由上面两式得：2Hh-h2=2Rr(1-cos0)Rr (1-cos0)由于h远小于H，忽略h2，则有：h=H若将自然状态下悬盘高度定义为势能零点，系统势能可表示为：Rr110+!-mhE=(1-cosの)，系统总动能为：1V=mgA22由此可得系统的拉格朗日函数为：.21Rr2.21RrL=E-V==10+0 sin0-mg1-cos0)m"H?HP2由保守拉格朗日方程，在忽略摩擦力及阻力影响的情况下，可得到三线摆运动微分方程为：(1+mR32sin0)0+mR2r?mRr0sin20+sin0=0H?2H?H当摆角0不超过5°时，即小摆角运动，此时可取 sino=0，且>0，则上式可H2简化为：10+ mgk 0=0H此为简谐运动方程。由此可得到周期T的表达式为：4元1HT =VmgRr其中m为下盘的总质量，r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心距离，H为上下盘间的垂直距离，g为重力加速度。而在大摆角情况下，周期T的表达式为[(+sinng)IHT=2元1=14元22mgRr而且周期T随摆角增加而增加。6
6 由上面两式得： 2 2 - 2 (1 cos ) Hh h Rr 由于 h 远小于 H，忽略 h 2，则有: (1 cos ) Rr h H 若 将 自 然 状 态 下 悬 盘 高 度 定 义 为 势 能 零 点 ， 系 统 势 能 可 表 示 为 ： (1 cos ) Rr V mg H ，系统总动能为： . . 1 1 2 2 2 2 E I m h 由此可得系统的拉格朗日函数为： 2 2 2 2 . . 2 2 1 1 sin (1 cos ) 2 2 R r Rr L E V I m mg H H 由保守拉格朗日方程，在忽略摩擦力及阻力影响的情况下，可得到三线摆运动微分 方程为： 2 2 2 2 . . 2 2 2 2 (1 sin ) sin 2 sin 0 2 mR r mR r mRr H H H 当摆角 θ 不超过 5°时，即小摆角运动，此时可取 sinθ≈θ，且 2 2 2 0 R r H ，则上式可 简化为： . 0 mgRr I H 此为简谐运动方程。 由此可得到周期 T 的表达式为： 2 4 IH T mgRr 其中 m 为下盘的总质量，r 、R 分别为上下悬点离各自圆盘中心距离，H 为上下盘间的 垂直距离，g 为重力加速度。而在大摆角情况下，周期 T 的表达式为: 2 2 1 1 2 1+ sin 4 2 n n IH T mgRr 而且周期 T 随摆角增加而增加
根据测量的周期To由此得到质量为mo下盘的转动惯量lol = mogRrT?4元2H。将质量为m的刚体放在下盘上，并使其转轴与OO轴重合。当扭摆小角度摆动时，利用测得的周期Ti，可求得刚体和下圆盘对中心转轴OO的总转动惯量I为I =l + 1, =(m,+m)gRrT)4元H如不计因重量变化而引起的悬线伸长，即H~H。。对规则刚体，其绕中心轴的转动惯量I.可计算。联立上两式，得重力加速度g为4元Hg" Rr[(m,+m)T-moT]4.平行轴定理0用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如图2所示），则此物体对新轴OO的转动惯量为I、=I+md,即平行轴m0定理。图3平行轴定理本实验中，将质量均为m，形状和质量分布完全相同的三个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的三排小孔）。利用三线摆，测出三个圆柱体和下盘绕中心轴OO的转动周期Tx，则可求出每个圆柱体对中心轴OO的转动惯量gRr(m,+3m)T,-l034元HmR?理论上，圆柱体对自身中心轴的转动惯量为：R为圆柱体的半径。27
