第五讲无穷级数(续) 35.1幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数 ∑n(z-a)2=m+(z-a)+c(2-a)2+…+cn(z-a)2+ 这是一种特殊形式的函数项级数,也是最基本、最常用的一种函数项级数. 定理51Abel(第一)定理如果级数∑cn(x-a)在某点x0收敛,则在以a点为圆心 20-a|为半径的圆内绝对收敛,而在|z-a|≤r(r<|20-a)中一致收敛. 证因为∑cn(z-a)在z收敛,故一定满足必要条件 lim cn(20-a)=0 因此存在正数q,使cn(z0-a)<q.所以 n(2-ao)=n(20-a)12二a<q2-a 因为5-0<1即|-4<|a-l时,立二4收敛故 =0|20 (z-a)”在圆|2-a<|0-a内绝对收敛 而当|z-a≤r<|20-a时 cn(z-a)"|≤q 常数项级数 收敛,故 (2-a)”在圆|z-a≤r(r<|0-4中一致收敛 推论若级数∑c1(z-a)在某点x1发散,则在圆|2-=|1-al外处处发散 证用反证法.若级数∑c1(2-0在圆|2-=121-al外某一点2收敛,则按Abl定 理,级数必然在圆|2-a=|22-|(2-a>121-a)内收敛,与原设矛盾.故级数∑cn(z-a)2 在圆|z-a|=|21-a外处处发散.口
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 1 ✠ ✡☛☞ ✌ ✍ ✎ ✏ (✑) §5.1 ✒ ✓ ✔ ✕✖✗✘✙✚✛✘✜✢✕✣✗✤✣✗✜✖✗✥ X∞ n=0 cn(z − a) n = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) 2 + · · · + cn(z − a) n + · · · . ✦✚✧★✩✪✫✬✤✣✗✜✖✗✥✭✚✮✯✰✱✮✙✲✤✧★✣✗✜✖✗✳ ✴✵ 5.1 Abel(✶✷) ✴✵ ✸✹✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺✻✼ z0 ✽✾✥✿✺❀ a ✼✢ ❁❂✥ |z0 − a| ✢❃❄✤ ❁❅❆❇✽✾✥❈✺ |z − a| ≤ r(r < |z0 − a|) ❉ ✧❊✽✾✳ ❋ ●✢ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ z0 ✽✾✥❍✧■❏❑▲▼◆❖ limn→∞ cn(z0 − a) n = 0. ●P◗✺❘✗ q ✥❙ |cn(z0 − a) n| < q ✳❚❀✥ |cn(z − a) n | = |cn(z0 − a) n | · z − a z0 − a n < q z − a z0 − a n . ●✢ z − a z0 − a < 1 ❯ |z − a| < |z0 − a| ❱ ✥ P∞ n=0 z − a z0 − a n ✽✾✥❍ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| < |z0 − a| ❅❆❇✽✾✳ ❈❲ |z − a| ≤ r < |z0 − a| ❱ ✥ |cn(z − a) n | ≤ q r n |z0 − a| n , ✙✗✜✖✗ P∞ n=0 r n |z0 − a| n ✽✾✥❍ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| ≤ r (r < |z0 − a|) ❉ ✧❊✽✾✳ ❳❨ ❩✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺✻✼ z1 ❬❭✥✿✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪❫❫❬❭✳ ❋ ✲❴❵❛✳❩✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪✻✧✼ z2 ✽✾✥✿❜ Abel ■ ❝✥✖✗▲❞✺ ❁ |z − a| = |z2 − a|(|z2 − a| > |z1 − a|) ❅ ✽✾✥❡❢❣❤✐✳❍✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪❫❫❬❭✳
收敛圆与收敛半径由于一个级数在z平面上的任意一点,总是要么收敛,要么发散.因此 对于幂级数来说,就出现了这样的情况:在z平面上一部分点幂级数收敛,在另外一部分点幂级 数发散.这些收敛点与发散点之间存在一个分界线 ★根据Abel定理,这个分界线一定是圆.这个圆,就称为幂级数的收敛圆 ★收敛圆的圆心:2=a点 ★收敛圆的半径称为收敛半径 收敛半径可以是0.这时,收敛圆退化为一个点.除z=a点外,幂级数在全平面处处发散 收敛半径也可以是∞.这时收敛圆就是全平面.幂级数在全平面收敛,但∞点肯定是奇点 求幂级数的收敛半径的办法,常用的有两个 1.根据 Cauchy判别法,当 lim Icn(z-a) " I/<1 p lz-al <lim Icnll/n 7→C 时级数绝对收敛;当 lim cn(z-a)"/n> 1 Ep Iz-al 时级数发散.因此,幂级数∑cn(z-a)n的收敛半径是 R Cn//n 2.根据 d' Alembert判别法,如果 in/sn+1(2-a)x+1 l2-a| lim n+1 存在,则当 n+1 02-y|<1即|2-l<lm 时级数绝对收敛;当 n+1 1即|z-a|>im 时级数发散.因此,幂级数∑cn(z-a)的收敛半径是 这两个求收敛半径的公式各有优缺点, Cauchy公式是普遍成立的,而 d'Alembert公式 则是有条件的(要求极限 lim e/cn艹l存在)·但当后者能适用时,往往计算更简单些
Wu Chong-shi §5.1 ❥ ✆ ✝ ✟ 2 ✠ ❦❧♠♥❦❧♦♣ qr✧s✖✗✺ z t✉✈✤✇①✧✼✥②✚▼③✽✾✥▼③❬❭✳●P✥ ❇r✕✖✗④⑤✥⑥⑦⑧⑨✦⑩✤❶❷❸✺ z t✉✈✧❹❺✼✕✖✗✽✾✥✺❻❪ ✧❹❺✼✕✖ ✗ ❬❭✳✦❼✽✾✼❡ ❬❭✼❽❾◗✺✧s❺❿➀✳ F ➁➂ Abel ■❝✥✦s❺❿➀✧■✚ ❁✳✦s ❁✥⑥➃✢✕✖✗✤ ❦❧♠ ✳ F ✽✾ ❁✤ ❁❂❸ z = a ✼✳ F ✽✾ ❁✤❃❄➃✢ ❦❧♦♣ ✳ ✽✾❃❄➄❀✚ 0 ✳✦ ❱ ✥ ✽✾ ❁➅➆✢✧s✼✳➇ z = a ✼❪ ✥✕✖✗✺➈t✉❫❫❬❭✳ ✽✾❃❄✭➄❀✚ ∞ ✳✦ ❱✽✾ ❁⑥✚➈t✉✳✕✖✗✺➈t✉✽✾✥➉ ∞ ✼➊■✚➋✼✳ ➌✕✖✗✤✽✾❃❄✤➍❛✥✙✲✤➎➏s❸ 1. ➁➂ Cauchy ➐➑❛✥❲ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n < 1 ❯ |z − a| < 1 limn→∞ |cn| 1/n ❱ ✖✗❆❇✽✾➒❲ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n > 1 ❯ |z − a| > 1 limn→∞ |cn| 1/n ❱ ✖✗❬❭✳●P✥✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤ ✽✾❃❄✚ R = 1 limn→∞ |cn| 1/n = lim n→∞ 1 cn 1/n . 2. ➁➂ d’Alembert ➐➑❛✥✸✹ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n = |z − a| limn→∞ cn+1 cn ◗✺✥✿❲ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n < 1 ❯ |z − a| < limn→∞ cn cn+1 ❱ ✖✗❆❇✽✾➒❲ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n > 1 ❯ |z − a| > limn→∞ cn cn+1 ❱ ✖✗❬❭✳●P✥✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤ ✽✾❃❄✚ R = limn→∞ cn cn+1 . ➓➔→➣↔↕➙➛➜➝➞➟➠➡➢➤✳ Cauchy ➝➞➥➦➧➨➩➜✥➫ d’Alembert ➝➞ ➭➥➠➯➲➜ (➳ ➣➵➸ limn→∞ |cn/cn+1| ➺➻) ✳➼ ➽➾➚➪➶➹➘✥➴➴➷➬➮ ➱✃❐✳
