第三十二章变分法初步(续) §321泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 ·设有二元函数f(x,y),它取极值的必要条件是 DLar+daly 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 f af ·还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(a, y) 下求f(x,y)的极值.这时,在原则上,可以由约東条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的y.这样,上述条件极值问题就转化为一元函数f(x,h(x)的普通极值问题,它取极值的 必要条件就是 af af +=h(x)=0 ·对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需要知 道 dy h(r 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 dr+ ody=0. 从而求出 dy ag/ar dr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ax dr dy ag/ay 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着自变 量数目的增多,公式也就越来越麻烦
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 1 ☞ ✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖ (✗) §32.1 ✘✙✚✛✜✢✣ ✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲ • ✳✴✵✪✫✬ f(x, y) ✶✷✸✮✯✭✹✺✻✼✽ df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. ✾✿ dx, dy ❀❁✶❂❃✵✪✫✬ f(x, y) ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❄❅❃❆❇ ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. • ❈✴❉✧❊✵ ✪✫✬✭✮✯✰✱✶✵✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✶❋●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏ f(x, y) ✭✮✯✲❑▲✶●▼◆❖✶❅ ❃ P❍■✻✼◗❘ y = h(x) ✶❙❚❯❱ f(x, y) ❲ ✭ y ✲❑❳✶❖❨✻✼✮✯✰✱❩❬❭✿✧✪✫✬ f(x, h(x)) ✭❪❫✮✯✰✱✶✷✸✮✯✭ ✹✺✻✼❩✽ ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. • ❴❵❑❛❜❝❈✴❉✧❞❡◗✲✾✿❖❢❣❤✐✺❥❦❧♠ y = h(x) ✭♥♦♣✶ qr✐ ✺❧ ♠ dy dx ≡ h 0 (x). ❑❳✶st❤✹ (●✉✩✬✈✇★①❤ ❅②) ❏❘ y = h(x) ✶ ❩❅❃③④❴❍■✻✼⑤⑥ ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, ⑦q❏❘ dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , ❵ ✽ ❋ ❅⑧❖❨✵✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❆❇ ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. ⑨ ⑩❶❷❸✶❹❺❻❼ ❽❾ ❿➀➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉❶➊➋✲➌➍✶ ➎➏ ➄ ➅ ➆ ➉ ➐❶➑ ➂✶➒➓➔→➣↔➣↕➙✲