7 根据测量的周期 T0 由此得到质量为 m0 下盘的转动惯量 I0： 2 0 0 0 2 0 4 m gRrT I H 将质量为 m 的刚体放在下盘上，并使其转轴与 ' OO 轴重合。当扭摆小角度摆动时，利 用测得的周期 T1，可求得刚体和下圆盘对中心转轴 ' OO 的总转动惯量 I1 为: 2 0 1 1 0 2 + ) 4 c m m gRrT I I I H （ 如不计因重量变化而引起的悬线伸长，即 H H 0 。对规则刚体，其绕中心轴的转动惯量 Ic 可计算。联立上两式，得重力加速度 g 为： 2 0 2 2 0 1 0 0 4 = + ) - H Ic g Rr m m T m T （ 4.平行轴定理 用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为 m 的物体绕通 过其质心轴的转动惯量为 Ic，当转轴平行移动距离 x 时（如图 2 所示），则此物体对新轴 ' OO 的转动惯量为 2 x c I I md ,即平行轴 定理。 本实验中，将质量均为 m，形状和质量分布完全相同的三个 圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的三排小孔）。利用三线摆，测出三个圆柱体 和下盘绕中心轴 ' OO 的转动周期 Tx，则可求出每个圆柱体对中心轴 ' OO 的转动惯量: 2 2 0 0 0 1 +3 ) - 3 4 x x gRr I m m T I H （ 理论上，圆柱体对自身中心轴的转动惯量为： 2 2 x c mR I ， 为圆柱体的半径。 图 3 平行轴定理
5.自由落体运动图4是自由落体运动实验装置的示意图。小球A从O10=0.点开始释放，进过光电门M1时，计时计数器开始计时，经NM过时间ti后，穿过与光电门M1竖直间隔为hi的光电门M2，ti, VhM2计时计数器进入下一阶段的计时，小球继续下落，经过时间t2,V2t2后，穿过与光电门M2间距为h2的光电门M3，计时计数M3器停止计时，小球掉入下方网中。设小球经过光电门MI时的瞬时速度为Vo，经过光电门M2时的瞬时速度为V1，经过光电门M3时的瞬时速度为V2图4自由落体实验示意图在忽略空气阻力的情况下，小球在下落过程中仅受重力作用，加速度为g。根据加速度与移动距离的公式，可知：t.gfh=+8Vt-2Ph=A +=A-22可得重力加速度g的值为：g= 2(ht-h)t,A(t +△t)因此，只需测得三个光电门之间的竖直间距hi和h2，测得小球通过三个光电门的时间t和t2，即可求得此时此地的重力加速度g。四、实验仪器钢尺、卷尺、游标卡尺、多孔底板、磁性底座、立杆、数字天平、光电计时器（三种）、单摆、三线摆、气泡水平仪、小球回收网、机脚等。8
8 图 4 自由落体实验示意图 5.自由落体运动 图 4 是自由落体运动实验装置的示意图。小球 A 从 O 点开始释放，进过光电门 M1 时，计时计数器开始计时，经 过时间 t1 后，穿过与光电门 M1 竖直间隔为 h1的光电门 M2， 计时计数器进入下一阶段的计时，小球继续下落，经过时间 t2 后，穿过与光电门 M2 间距为 h2 的光电门 M3，计时计数 器停止计时，小球掉入下方网中。 设小球经过光电门 M1 时的瞬时速度为 v0，经过光电门 M2 时的瞬时速度为 v1，经过光电门 M3 时的瞬时速度为 v2, 在忽略空气阻力的情况下，小球在下落过程中仅受重力作 用，加速度为 g。 根据加速度与移动距离的公式，可知： 2 2 1 1 1 0 1 1 1 - 2 2 gt gt h v t v t 2 2 2 2 2 1 2 2 2 - 2 2 g t g t h v t v t 可得重力加速度 g 的值为： 2 1 1 2 1 2 1 2 2( ) ( ) h t h t g t t t t 因此，只需测得三个光电门之间的竖直间距 h1 和 h2，测得小球通过三个光电门的时 间 t1 和 t2，即可求得此时此地的重力加速度 g。 四、实验仪器 钢尺、卷尺、游标卡尺、多孔底板、磁性底座、立杆、数字天平、光电计时器（三 种）、单摆、三线摆、气泡水平仪、小球回收网、机脚等