由于幂级数∑cn(z-a)的每一项都是z的解析函数,Abel定理告诉我们,幂级数在其收 敛圆内任一闭区域中一致收敛,因此,根据4.2节,在收敛圆内,幂级数代表了一个解析函数(或 者说,幂级数的和函数在收敛圆内解析),可以对幂级数逐项积分或逐项求导数, (2-a)"dz ∑[(z-a)+1-(2 d dz ∑cn+1(n+1)(2-a) 幂级数在收敛圆上的收敛性? 可以处处收敛 可以处处发散, 也可以在一部分点收敛,在另一部分点发散 1+z+2+…+zn+ 在|2|=1上处处发散; 在|=1上除z=1外均收敛,而在z=1点发散; 1.22.33.4 +…在|2|=1上处处收敛 不论哪种情况,幂级数的收敛圆上总肯定有奇点. 但即使在奇点,幂级数仍然可能是收敛的(即有确定的函数值) 设幂级数∑cn(2-a)在收敛圆内收敛到f(x),如果级 数在收敛圆周上某点20也收敛,和为S(∞0),则阿贝耳第二 定理(不证)告诉我们,当z由收敛圆内趋于20时,只要保持 在以20为顶点、张角为2<丌的范围内(见图5.1),f(z)就 定趋于S(20) 图5.1阿贝耳第二定理
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 3 ✠ qr✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤❒✧✜❮✚ z ✤❰Ï✣✗✥ Abel ■❝ÐÑÒÓ✥✕✖✗✺Ô✽ ✾ ❁❅✇✧ÕÖ× ❉ ✧❊✽✾✥●P✥ ➁➂ 4.2 Ø ✥✺ ✽✾ ❁❅✥✕✖✗ÙÚ⑨✧s❰Ï✣✗ (Û Ü⑤✥✕✖✗✤Ý✣✗✺ ✽✾ ❁❅❰Ï) ✥➄❀❇✕✖✗Þ✜ß❺Û Þ✜➌à✗✥ Z z z0 X∞ n=0 cn(z − a) n dz = X∞ n=0 cn Z z z0 (z − a) n dz = X∞ n=0 cn n + 1 (z − a) n+1 − (z0 − a) n+1 , d dz X∞ n=0 cn(z − a) n = X∞ n=0 cn d(z − a) n dz = X∞ n=0 cn+1(n + 1)(z − a) n . F ✕✖✗✺ ✽✾ ❁ ✈ ✤ ✽✾á â • ➄❀❫❫✽✾✥ • ➄❀❫❫❬❭✥ • ✭➄❀✺✧❹❺✼ ✽✾✥✺❻✧❹❺✼ ❬❭✳ 1 + z + z 2 + · · · + z n + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫❬❭➒ z 1 + z 2 2 + z 3 3 + · · · + z n n + · · · ✺ |z| = 1 ✈ ➇ z = 1 ❪ã✽✾✥❈✺ z = 1 ✼ ❬❭➒ z 2 1 · 2 + z 3 2 · 3 + z 4 3 · 4 + · · · + z n n(n − 1) + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫✽✾✳ äåæ★❶❷✥✕✖✗✤✽✾ ❁ ✈ ②➊■➎➋✼✳ ➉ ❯ ❙✺➋✼✥✕✖✗ç❞➄è✚✽✾✤ (❯ ➎é■✤✣✗ê) ✳ ❣✕✖✗ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ✽✾ ❁❅✽✾ë f(z) ✥✸✹✖ ✗✺ ✽✾ ❁ì✈✻✼ z0 ✭ ✽✾✥Ý✢ S(z0) ✥✿ íîï✶ð ✴✵ (ä❵ ) ÐÑÒÓ✥❲ z q ✽✾ ❁❅ñr z0 ❱ ✥ò▼óô ✺❀ z0 ✢õ✼✱ö÷✢ 2φ < π ✤ø ù❅ (úû 5.1) ✥ f(z) ⑥ ✧■ñr S(z0) ✳ ü 5.1 ýþÿ✟✁✂
52含参量的反常积分的解 §5.2含参量的反常积分的解析性 §53中有关函数级数解析性的结论,也可以用来讨论含参量的反常积分的解析性 定理 1.∫(t,z)是t和z的连续函数,t>a 2.对于任何t≥a,∫(t,2)是G上的单值解析函数, 3.积分/f(t,2)t在百上一致收敛,即v>0,彐(),当12>71>T()时,有 f(t,2) 则F()=/()d在G内是解析的,且 F(a) 证任取一个无界序列{an} a0=a<a1<a2<a3<……<an<an+1< lim an =oo. 令u()=”(3),则根据37节关于含参量的定积分的解析性的定理,可知()是G内 的单值解析函数.又因为 在石上一致收敛,故根据 Weierstrass定理,知 F(2)=∑un(2) f(t, a)dt 在G内解析,且 F(2)=∑v(2) af (t, 2) 对于含参量的瑕积分也可以类似地处理 在应用这个定理时,需要判断无穷积分(或瑕积分)是否一致收敛.常用的判别法是:如果存 在函数(),使得(2)<(,2∈7,而且厂收敛,则厂(2在可上绝对而且 致收敛 作为含参量的无穷积分的一个例子,下面讨论积分 F(2) 这个积分中的被积函数显然满足定理的前两个条件,而且因为对于复数z=x+iy,有 Icos 2xt|=vcosh22yt-cos22-t s cosh 2 lytl s e2lytl