·在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题 例如,对于上面的在约束条件 下求函数f(x,y)的极值问题,就可以引进 Lagrange乘子A,而定义一个新的二元函数 h(a, y)=f(a, y)-Ag(a, y) 仍将x和y看成是两个独立变量,这样,这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出,消去 λ,这就能化为上面给出的必要条件) 由此可以求出 (),y=y(从) 代回到约束条件中,定出 Lagrange乘子Aλ的数值,就可以求出可能的极值点(x,y) 如果是更多个自变量的多元函数,也可以同样地处理,如果涉及多个约来条件,也就只 需引入多个 Lagrange乘子即可 现在回到泛函的条件极值问题 如果要求泛函 F(,y, y)dx 在边界条件 y(ro) y(r1)=b 以及约束条件 J≡/G(x,y,y)dx=C 下的极值,则可定义 仍将8看成是独立的,则泛函J在边界条件下取极值的必要条件就是 )F==0 由此微分方程、边界条件以及约東条件,必要时经过甄别,就可以求出 Lagrange乘子的值A=、 极值函数y=y(x,A0),以及相应的泛函J例的条件极值 例321求泛函 ①为了以后的方便,这里的 Lagrange乘子前面多了一个负号
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 2 ☞ • ●➢➤ ❲✶➥➦➤ Lagrange ➧➨➩ ➫➭❡✩✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✲ ➯➲✶❴❵❖❢✭ ●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏✫✬ f(x, y) ✭✮✯✰✱✶ ❩❅❃➳➵ Lagrange ➸➺ λ ✶ q➻➼✧❛➽✭✵ ✪✫✬ ➾ h(x, y) = f(x, y) − λg(x, y). ➚⑧ x ➪ y ➶❇✽➹❛➘➴➷➬✶ ❑❳✶ ❑❛✵ ✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ (➮➱➶❘ ✶❯❱ λ ✶ ❑❩②❭✿ ❖❢✃❘✭✹✺✻✼) ∂(f − λg) ∂x = 0, ∂(f − λg) ∂y = 0. P❐❅ ❃ ❏❘ x = x(λ), y = y(λ), ❒ ✥❮❍■✻✼ ❲✶➻❘ Lagrange ➸➺ λ ✭✬✯✶ ❩❅❃ ❏❘❅②✭✮✯❰ (x, y) ✲ ÏÐ➍➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉✶➔Ñ ÒÓÔÕÖ×✲ÏÐ ØÙ ➂➃ ÚÛÜÝ✶➔→ Þ ß àá ➂➃ Lagrange âã äÑ✲ å ● ✥❮æ✫✭✻✼✮✯✰✱✲ ➲❝✺❏æ✫ J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ●çè✻✼ y(x0) = a, y(x1) = b ❃é❍■✻✼ J1[y] ≡ Z x1 x0 G(x, y, y0 ) dx = C ★✭✮✯✶◆❅➻➼ J0[y] = J[y] − λJ1[y], ➚⑧ δy ➶❇✽➘➴✭✶◆æ✫ J0[y] ●çè✻✼★✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 (F − λG) = 0. P❐ ⑤⑥êëìçè✻✼❃é❍■✻✼✶ ✹✺▲íîïð✶ ❩❅❃ ❏❘ Lagrange ➸➺✭✯ λ = λ0 ì ✮✯✫✬ y = y(x, λ0) ✶❃éñò✭æ✫ J0[y] ✭✻✼✮✯✲ ó 32.1 ❏æ✫ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ➾ ôõö÷øùúûüýø Lagrange þÿ✁✂õ✄☎✆✝✞
法初步(续) 第3页 在边界条件 y()有界,y(1)=0 和约束条件 y2dx=1 下的极值曲线 解采用上面描述的 Lagrange乘子法,可以得到必要条件 a d a b-)(xy2-Axy2)=0 d/ dy +ary=0 此方程及齐次的边界条件即构成一个本征值问题,它的本征值 A2=2,p1是零阶贝塞耳函数J(x)的第i个正零点,i=1,2,3 正好就是 Lagrange乘子,而极值函数就是相应的本征函数 (x)=CJ0(2x) 常量C可以由约束条件定出.因为 rJo(pia) ca 2i(p)=1 所以 这样,就求出了极值函数 J1(P) 由于 Lagrange乘子的引进,在 Euler- Lagrange方程出现了待定参量,和齐次边界条件组合在 一起,就构成本征值问题.而作为本征值问题,它的解,本征值和本征函数,有无穷多个.这里有 两个问题需要讨论 ★第一个问题,这无穷多个本征函数都是极值函数 这可以从下面的变分计算看出.由边界条件以及由此推得的 有界 =0 可以求出Iy的一级变分 61131=2/ xy(6y)'dr 进而可以求出I的二级变分
