对质心轴的转动惯量理论值1，并将该物体置于圆盘中，使其质心轴与垂轴重合，测出复合体的摆动周期T，由式(5)知T=4元?(6)1KT2_ 4元2(7)(I。 + I)K由式和(6)式(7)可得到2
2 但如果物体的大小和形状的改变可以忽略，实际物体就可以抽象为具 有不变的大小和形状的刚体。定轴转动是刚体的一种较简单的运动， 描述定轴转动基本规律的动力学方程为： M I = (1) 其中，M 是对定轴的力矩，β 是角加速度，I 就是刚体对定轴的转动惯 量。公式(1)也称为转动定律。 实验测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通 过测定与转动惯量有关系的某个描述该运动特征的物理量来间接地得到刚体的转动惯量。测定转 动惯量的实验方法较多，如扭摆法、旋转法、三线摆法等。本实验采用的扭摆法就是利用刚体的 转动惯量和扭摆摆动周期的关系来测定刚体的转动惯量。 扭摆装置如图 1 所示。待测刚体可以固定在扭摆的垂轴上，垂轴装有用以产生恢复力矩的薄 片状螺旋弹簧，使刚体在水平面内转过一个角度 θ，在弹簧的恢复力矩作用下，刚体就开始绕垂 轴作往返扭转摆动。根据胡克定律，在一定的角位移范围（这个范围因弹簧而异，本仪器要求小 于 90°）内，可以认为弹簧受扭转后产生的恢复力矩 M 与角位移 θ 成正比： M K = − (2) 式中 K 为弹簧的扭转常数。由转动定律(1)式有 2 2 d M dt I = = (3) 令 ω2=K/I，由式(3)和式(2)可得到刚体扭摆运动的运动微分方程： 2 2 2 d dt = − (4) 由(4)式可知扭摆运动具有简谐振动的特性，简谐振动的周期为 2 2 I T K = = (5) 测出摆动周期 T，若 K 已知，由式(5)即可计算 I。 弹簧的扭转常数 K 可以用下述方法测量：设金属载物圆盘绕垂轴的转动惯量为 I0，测出其摆 动周期为 T0。选一个几何形状规则的物体，通过质量和几何尺寸计算出其对质心轴的转动惯量理 论值 I1，并将该物体置于圆盘中，使其质心轴与垂轴重合，测出复合体的摆动周期 T，由式(5)知 2 2 0 0 4 T I K = (6) 2 2 0 1 4 T I I ( ) K = + (7) 由式和(6)式(7)可得到 图 1 扭摆
1.K=4元2,(8)T?- T2实验中几何形状规则的物体可选用质量为mI、外径为Di的圆柱体，其对质心轴的转动惯量理论值为1mD?I,=(9)8二、平行轴定理理论分析证明，若质量为m的刚体对通过质心的转轴的转动惯量为Ic，则刚体对平行于该轴并与其相距为d的平行轴的转动惯量la为Id =1,+md2(10)这就是转动惯量的平行轴定理。这样若刚体对某一轴的转动惯量已知，我们就可以方便地由式(10)求得绕另一轴的转动惯量。本实验通过测量一些规则物体的转动惯量来理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义，了解和掌握扭摆法测量刚体转动惯量的原理和方法。但需要说明的是，本实验装置是可以测量非规则物体的转动惯量的，但是为了便于与理论计算值相比较，我们选用了规则物体。【实验仪器】图2所示为实验仪器装置，包括扭摆、数字式计时器、电子天平、游标卡尺、钢卷尺、待测刚体等，下面是对于口这些组件的一些说明。81.扭摆：实验中扭摆机座应保持水平，扭摆机架上装有检测水平度的水准泡，机座可以用底脚螺栓进行水平调整。图2实验仪器装置图2.数字式计时器：包括主机和光电探头两部分，光电探头COC-JS通用计时计数据成都华芯由红外线发射管和红外线接收管组成，用以检测挡光杆是否挡光并根据挡光次数自动判断是否已达到所设定的周期数。主机面板如图3，若开机时，切换开关红色按钮位于“单次”状态，测量时挡光杆每经过光电门都记录一次，位于“双次”状态，挡光杆经过两次光电门记录一次，相当于图3数字计时器主机面板每次记录一个摆动周期。需要注意的是，只有开机前的状态才起作用，开机后再按红色按钮并会不改变计数状态。测量时，按下开始/暂停键，计数器会自动开始计时。3.MP12001电子天平：最大秤量值1200g，分度值0.1g。使用前应校准，并预热30分钟。将得测物品轻轻放置在秤盘上，显示值即为该物品的质量。3