Wu Chong-shi §5.2 ✄☎✆✝✞✟✠✡✝☛☞✌ ✟ 4 ✠ §5.2 ✍✎✏✑✒✓✔✕✑✖✗✘ §5.3 ❉ ➎✙✣✗✖✗❰Ïá ✤✚å✥✭➄❀✲④✛å✜✢✣✤❴✙ß❺✤❰Ïá ✳ ✴✵ 5.2 ❣ 1. f(t, z) ➥ t ✤ z ➜✥✦✧★✥ t > a ✥ z ∈ G ✥ 2. ✩✪✫✬ t ≥ a ✥ f(t, z) ➥ G ✭ ➜✃✮✯✰✧★✥ 3. ✱✲ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭✳✴↔↕✥✵ ∀ε > 0 ✥ ∃T (ε) ✥➽ T2 > T1 > T (ε) ➘✥➠ Z T2 T1 f(t, z)dt < ε, ✿ F(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅✚❰Ï✤✥✶ F 0 (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❋ ✇✷✧s ✸✹ ✺✻ {an} a0 = a < a1 < a2 < a3 < · · · < an < an+1 < · · · , limn→∞ an = ∞. ✼ un(z) = Z an+1 an f(t, z)dt ✥✿ ➁➂ 3.7 Ø ✙r✜✢✣✤■ß❺✤❰Ïá ✤■❝✥➄✽ un(z) ✚ G ❅ ✤✾ê❰Ï✣✗✳✿●✢ F(z) = X∞ n=0 un(z) ✺ G ✈ ✧❊✽✾✥❍➁➂ Weierstrass ■❝✥✽ F(z) = X∞ n=0 un(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅❰Ï✥✶ F 0 (z) = X∞ n=0 u 0 n (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❇r✜✢✣✤❀ß❺✭➄❀❁❂❃❫ ❝✳ ✺❄✲✦s■❝ ❱ ✥❅▼ ➐❆❇❈ß❺ (Û ❀ß❺) ✚❉✧❊✽✾✳✙✲✤➐➑❛✚❸ ❊❋➺ ➻ ✧★ φ(t) ✥●❍ |f(t, z)| < φ(t) ✥ z ∈ G ✥➫■ Z ∞ a φ(t)dt ↔↕✥➭ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭❏✩➫■ ✳✴↔↕✳ ❑✢✜✢✣✤ ❇❈ß❺✤✧s▲▼✥◆ ✉ ✛åß❺ F(z) = Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt. (5.1) ✦sß❺ ❉ ✤❖ß✣✗P❞❏❑■❝✤◗➏s◆❖✥❈✶●✢❇r❘✗ z = x + iy ✥➎ |cos 2zt| = q cosh2 2yt − cos22xt ≤ cosh 2 |yt| ≤ e 2|yt| .
所以,对于z平面上的任意一个闭区域上,|Imx<v,于是, 而积分/e-+2odt收敛,所以含参量的无穷积分(1)一致收敛,因此,这个积分作为z的函 数,在z平面上的任意一个区域内解析.更进一步,就有 F(2) e 2t sin 22t dt e- sin 2zt-2z/e-t cos 2t dt=-22F() 解这个微分方程,就可以得到F(x)=Ce-2,其中常数C是 这样,最后就得到 e-t cos 22t dt==VTe
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 5 ✠ ❚❀✥❇r z t✉✈✤✇①✧sÕÖ×✈ ✥ |Im z| < y0 ✥r✚✥ e −t 2 cos 2zt < e −t 2+2y0t , ❈ß❺ Z ∞ 0 e −t 2+2y0tdt ✽✾✥❚❀✜✢✣✤ ❇❈ß❺ (5.1) ✧❊✽✾✥●P✥✦sß❺❑✢ z ✤✣ ✗✥✺ z t✉✈✤✇①✧sÖ× ❅❰Ï✳❙❚✧❯✥⑥➎ F 0 (z) = − Z ∞ 0 e −t 2 2t sin 2zt dt = e−t 2 sin 2zt ∞ 0 − 2z Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt = −2zF(z). ❰✦s❱❺❲❳✥⑥➄❀❨ ë F(z) = Ce −z 2 ✥Ô ❉ ✙✗ C ✚ C = F(0) = Z ∞ 0 e −t 2 dt = 1 2 √ π, ✦⑩✥✮❩⑥❨ ë Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt = 1 2 √ π e −z 2