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 3 ☞ ●çè✻✼ y(0) ✴è, y(1) = 0 ➪❍■✻✼ Z 1 0 x y2 dx = 1 ★✭✮✯ ✟✠✲ ✡ ☛ ➤❖❢☞❨ ✭ Lagrange ➸➺✌✶ ❅ ❃✍ ❮✹✺✻✼ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 x y02 − λ x y2 = 0, ❋ d dx x dy dx + λ x y = 0. (#) ❐ êëé✎✏✭ çè✻✼❋✑❇ ✧❛✒✓✯✰✱✶✷✭✒✓✯ λi = µ 2 i , µi ✽✔✕✖✗✘✫✬ J0(x) ✭✙ i ❛❦✔❰ ✶i = 1, 2, 3, · · · ❦✚❩✽ Lagrange ➸➺✶q✮✯✫✬❩✽ñò✭✒✓✫✬ yi(x) = C J0 (µix). ➦ ➬ C ❅ ❃ P❍■✻✼➻❘✲✾✿ C 2 Z 1 0 x J 2 0 (µix) dx = C 2 2 J 2 1 (µi) = 1, ❂❃ C = √ 2 J1(µi) . ❑❳✶ ❩❏❘✛✮✯✫✬ yi(x) = √ 2 J1(µi) J0(µix). P❵ Lagrange ➸➺✭ ➳➵✶● Euler–Lagrange êë❘å✛✜➻✢➬ ✶➪✎✏çè✻✼✣✤● ✧✥ ✶ ❩ ✑❇ ✒✓✯✰✱✲q✦✿✒✓✯✰✱✶✷ ✭◗✶ ✒✓✯ ➪ ✒✓✫✬✶✴✧★✩❛✲❑✩ ✴ ➹❛✰✱✐ ✺✪✫✲ F ✙✧❛✰✱✶ ❑ ✧★✩❛✒✓✫✬✬✽✮✯✫✬✲ ❑❅❃ ⑦★❢ ✭➷⑥✭✮➶ ❘✲Pçè✻✼❃é P❐✯✍✭ δy x=0 ✴è, δy x=1 = 0. ❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭✧✰➷⑥ δI[y] = 2 Z 1 0 x y0 (δy) 0 dx, ➵ q❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2 I[y] = 2 Z 1 0 x δy 0 2 dx > 0
§321泛函的条件极 因为泛函Ⅰ的二级变分恒取正值,所以这些极值函数均使泛函取极小 ★第二个问题是,这无穷个本征值正好也就是泛函的极值.这是因为,将方程(#)乘以极 值函数y(x),再积分,就有 根据约束条件,就能得到 最后,还要提到,这一类泛函的条件极值问題的原型,可以追溯到“闭合曲线周长一定而 面积取极大”的原始几何问题.因此,泛函的条件极值问题,常称为等周问题( (Isoperimetric problem
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 4 ☞ ✾✿æ✫ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥✱ ✸ ❦✯✶❂❃❑✲✮✯✫✬✳✴æ✫✸ ✮✵✲ F ✙ ✵ ❛✰✱✽✶ ❑ ✧★❛✒✓✯❦✚①❩✽æ✫✭✮✯✲❑✽✾✿✶ ⑧êë (#) ➸❃✮ ✯✫✬ y(x) ✶✶✷⑥ ✶ ❩ ✴ λ Z 1 0 x y2 dx = − Z 1 0 y x y0 0 dx = −y · x y0 1 0 + Z 1 0 x y02 dx = Z 1 0 x y02 dx, ✸✹❍■✻✼✶ ❩②✍ ❮ λ = Z 1 0 x y02 dx. ✺✻✶✼✽✾➀✶✿❀ ❁❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆❶❇❈✶Ñ Ò❉❊➀ ❋ ●❍ ■❏❑▲❀▼◆ ⑩❖P❃◗❘❶❇❙❚❯ ❅ ❆✲❱❲ ✶❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆ ✶ ❳❨❩❬❑ ❅ ❆ (Isoperimetric problem) ✲
