第十二讲函数 8121r函数的定义 定义r函数的最常用定义是 T(2)=/e-tt2-ldt, Rez>0 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 积分在右半平面代表一个解析函数 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 tt2-ldt t 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t2-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理4.2可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 所以对于任意正整数N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Re2<,(见图12.1) <N! 图12.1 这样,只要选择足够大的N(使得N>x0),积分/t-N-dt就收敛,故/e--1d在z 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 c= Re
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 1 ✞ ✟✠✡☛ Γ ☞ ✌ §12.1 Γ ✍✎✏✑✒ ✓✔ Γ ✕✖✗✘✙✚✛✜✢ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✣✤✥✦✧★✩✪✫ Euler ✥✦✬✭ ✮✗ ✥✦✯✰ t ✱✲✳✴★ arg t = 0 ✵ F ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄✵ ❅★✣✢❆✤❇✙ ✥✦✬❈❉✢❆✤❊✥✦ (❋ t = 0 ●) ✬❍ ✢❆✤■❏✥✦✬❑▲▼◆❈❖ P◗❘✦❙✦❚❯❱✵ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❲❳✩✪❘✦✵ ❨❩✬❬ t ≥ 1 ❭ ✬❪✥✕✖ e −t t z−1 ✢ t ✗❫❴✕✖✬❵❛❜★ z ✗✕✖✬ ❋ ❝❞❡✴❢✵❣✛✳ 4.2 ❤✐✬▼❥ ❦❈❧♠❆ ✤ ✴❢✕✖✬♥♦♣❥ ❦✥✦❆qrs✵❅★ e t = X∞ n=0 t n n! , ❑▲t✉✈✇①②✖ N ✬ e t > t N N! , e −t < N! tN . ③t✉ z ❞❡④✈ ❆⑤⑥⑦ (⑧⑥⑦ ⑨✗✈✇❆⑩✬❶❷ Re z <x0 ✬ (❸❹ 12.1) e −t t z−1 < N! · t x0−N−1 . ❺ 12.1 ✣❻✬♦▼❼❽❾❿➀✗ N ( ➁➂ N > x0) ✬✥✦ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ♥ rs✬③ Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❋ z ❞ ❡ ✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋❝❞❡✴❢✵ ▼❥ ❦✩ ❆ ❘✦✗ ✥✦❋➃➄❞❡✴❢✬➅➆➇✢ ❥ ❦❈ ✗❆qrs➈✵❅★ e −t t z−1 = e−t t x−1 , x = Re z
§121r函数的定义 因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 而/t°-at收敛,故积分/e-t2-at在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 T(2 tt2-ldt 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,同a|<π/2 取围道C如图122,应用留数定理讨论复变积分pe-t-1ld,就能证得这个 结论 进一步修改:积分路径L可以是t平面上从t=0出发的任意分段光滑曲线,只要最后以 Ret→+∞的方式趋于无穷远点即可 解析延拓 上面介绍的函数的定义只适用于Rez>0.注意积分的第二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓 (-)
Wu Chong-shi §12.1 Γ ☎✆➉➊➋ ✝ 2 ✞ ❅ ⑧ ✬t✉ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑥⑦✬❷ Re z = x ≥ δ > 0 ✬ e −t t z−1 ≤ t δ−1 , ➌ Z 1 0 t δ−1 dt rs✬③✥✦ Z 1 0 e −t t z−1 dt ❋ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋➃ ➄ ❞❡✴❢✵ ◆◗❘✦➍➎❙✬♥➂➏ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❋ z ✗➃➄❞❡✴❢✵ F ✶✷➐➑➒➓➔ • ④❡✗ ✥✦✛✜ ✮✬✥✦→➣❵↔♣▼↕✛❋➙➛④✬➌ ❤➜➝★ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✥✦→➣ L ✢ t ❞❡④➞ t = 0 ➟➠✗➄➡➢✬ arg t = α ★ ✙✖✬ |α| < π/2 ✵ ➤ ➥➦ C ➧❹ 12.2 ✬ ✱✚ ➨✖✛✳❯❱➩✯✥✦I C e −t t z−1dt, ♥➫❥ ➂ ✣✤ ➭❱✵ ❺ 12.2 • ➯❆➲➜➝➳✥✦→➣ L ❤ ▲ ✢ t ❞❡④➞ t = 0 ➟➠✗✈✇✦➵➸➺ ➻ ➢ ✬♦▼ ✘➼▲ Re t → +∞ ✗➽➾➚✉■❏➪⑩➶❤✵ F ❁❂➹➘ ➴ ➷➬➮➱ Γ ✃❐➱❒❮ ❰ÏÐÑ Re z > 0 ✵ ÒÓÔÕ➱ Ö×ØÕÙÚÛÜ ➷ÝÞ➱✬ ßà✬á âãäå z ➱ÛÜ ➷✬❰æÐÏ ç➱èéêÔÕ ÖëØÕãäåÛÜ ➷ìí✵ îïðñ✗➽ò✢óô✖✕✖❜ Taylor õö Z 1 0 e −t t z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✣✤➭÷✢❋ Re z > 0 ✗øùú➂➏✗✵ûü➾ý●❋➃➄❞❡✴❢✬➌ ➃●✗þ✖❨❩❋ ❝❞ ❡④ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❆qrs✬❅➌ ❋ ❝❞❡✴❢ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✵ ✣ÿ ❦✬ ü➾➃●✗þ ✖ ♠ ➾ ♥ ✢ý●✥✦♠ ➾❋❝❞❡④✗✴❢✁✂✵ Γ (z) = Z ∞ 1 e −t t z−1dt + X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z .
8122r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在r函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=zr(z) 证根据r函数的定义 T(2+1)=ett=dt t+e-t2t2-ldt =2/e-t2-dt=zr(2)口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(2+1)和r(2)都在全平面解 析(z=0,-1,-2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关亲在 全平面均成立 另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓.这时,可将递推关糸 改写成 T(z) 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,I(z+1)/z就是右端的r(z)在区域 ez>-1上的解析延拓,而且,如果把延拓后得到的结果仍记为I(z),这就是说, 可以把 r(x)=-r(2+1),z≠0 看成是r(z)在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将函数延拓到区域Rez>-2 r(2) 2(2+1) r(2+2),2≠0,-1 2=-1也是函数的一阶极点,resr(-1)=-1 如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,一2,…都是『函数的一 阶极点 resr(-n)=(=1)2
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 3 ✞ §12.2 Γ ✍✎✏✄☎✆✝ ✞✟ 1 Γ (1) = 1 ✵ ðñ❋ Γ ✕✖✗✛✜ ✮❧✠ z = 1 ➶❤➂➏✣✤➭÷✵ ✞✟ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✵ ✡ ☛☞ Γ ✕✖✗✛✜ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✌Ñ✍✎✏✑í ✒✓✔✎ ✕✖✗✘Ý ✵ • ëÙ✙ ✚Ú✛ ✜✢✣ ✤Ðå â✥✦ Re z > 0 ✵✧ ★Ñ Γ (z + 1) ✩ zΓ (z) ✪ ÚÛÜ ➷Ý Þ (z = 0, −1, −2, · · · ✫✬) ✬ßà✬✭✮ÝÞãä✯✘✬í ✒✰❒✬✍✎✱✲ ✳✴Ú ÛÜ ➷✵✶✷✵ • ✸ ëè ➷✬✹í ✒✺✻✼✢✱✲ ✳✴✗ ✽✶ Γ ✃❐➱ÝÞãä✵✍✾✬íê✱✲ ✳✴ ✿ ❀✶ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➴❁❂❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > 0 ➴ÝÞ✬❅❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > −1 ➴ÝÞ❆ ✔❇Ú❈❉ ❊❋ Re z > 0 ➴●❍❆★àí■✬ Γ (z + 1) /z ❏ Ù❅❃➱ Γ (z) Ú ❊❋ Re z > −1 ➴➱ÝÞãä✵❑▲✬▼✑◆ãä❖På➱✏✑◗❘á Γ (z) ✬✍ ❏ Ù❙✬ í ✒◆ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❚✶Ù Γ (z) Ú ❊❋ Re z > 1 ➴➱❒❮✬ ❑ z = 0 ❯ Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (0) = 1 ✵ • ❳❨➴❩ ❬❭✬❪í ✒ê Γ ✃❐ãäå ❊❋ Re z > −2 ✬ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✹Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (−1) = −1 ✵ • ▼à❫❴✬ ❏í ✒ê Γ ✃❐ÝÞãäåÛÜ ➷✬ ❑ z = 0, −1, −2, · · · ✪ Ù Γ ✃❐➱ë ❱❲❯ ✬ res Γ (−n) = (−1)n n! .
§122r函数的基本性质 4 推论1对于正整数n 正是因为这个原因,函数又称为阶乘函数 性质3互余宗量定理 这个公式的证明见后面的第124节 推论2r(1/2)=√元 只要在上面的性质3中代入z=1/2,并且注意 r(1/2)>0(因为被积函数值恒为正)即可得到此结果 推论3r函数在全平面无零点 因为/sin丌2≠0,所以r(2)r(1-2)≠0.这 样,如果在z=20点有r(20)=0,则必有r(1-20) ∞,这只能发生在1-20=-n(亦即20=n+1) n=0,1,2,…时.但此时r(20)=r(n+1)=n!,与所 设矛盾.因此r函数在全平面无零点.口 图123中给出了r(x)(x为实数)的图形.它从实数 范围直观地表现出这个推论以及函数的奇点分布 图123自变量取实数时的r函数值 性质4倍乘公式 r(2) 2-1/2r(a)r(z+ 这个公式的证明也见12.4节 性质5T函数的渐近展开,即 Stirling公式:当|2→∞,|arga<丌时,有 1×122288225184023248832024× 1 1 1 lnr(2)~(2-)mz-2+7ln(2x)+ 在物理中更常用的结果是 In n! Nn In
Wu Chong-shi §12.2 Γ ☎✆➉❵❛❜❝ ✝ 4 ✞ ❞❡ 1 t✉①②✖ n ✬ Γ (n) = (n − 1)!. ① ✢ ❅★✣✤❢❅✬ Γ ✕✖❍✧★❣❤✕✖✵ ✞✟ 3 ✐❥❦✰ ✛✳ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz . ✣✤❧ ➾✗❥ ❦❸➼❡ ✗ ✩ 12.4 ♠✵ ❞❡ 2 Γ (1/2) = √ π ✵ ♦▼ ❋ ④❡✗➈♥ 3 ✮❧✠ z = 1/2 ✬❵❛♦✇ Γ (1/2) >0 (❅★❪✥✕✖♣q★① ) ➶❤➂➏⑧➭÷✵ ❞❡ 3 Γ ✕✖❋❝❞❡■r ⑩✵ ✡ ❅★ π/sin πz 6= 0 ✬❑▲ Γ (z) Γ (1 − z) 6= 0 ✵ ✣ ❻✬➧ ÷ ❋ z = z0 ⑩ ❷ Γ (z0) = 0 ✬st❷ Γ (1 − z0) = ∞ ✵ ✣♦➫➠✉❋ 1 − z0 = −n (✈➶ z0 = n + 1) ✬ n = 0, 1, 2, · · · ❭✵û⑧❭ Γ (z0) = Γ (n + 1) = n! ✬✇❑ ①②③✵ ❅ ⑧ Γ ✕✖❋❝❞❡■r ⑩✵ ❹ 12.3 ✮④ ➟⑤ Γ(x)(x ★ ➙✖) ✗❹⑥✵ ❈➞ ➙✖ ⑦ ➥ð⑧⑨♠⑩ ➟ ✣✤❶❱▲❷ Γ ✕✖✗❸⑩ ✦❹ ✵ ❺ 12.3 ❺ ❻❼❽❾❿➀➁ Γ ➂ ❿➃ ✞✟ 4 ➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ✣✤❧ ➾✗❥ ❦➇ ❸ 12.4 ♠✵ ✞✟ 5 Γ ✕✖✗➅➆õö✬ ➶ Stirling ❧ ➾➳❬ |z| → ∞ ✬ | arg z| < π ❭ ✬❷ Γ (z) ∼ z z−1/2 e −z √ 2π n 1 + 1 12z + 1 288z 2 − 139 51840z 3 − 571 2488320z 4 + · · ·o , ln Γ (z) ∼ z − 1 2 ln z − z + 1 2 ln(2π) + 1 12z − 1 360z 3 + 1 1260z 5 − 1 1680z 7 + · · · . ❋➇✳ ✮➈ ✙✚✗➭÷✢ ln n! ∼ n ln n − n.
