第四讲(一) Cauchy积分公式 841 Cauchy积分公式 有界区域的 Cauchy积分公式设f(2)是区域石中的 单值解析函数,石的边界C是分段光滑曲线,a为G内 f 其中积分路线沿C的正向 证在G内作圆|z-a<r(见图41,保持圆周|z-a|=r 在G内),则根据复连通区域的 Cauchy定理,有 dz. al=r 2-a 图4.1有界区域的 cauchy积分公式 此结果应与r的大小无关,故可令r→0.因为 f(a) 由引理3.1,就证得 dz= f(a)
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 1 ✠ ✡ ☛☞ (✌) Cauchy ✍✎✏✑ §4.1 Cauchy ✒✓✔✕ ✖✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ✤ f(z) ✥✦✧ G ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰ G ✩✱✲ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰ a ✹ G ✺✻ ✼✰✽ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★✿✳❀✸❁ C ✩❂ ❃❄ ❅ ❆ G ✺ ❇ ❈ |z−a| < r(❉❊ 4.1 ✰❋● ❈❍ |z−a| = r ❆ G ✺) ✰✽■❏❑▲▼✦✧✩ Cauchy ◆❖✰P I C f(z) z − a dz = I |z−a|=r f(z) z − a dz, ◗ 4.1 ❘❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴ r ✩❵❛❜❝✰❞❡❢ r → 0 ❄❣✹ limz→a (z − a) f(z) z − a = f(a), ❤✐❖ 3.1 ✰❥❦❧ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a).
Cauchy积分公式 无界区域的 Cauchy积分公式 对于无界区域,需要假设f(2)在简单闭合围道C上及C 外(包括无穷远点)单值解析.类似地,现在计算 其中a为C外一点,积分路线C的走向是顺时针方向,即绕 无穷远点的正向,如图42 在C外再作一个以原点为圆心,R为半径的大圆CR 这样,对于C和CR所包围的复连通区域,根据有界区域的 无界区域的 cauchy积分公式 Cauchy积分公式,有 1f(2) 这里积分路线CR的走向是逆时针方向.只要R足够大,这个结果当然就与R的具体大小无关, 于是,可令R 而得到 1f(2) dz=f(a)-lim 如果f(z)满足第三讲引理3.2的要求,则可以计算出沿大圆CR的积分的极限值, f(2) K= lim z f(∞) 因此 dz= f(a 特别当K=0时,就得到 无界区域的 Cauchy积分公式:如果f(x)在简单闭合围道C上及C外解析,且当z→∞ 时,f(2)一致地趋于0,则 Cauchy积分公式 f(2) 仍然成立,此处a为C外一点,积分路线C为顺时针方向
Wu Chong-shi §4.1 Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ♥♦❜✲✦✧✰♣qr✤ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③ (④⑤❜⑥⑦✼ ) ✪✫✬✭❄⑧⑨⑩✰❶❆❷❸ 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✩❹ ❃✥❺❻❼❽ ❃✰❾❿ ❜⑥⑦✼ ✩❂ ❃✰➀❊ 4.2 ❄ ❆ C ③➁❇ ✻➂➃➄✼ ✹ ❈➅✰ R ✹➆➇✩❵ ❈ CR ✰ ➈➉✰♥♦ C ➊ CR ➋④ ✈ ✩ ❑▲▼✦✧✰■❏P✲✦✧✩ Cauchy ✿✳➌➍✰P ◗ 4.2 ➎❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ 1 2π i I CR f(z) z − a dz + 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a), ➈➏✿✳❀✸ CR ✩❹ ❃✥➐❻❼❽ ❃❄➑q R ➒➓❵✰➈ ➂ ❭❪➔→❥❴ R ✩➣↔❵❛❜❝✰ ♦ ✥ ✰❡❢ R → ∞ ✰↕❧➙ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a) − lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz . ➀❪ f(z) ➛➒➜➝➞✐ ❖ 3.2 ✩ q➟✰✽❡➃ ❷❸➠❁❵ ❈ CR ✩✿✳✩➡➢✫✰ lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz = K, K = limz→∞ z · f(z) z − a = f(∞). ❣ ❬✰ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a)−K. ➤➥➔ K = 0 ❻ ✰❥❧➙➦ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ➦➀❪ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③✬✭✰➧➔ z → ∞ ❻ ✰ f(z) ✻➨⑩➩♦ 0 ✰✽ Cauchy ✿✳➌➍ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz ➫→➭➯✰❬➲ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✹❺❻❼❽ ❃❄
Cauchy积分公式 第3页 §42解析函数的高阶导数 从 Cauchy积分公式,可以推断出一个重要结论:如果f(z) 在G中解析,则在G内f(z)的任何阶导数f(m)(2)均存在 并且 f(n(2)=2ni 其中C是G的正向边界,z为G内任意一点,如图43 证首先求f(2).因为 -( o-f(s2 dc h c 1 f() (-z-h)(-z 图4.3高阶导数公式 取极限h→0,左端即为f(z),而右端被积函数的极限为f(/(-2)2.为了证明在积分号下求 极限合法,不妨考察 =:1=5-(=-: 由于f()在C上连续,故在C上有|f()≤M,设z到C的最短距离为6,l为C的长度,则有 f0-a- (-z-h)(-z (+24(≤h (6-|) 因此,积分号下求极限合法, f(a) 同样,可以求出 f"(z) f(a+h)-f(z) f() f() dc 2(-2z-h h→027 )2(-2)2 f(S)ds=2i c-2)3 如此继续,即可求出f(n)(z).口 ★这个结果说明,一个复变函数,只要在一个区域中一阶导数处处存在(因此是区域內的解析 函数),则它的任何阶导数都存在,并且都是这个区域内的解析函数 ★在实变函数中并非如此.我们并不能由f(x)的存在推断出f"(x)的存在 复变函数中f(2)在一区域中处处可导(即解析)是一个很高的要求实变函数中f(x)的存 在只包含当x在数轴上(一定区间内)变化时对f(x)的要求,而复变函数中f(2)的存在则 包含了在二维平面区域上对f(x)的要求
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 3 ✠ §4.2 ➳➵➸➺➻➼➽➾➺ ➚ Cauchy ✿✳➌➍✰❡ ➃➪➶➠ ✻➂➹q❭➘➦➀❪ f(z) ❆ G ★ ✬✭✰✽❆ G ✺ f(z) ✩➴➷➬➮✯ f (n) (z) ➱✃❆✰ ❐➧ f (n) (z) = n! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) n+1 dζ, ✾ ★ C ✥ G ✩❂ ❃✱✲✰ z ✹ G ✺➴❒✻✼✰➀❊ 4.3 ❄ ❅ ❮❰➟ f 0 (z) ❄❣✹ f(z + h) − f(z) h = 1 2π i 1 h I C f(ζ) ζ − z − h − f(ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ, ◗ 4.3 ÏÐÑÒ❨❩ Ó ➡➢ h → 0 ✰ÔÕ❾ ✹ f 0 (z) ✰↕ÖÕ×✿ ✮✯✩➡➢✹ f(ζ)/(ζ − z) 2 ❄✹Ø❦ Ù❆ ✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ÝÞßà I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) − I C f(ζ) dζ (ζ − z) 2 = h I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) 2 . ❤♦ f(ζ) ❆ C ① ▲á✰❞❆ C ① P |f(ζ)| ≤ M ✰ ✤ z ➙ C ✩âãäå✹ δ ✰ l ✹ C ✩æç✰✽P I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ − I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ ≤ |h| · Ml δ 2(δ − |h|) → 0, ❣ ❬✰✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ f 0 (z) = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ. è➉✰❡➃ ➟➠ f 00(z) = lim h→0 f 0 (z + h) − f 0 (z) h = lim h→0 1 2π i 1 h I C f(ζ) (ζ − z − h) 2 − f(ζ) (ζ − z) 2 dζ = lim h→0 1 2π i I C 2ζ − 2z − h (ζ − z − h) 2(ζ − z) 2 f(ζ)dζ = 2! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 3 dζ. ➀❬éá✰❾❡➟➠ f (n) (z) ❄ F ➈ ➂ ❭❪ê Ù✰✻➂❑ë✮✯✰➑q❆ ✻➂✦✧ ★✻➬➮✯➲➲✃ ❆ (ìíî ïð ñòóô õö) ✰✽÷✩➴➷➬➮✯ø✃ ❆✰❐➧ø✥ ➈ ➂✦✧ ✺✩✬✭✮✯❄ F ❆ùë✮✯ ★ ❐ú➀❬❄ûü❐Ýý ❤ f 0 (x) ✩✃❆ ➪➶➠ f 00(x) ✩✃❆ ❄ F ❑ë✮✯ ★ f(z) ❆ ✻✦✧ ★ ➲➲❡➮ (❾✬✭) ✥✻➂þÿ✩q➟❄ ùë✮✯ ★ f 0 (x) ✩✃ ❆➑ ④ ➔ x ❆✯✁ ① (✻◆✦✂ ✺) ë✄ ❻ ♥ f(x) ✩ q➟✰↕❑ë✮✯ ★ f 0 (z) ✩✃❆✽ ④Ø ❆☎✆✝✞✦✧①♥ f(z) ✩ q➟❄
3 Cauchy型积分和含参量积分的解析 343 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 在上一节关于解析函数高阶导数公式的证明过程中,f(z)的解析性只是体现在:(1)f()可 用achy积分公式表示;(2)∫(z)在C上连续.因此,重复上面的步骤,就可以证明:在一条分 段光滑的(闭合或不闭合)曲线C上连续的函数o()所构成的积分 f(2) (称为 Cauchy型积分)是曲线外点z的解析函数,f(z)可通过积分号下求导而得到, 0()-m/9k 例计算积分 f()=1 d,|2|≠ 解这是一个 Cauchy型积分,因为在|=1上=1/,故 f(2)=1 当|2|>1时,此积分可以用 Cauchy积分公式计算 f(2)=2ric=1Ls-2」 当0<|2|<1时 f(a) 容易看出,此结果对于z=0仍成立.综合以上结果,就有 f(2) z|>1 d lz|<1 由此可见,f(x)在|2≠1处解析,尽管在全平面不解析