3322微分方程于问题和本面值问题的变分形需 所2由 函以值的必是条件的正分形式( Euler- Lagrange方程)是样正分方程或偏正分方 而和变量函数的定解条件结约起来,就构成样正分方程或偏正分方程的定解题 对于函的条件以值题,其必是条件中待定参量( Lagrange乘子),而和齐次边 界条件结起来,就构成正分方程本征值 为一节将研究而的反题:如何将正分方程的定解题或本征值。题转化就函的以 值或条件以值_题,或者说,如何将正分方程的定解题或本征值题用变分语言表 述 例32.2写出常微分方程边值问题 d d+)=(),和0<x5a y(ao)=yo, y(a1)=y1 的泛要形式,即找出相应的泛函,它在边界条件(2)下取极值的必要条件即为(#) 既然泛函极值必要条件的微分形式就是方程(#),那么,这个方程一定来自 {[+0=0 现在的问题就是要把上式左端化成某一它分的变分,这对于该它分被它函数的第二、三项是很容 易实现的 q(a)y(a)8y(a) q(a)y(a)d f()by()dx=8/f(r)y(a)dr 已知函数q(a)和∫(x)是与叭(x)的变分无关的,因此,在变分计算中,而们都是样量 对于被它函数中的第一项,可以分"它分 dy sy(a)dr=p(z)dr (dy d( y) dr dr 25/ma)(z 其中用到了8(x)=8()=0.把上面的结果合起来,就得到 {[ (a)=+q(a)y(a)-f(r)5 8y(r)dr 2p(z)(dz)-g(zy()+f(a)y(
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 5 ☞ §32.2 ❭❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢✣❜❝✚❣❪❤✐ ❂ ➈ P ❃❄❶❥✽ ÜÝ❶❦❧➋ ➓ (Euler–Lagrange ♠♥) ➍❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥✶ qr➅➆➈➉❶▼sÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆① ②③❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶④❥✽ ÜÝ ⑤⑥⑦⑧▼⑨➆ (Lagrange âã) ✶ qr⑩❶❷ ❸ ÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❦❧♠♥❹❺❄ ❅ ❆✲ ✿❀ ❻❼❽ ❾q❶❿ ❅ ❆➀Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➁➂❩❂ ➈❶ ❃ ❄♦ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶♦➃➄✶Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➅➅❧➆➇➈ ➉✲ ó 32.2 ❆ ❘ ➦ ⑤⑥êëç ✯✰✱ d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) = f(x), x0 < x < x1, (#) y(x0) = y0, y(x1) = y1 (z) ✭æ✫✇♣✶❋➊ ❘ ñò✭æ✫✶✷●çè✻✼ (z) ★ ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❋ ✿ (#) ✲ ✡ ➋ ❙ æ✫✮✯✹✺✻✼✭⑤⑥✇♣❩✽êë (#) ✶➌➍✶ ❑❛êë✧➻ ➫ ➎ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = 0. å ● ✭✰✱❩✽✺➏ ❖ ♣➐➑❭ ❇➒ ✧ ✷ ⑥✭➷⑥✶ ❑ ❴❵➓✷⑥➔ ✷ ✫✬✭✙ ✵ ì→➣✽↔ ➮ ➱➢å✭ ✶ Z x1 x0 q(x)y(x)δy(x)dx = 1 2 δ Z x1 x0 q(x)y 2 (x)dx, Z x1 x0 f(x)δy(x)dx =δ Z x1 x0 f(x)y(x)dx. ↕➙ ➈➉ q(x) r f(x) ➍➛ y(x) ❶➅❧➜ ➝❶ ✶ ❱❲ ✶ ➞➅❧➟➠ ⑤✶ q➡➢➍❳➆✲ ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶ ❅ ❃ ⑥➤ ✷ ⑥ ✶ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx δy(x) dx = p(x) dy dx δy(x) x1 x0 − Z x1 x0 p(x) dy dx d(δy) dx dx = − Z x1 x0 p(x) dy dx δ dy dx dx = − 1 2 δ Z x1 x0 p(x) dy dx 2 dx, ➥ ❲➤❮✛ δy(x) x0 = δy(x) x1 = 0 ✲➏ ❖❢✭❜❝➦✤✥➫✶❩ ✍ ❮ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = −δ Z x1 x0 ( 1 2 " p(x) dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx