性常徵分方程的幂级数解法 第九讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(二) §9.1方程正则奇点邻域内的解 讨论极点性的奇点 方程的奇点可能同时也是解的奇点.不但可能是解的极点或本性奇点,还可能是解的枝点 作为在方程正则奇点邻域内求解的依据,再次不加证明地介绍另一个定理 定理9.1如果20是方程 d w d2+p(2)+q(2)=0 的奇点,则在p(2)和q(x)都解析的环形区域0<|z-20<R内,方程的两个线性无关解是 u1(2)=(z-20) k=-∞ P2 其中p1,P2和g都是常数 如果p1或P是整数,且g=0,则20点为方程的解的极点或本性奇点 ★如果p1或P2不是整数,或g≠0,则方程的解为多值函数,20点为其枝点 现在如果我们把上面的解弌代入方程,尽管仍然能得到糸数之问的递推关糸,但却无 法求出糸数的普遍表达式·因为这时的级数解中,一般说来,都有无穷多个正幂项和负 幂项,反复利用递推关亲将会永无休止 如果级数解中只有有限个负幂项,这时总可以调整相应的ρ值,使得级数解中没有负幂项, n(2)=(x-20)∑c(2-20) u2(2)=gu1(2)ln(x-20)+(2-20)∑dk(2-20 于是,反复利用递推关系就可以求得系数的普遍表达式,当然,还必须要定出p值 这种形式的解称为正则解,当g≠0时,U2(z)的形式和u1(z)不同(含有对数项) 因而需分别求解.当g=0时,υ2(以)的表达式中不含对数项,两个解的形式相同 方程奇点邻域内两个线性无关解都是正则解的充分必要条件,见下面的定理(不证)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 1 ✓ ✔✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ (✗ ) §9.1 ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ ✶✷✸✹✺✻✼✽✺✾ ✿❀✼✽✺❁❂❃❄❅❆❇✼✽✺✾❈❉❁❂❆❇✼✹✺❊❋✻✽✺●❍❁❂❆❇✼■✺✾ ❏❑▲✿❀▼◆✽✺❖P ◗❘❇✼❙❚●❯❱❈❲❳ ❨❩❬❭❪❫❴❵❛❜ ❝❞ 9.1 ❡❢ z0 ❆✿❀ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 ✼✽✺●◆▲ p(z) ❣ q(z) ❤ ❇✐✼❥❦❧P 0 < |z − z0| < R ◗●✿❀✼♠❴♥✻♦♣❇❆ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=−∞ ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=−∞ dk(z − z0) k , q r ρ1, ρ2 ❣ g ❤ ❆st✾ F ❡❢ ρ1 ❊ ρ2 ❆✉t●✈ g = 0 ●◆ z0 ✺❑✿❀✼❇✼✹✺❊❋✻✽✺✾ F ❡❢ ρ1 ❊ ρ2 ❈❆✉t●❊ g 6= 0 ●◆✿❀✼❇❑✇①②t● z0 ✺❑q■✺✾ ③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ❶❷❸❹❺❻❼❽●❾ ❿➀➁➂➃➄ ➅➆➇ ➈❷➉➊ ➋➅●➌➍➎ ➏➐ ➑➅➆❷➒➓➔→❹✾➣↔↕➙❷➛➆❸ ➜●➝➞➟➠●➡➢➎➤ ➥➦➧➨➩➫ ➭ ➨➩●➯➲➳➵➉➊ ➋➅➸➺➻➎➼➽✾ ❡❢➾t❇ r✶➚➚➪❴➶➹➘●➴❄➷❁➬➮✉➱✃✼ ρ ①●❐❒➾ t❇ r❮➚➶➹➘● w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k . ❰❆●ÏÐÑÒÓÔ♣ÕÖ❁➬❘❒Õt✼×ØÙÚÛ✾ÜÝ●❍Þßà❵á ρ ①✾ ↕âã❹❷❸ä↔ ✭✮✵ ✾å g 6= 0 ➙● w2(z) ❷ã❹➫ w1(z) æ ç (è ➢é➆➩) ● ➣êëìí➐❸✾å g = 0 ➙● w2(z) ❷➔→❹ ➜æèé➆➩●î➦❸❷ã❹ï ç ✾ ✿❀✽✺❖P ◗♠❴♥✻♦♣❇❤ ❆▼◆❇✼ðñÞàòó●ôõö✼❵❛ (❈❳) ❜