Wu Chong-shi §4.3 Cauchy ✟☎✆✠✡☛☞☎✆✌✍✎✏ ✟ 4 ✠ §4.3 Cauchy ✑✒✓✒✓✔✕✒✓➻➳➵✖ ❆ ①✻✗❝ ♦✬✭✮✯ÿ➬➮✯ ➌➍✩❦ Ù✘✙ ★ ✰ f(z) ✩ ✬✭✚➑ ✥↔❶❆➦ (1) f(z) ❡ ✛ Cauchy ✿✳➌➍✜✢✣ (2)f(z) ❆ C ① ▲á❄❣❬✰➹ ❑ ① ✞ ✩✤✥✰❥❡➃ ❦ Ù➦❆ ✻✦✳ ✴✵✶✩ (t✉✧Ýt✉) ✷✸ C ① ▲á✩ ✮✯ φ(ζ) ➋★ ➭ ✩✿✳ f(z) = 1 2π i Z C φ(ζ) ζ − z dζ (✩✹ Cauchy ✪✛✜) ✥ ✷✸③✼ z ✩ ✬✭✮✯✰ f 0 (z) ❡▼✘ ✿✳ÚÛ➟ ➮ ↕❧➙✰ f (p) (z) = p! 2π i Z C φ(ζ) (ζ − z) p+1 dζ. ✫ ❷❸✿✳ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ, |z| 6= 1. ✬ ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳❄❣✹❆ |ζ| = 1 ① ζ ∗ = 1/ζ ✰❞ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ(ζ − z) dζ. ➔ |z| > 1 ❻ ✰❬✿✳❡ ➃ ✛ Cauchy ✿✳➌➍❷❸✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ 1 ζ − z dζ = − 1 z . ➔ 0 < |z| < 1 ❻ ✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 z 1 ζ − z − 1 ζ dζ = 0. ✮✯✰➠✰❬❭❪♥♦ z = 0 ➫➭➯❄✱ ✉ ➃①❭❪✰❥P f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ = − 1 z , |z| > 1, 0, |z| < 1. ❤❬❡❉ ✰ f(z) ❆ |z| 6= 1 ➲✬✭✰✲✳ ζ ∗ ❆✴✝✞Ý✬✭❄
Cauchy积分公式 第5页 利用 Cauchy型积分,就可以推出含参量积分的解析性 定理4.2设 1.f(t,2)是t和z的连续函数,t∈[a,,z∈石 2.对于[,b上的任何t值,f(t,x)是G上的单值解析函数 则F(2)=/f(t,2)dt在G内是解析的,且 F(a °9f(2t 证因为f(t,2)在石上解析,故对于G内的任何一点z, cauchy积分公式成立, f(t,2)=1rft○A TiJc(-x 代入F(z)的定义,并交换积分次序(因为f(t,2)连续),得 nD=k一h女=[③ 这是一个 Cauchy型积分,/f(t,2)dt连续,故F(2)为G内的解析函数,且 F(2)=2ni(x-2)2 f(t, s)dtds 广9出= af(t, 2) 显然,这个结论也适用于(3,这时应当要求C是分段光滑曲线,当在C上变动 z∈G时,f(t,2)是t和z的连续函数.证明的方法与上面相同
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 5 ✠ ✵✛ Cauchy ✭✿✳✰❥❡➃➪➠ ✶✷✸✛✜✚✬✹✺ ❄ ✻✼ 4.2 ✤ 1. f(t, z) î t ✽ z ò✾✿õö✰ t ∈ [a, b] ✰ z ∈ G ✰ 2. ❀❁ [a, b] ❂ò❃❄ t ❅ ✰ f(t, z) î G ❂ò❆❅óôõö✰ ✽ F(z) = Z b a f(t, z)dt ❆ G ✺✥✬✭✩ ✰➧ F 0 (z) = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ❅ ❣✹ f(t, z) ❆ G ① ✬✭✰❞♥♦ G ✺✩➴➷✻✼ z ✰ Cauchy ✿✳➌➍➭➯✰ f(t, z) = 1 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ. ❇❈ F(z) ✩◆❉ ✰❐❊❋✿✳●❍ (❣✹ f(t, z) ▲á) ✰❧ F(z) = Z b a dt 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C 1 ζ − z "Z b a f(t, ζ)dt # dζ. ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳✰ Z b a f(t, z)dt ▲á✰❞ F(z) ✹ G ✺✩✬✭✮✯✰➧ F 0 (z) = 1 2π i I C 1 (ζ − z) 2 "Z b a f(t, ζ)dt # dζ = Z b a 1 2π i I C f(t, ζ) (ζ − z) 2 dζ dt = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ■→✰➈ ➂ ❭➘❏❑✛♦ Z C f(t, z)dt ❄ ➈ ❻ ❫➔q➟ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰➔ t ❆ C ① ë▲✰ z ∈ G ❻ ✰ f(t, z) ✥ t ➊ z ✩ ▲á✮✯❄ ❦ Ù✩❽Ü❴① ✞▼è ❄