3 2 1 2 2 1 0 4 I K T T = − (8) 实验中几何形状规则的物体可选用质量为 m1、外径为 D1 的圆柱体，其对质心轴的转动惯量 理论值为 2 1 1 1 1 8 Ι = m D (9) 二、平行轴定理 理论分析证明，若质量为 m 的刚体对通过质心的转轴的转动惯量为 Ic，则刚体对平行于该轴 并与其相距为 d 的平行轴的转动惯量 Id 为 2 d c Ι = + Ι md (10) 这就是转动惯量的平行轴定理。这样若刚体对某一轴的转动惯量已知，我们就可以方便地由 式(10)求得绕另一轴的转动惯量。 本实验通过测量一些规则物体的转动惯量来理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义，了 解和掌握扭摆法测量刚体转动惯量的原理和方法。但需要说明的是，本实验装置是可以测量非规 则物体的转动惯量的，但是为了便于与理论计算值相比较，我们选用了规则物体。 【实验仪器】 图 2 所示为实验仪器装置，包括扭摆、数字式计时器、 电子天平、游标卡尺、钢卷尺、待测刚体等，下面是对于 这些组件的一些说明。 1. 扭摆：实验中扭摆机座应保持水平，扭摆机架上装有检 测水平度的水准泡，机座可以用底脚螺栓进行水平调整。 2. 数字式计时器：包括主机和光电探头两部分，光电探头 由红外线发射管和红外线接收管组成，用以检测挡光杆是 否挡光并根据挡光次数自动判断是否已达到所设定的周期 数。主机面板如图 3，若开机时，切换开关红色按钮位于“单 次”状态，测量时挡光杆每经过光电门都记录一次，位于 “双次”状态，挡光杆经过两次光电门记录一次，相当于 每次记录一个摆动周期。需要注意的是，只有开机前的状 态才起作用，开机后再按红色按钮并会不改变计数状态。测量时，按下开始/暂停键，计数器会自 动开始计时。 3. MP12001 电子天平：最大秤量值 1200g，分度值 0.lg。使用前应校准，并预热 30 分钟。将待 测物品轻轻放置在秤盘上，显示值即为该物品的质量。 图 2 实验仪器装置图 图 3 数字计时器主机面板
4.待测刚体：塑料圆柱体、空心金属圆筒、实心球体、金属细长杆及两个可以在杆上自由移动的金属圆柱形滑块。【实验内容】1.测量各待测物体的有关几何尺寸及质量2.测量扭转常数K值3.测量各个待测物转动惯量实验值4.验证平行轴定理【实验步骤与要求】1.测量各待测物体的有关儿何尺寸及质量各测量三次取平均值。列表记录数据，按照下列公式计算各物体转动惯量的理论值。转轴为圆柱体儿何轴时，圆柱体转动惯量理论计算公式即式（9）。转轴为圆筒几何轴时，圆筒的转动惯量：1lm=gm(Dx+Dg)(11)8其中D外、D内分别为圆筒的外、内径。转轴为球体直径时，球体的转动惯量：1mD(12)I球=10其中，D为球体的直径。转轴通过细杆中心并与杆垂直时，细杆的转动惯量：1ml3(13)I种=12其中，1为细杆长度。转轴（OO'）过质心并垂直几何轴时。金属圆柱形滑块的转动惯量（图4)：图4金属圆柱形滑块11m(D+D)mh?(14)I滑块“16122.扭转常数K值的确定利用机座上的水平仪调整机座水平，在扭摆垂轴上装上金属载物盘并锁紧，金属载物盘装有一挡光杆，通过数字式计时器的光电探头挡光而测量其摆动周期。调整光电探头的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。切换开关红色按钮位于“双次”状态（弹起状态），周期数设定为10次，测量摆动周期To，重复4
4 4. 待测刚体：塑料圆柱体、空心金属圆筒、实心球体、金属细长杆及两个可以在杆上自由移动的 金属圆柱形滑块。 【实验内容】 1．测量各待测物体的有关几何尺寸及质量 2．测量扭转常数 K 值 3．测量各个待测物转动惯量实验值 4. 验证平行轴定理 【实验步骤与要求】 1．测量各待测物体的有关几何尺寸及质量 各测量三次取平均值。列表记录数据，按照下列公式计算各物体转动惯量的理论值。转轴为 圆柱体几何轴时，圆柱体转动惯量理论计算公式即式(9)。 转轴为圆筒几何轴时，圆筒的转动惯量： 1 2 2 ( 8 I m D D 筒 = + 外 内） (11) 其中 D 外、D 内 分别为圆筒的外、内径。 转轴为球体直径时，球体的转动惯量： 1 2 10 Ι球 = mD (12) 其中，D 为球体的直径。 转轴通过细杆中心并与杆垂直时，细杆的转动惯量 ： 1 2 12 Ι杆 = ml (13) 其中，l 为细杆长度。 转轴( OO )过质心并垂直几何轴时。金属圆柱形滑块的转动惯 量（图 4）： 2 2 2 1 2 1 1 16 12 Ι = + m D D mh 滑块 （ ）+ (14) 2．扭转常数 K 值的确定 利用机座上的水平仪调整机座水平，在扭摆垂轴上装上金属载物盘并锁紧，金属载物盘装有 一挡光杆，通过数字式计时器的光电探头挡光而测量其摆动周期。调整光电探头的位置，使其处 于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。 切换开关红色按钮位于“双次”状态（弹起状态），周期数设定为 10 次，测量摆动周期 T0，重复 图 4 金属圆柱形滑块
三组取平均值。再将塑料圆柱体放在载物盘上，使其几何轴线与垂轴重合，测量复合体的摆动周期Ti，因为弹簧扭转常数K与摆动角度略有关系，但在40°～90°范围基本相同，所以测量时摆角不宜过大或过小。由式(8)和式(9)确定K.表1各待测物体的有关几何尺寸及质量圆柱圆筒滑块1滑块2细杆球直径外径内径外径内径高外径内径高长度直径几何尺寸(m)质量(g)3.测量各个待测物转动惯量实验值测量球体和细杆时不需要载物盘，分别用支座和夹具将其固定到垂轴上，注意金属细杆的中心必须与垂轴重合。确定其转动惯量时应考虑支座和夹具的转动惯量，不过二者数值都较小。球支座转动惯量实验参考值lol=1.89x10-5kg.mz细杆夹具转动惯量实验参考值1o2=1.88x10-5kg.m24.验证平行轴定理转轴固定在细杆中心，并与细杆垂直，两金属圆柱形滑块对称地固定在细杆两边凹槽内（细杆两相邻凹槽之间的间距为5.0cm）。测量两滑块质心距转轴距离d分别为5.0、10.0、15.0、20.0、25.0（cm）时，两金属圆柱形滑块对中心轴的转动惯量实验值，并与平行轴定理给出的转动惯量的理论值进行比较，从而验证平行轴定理。表2各待测物转动惯量与验证平行轴定理测量值滑块细杆球载物盘圆柱圆筒5cm10cm15cm20cm25cm周期5【数据处理】1.列表给出各物体几何尺寸和质量的测量结果，计算转动惯量理论值；5
5 三组取平均值。再将塑料圆柱体放在载物盘上，使其几何轴线与垂轴重合，测量复合体的摆动周 期 T1，因为弹簧扭转常数 K 与摆动角度略有关系，但在 40°～ 90°范围基本相同，所以测量时摆 角不宜过大或过小。由式(8)和式(9)确定 K． 表 1 各待测物体的有关几何尺寸及质量 圆柱 圆筒 滑块 1 滑块 2 细杆 球 几 何 尺 寸(mm) 直径 外径 内径 外径 内径 高 外径 内径 高 长度 直径 质 量(g) 3．测量各个待测物转动惯量实验值 测量球体和细杆时不需要载物盘，分别用支座和夹具将其固定到垂轴上，注意金属细杆的中 心必须与垂轴重合。确定其转动惯量时应考虑支座和夹具的转动愦量，不过二者数值都较小。 球支座转动惯量实验参考值 I01=1.89×10-5 kg.m2 细杆夹具转动惯量实验参考值 I02 =1.88×10-5 kg.m2 4.验证平行轴定理 转轴固定在细杆中心，并与细杆垂直，两金属圆柱形滑块对称地固定在细杆两边凹槽内（细 杆两相邻凹槽之间的间距为 5.O cm）。测量两滑块质心距转轴距离 d 分别为 5.O、10.O、15.0、20.O、 25.O(cm)时，两金属圆柱形滑块对中心轴的转动惯量实验值，并与平行轴定理给出的转动惯量的 理论值进行比较，从而验证平行轴定理。 表 2 各待测物转动惯量与验证平行轴定理测量值 圆柱 圆筒 滑块 细杆 球 载物盘 5cm 10cm 15cm 20cm 25cm 周 期 （s ） 【数据处理】 1. 列表给出各物体几何尺寸和质量的测量结果，计算转动惯量理论值；