8123ψ函数 中函数是r函数的对数微商 dIn r ψ(x) r(2) 根据r函数的性质,可以得出ψ(x)的下列性质: 都是ψ(z)的一阶极点,留数均为-1;除了这些点以外,ψ()在全平面 解析 2.(2+1)=中(2)+ 中(2+n)=(2)+1+ 2+n-1n=2,3 3.ψ(1-2)=ψ(2)+ cot 72 4.W()-(-2)=-1-reor 5.(2)=时()+中(2+)+h2 6.u(2)~lnz larg al 7.Iim[(2+n)-ln]=0 ψ函数的特殊值有 ψ(1)= 中(1) 2In 2 7-2ln2+2 -3m2)(2)=+2-32 ln3.∥中 其中=-中(1)是数学中的一个基本常数,称为 Euler常数 7=0.57721566490153286060651209008240 它的定义是 ★利用ψ函数,可以方便地求出通项为有理式的无穷级数 p(n)
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 5 ✞ §12.3 ψ ✍ ✎ ψ ✕✖✢ Γ ✕✖✗t ✖➉➊ ψ(z) = dln Γ (z) dz = Γ 0 (z) Γ (z) . ☛☞ Γ ✕✖✗➈♥ ✬ ❤ ▲ ➂➟ ψ(z) ✗ú➋➈♥➳ 1. z = 0, −1, −2, · · · ➌✢ ψ(z) ✗❆❣➍⑩ ✬ ➨✖❶★ −1 ❆➎⑤ ✣➏ ⑩ ▲➐✬ ψ(z) ❋ ❝❞❡ ✴❢✵ 2. ψ(z + 1) = ψ(z) + 1 z . ψ(z + n) = ψ(z) + 1 z + 1 z + 1 + · · · + 1 z + n − 1 , n = 2, 3, · · · . 3. ψ(1 − z) = ψ(z) + π cot πz. 4. ψ(z) − ψ(−z) = − 1 z − π cot πz. 5. ψ(2z) = 1 2 ψ(z) + 1 2 ψ z + 1 2 + ln 2. 6. ψ(z) ∼ ln z − 1 2z − 1 12z 2 + 1 120z 4 − 1 252z 6 + · · · , z → ∞, | arg z| < π. 7. limn→∞ ψ(z + n) − ln n = 0. ψ ✕✖✗➑➒♣❷ ψ(1) = −γ, ψ 0 (1) = π 2 6 , ψ 1 2 = −γ − 2 ln 2, ψ 0 1 2 = π 2 2 , ψ − 1 2 = −γ − 2 ln 2 + 2, ψ 0 − 1 2 = π 2 2 + 4, ψ 1 4 = −γ − π 2 − 3 ln 2, ψ 3 4 = −γ + π 2 − 3 ln 2, ψ 1 3 = −γ − π 2 √ 3 − 3 2 ln 3, ψ 2 3 = −γ + π 2 √ 3 − 3 2 ln 3. ➓ ✤ γ = −ψ(1) Ù ❐ ➔ ✤➱ë✎→➣↔❐ ✬↕á Euler ↔ ❐ γ = 0.5772 1566 4901 5328 6060 6512 0900 8240 · · · . ➙➱❒❮Ù γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # . F ➛✚ ψ ✕✖✬ ❤ ▲ ➽➜ ⑨➝➟➞➟★❷✳➾✗■❏þ✖ X∞ n=0 un = X∞ n=0 p(n) d(n)