程正则奇点邻域内的 定理9.2方程 d 2w a2+p(2)+(2)=0 在它的奇点2的邻域0<|2-20<R有两个正则解 u(2)=(2-20)∑ck(2-20) ≠0 (9.1) 2(2)=g1(2)l(2-2)+(2-20)2∑4(2-20),g或山≠0 (9.2) 的充要条件是20点是 p(2)的不超过一阶的极点,即(2-20)p(2)在20点解析 q(x)的不超过二阶的极点,即(2-20)2q(2)在20点解析 即30为方程的正则奇点 p1和P称为正则解的指标 例91显然 都是超几何方 2(1-3)a2+b-(1+a+a-a30=0 的正则奇点;x=±1也都是 Legendre方程 dy +l(+1)=0 的正则奇点 为了判断无穷远点是否为正则奇点,同样要作变换2=1/t,如果t=0是变换后的方程的正 则奇点,即t=0点是变换后的方程的奇点,且 在t=0点解析,亦即z=∞点是变换前方程的奇点,且2p(2)和2q(2)在z=∞0点解析,则称 z=∞点是变换前的方程的正则奇点.所以,无穷远点z=∞也都是超几何方程和 Legendre方程 的正则奇点
Wu Chong-shi §9.1 ✡☛÷øùúûü ý☞✏ ✒ 2 ✓ ❝❞ 9.2 ✿❀ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, ▲þ✼✽✺ z0 ✼❖P 0 < |z − z0| < R ➚♠❴▼◆❇ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , c0 6= 0, (9.1) w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k , g ❊ d0 6= 0 (9.2) ✼ðàòó❆ z0 ✺❆ p(z)✼❈ÿ❫✁✼✹✺● ✂ (z − z0)p(z)▲ z0 ✺❇✐✄ q(z)✼❈ÿ☎✁✼✹✺● ✂ (z − z0) 2 q(z)▲ z0 ✺❇✐✾ ✂ z0 ❑✿❀✼▼◆✽✺✾ ρ1 ❣ ρ2 ✆ ❑▼◆❇✼ ✝✞ ✾ ✟ 9.1 ✠ Ý● z = 0 ❣ z = 1 ❤ ❆ÿ✡☛✿❀ z(1 − z) d 2w dz 2 + [γ − (1 + α + β)z] dw dz − αβw = 0 ✼▼◆✽✺✄ x = ±1 ❅ ❤ ❆ Legendre ✿❀ 1 − x 2 d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ✼▼◆✽✺✾ ❑☞✌✍♦✎✏✺❆✑❑▼◆✽✺●❃✒à❏✓✔ z = 1/t ● ❡❢ t = 0 ❆✓✔✕✼✿❀✼▼ ◆✽✺●✂ t = 0 ✺❆✓✔✕✼✿❀✼✽✺●✈ t 2 t − 1 t 2 p 1 t = 2 − 1 t p 1 t ❣ t 2 · 1 t 4 q 1 t = 1 t 2 q 1 t ▲ t = 0 ✺❇✐●✖✂ z = ∞ ✺❆✓✔✗✿❀✼✽✺●✈ zp(z) ❣ z 2 q(z) ▲ z = ∞ ✺❇✐●◆ ✆ z = ∞ ✺❆✓✔✗✼✿❀✼▼◆✽✺✾✘➬●♦✎✏✺ z = ∞ ❅ ❤ ❆ÿ✡☛✿❀❣ Legendre ✿❀ ✼▼◆✽✺✾
九讲二阶线性常微分方程的幂级数解法 第3页 在方程正则奇点域内求解思路 将正则解mn1(2)或u2(2)代入方程 通过比较系数,求出指标和递推关系 进而求出系数的普遍表达式 实际的求解过程,总是先将m1(2)形式的解代入方程, 如果能够同时求得两个线性无关解,当然任务便告完成,没有必要再将u2(2)形式的 解代入方程. 如果这时只能求得一个解(例如p1=P时),那么,就还必须再将2(z)形式的解(这 时的g一定不为0)代入方程求解 根据常微分方程的普遍理论,对于一个二阶线性常微分方程 8+p(2)a:2+9(2)m=0 dz2 如果已经求出了一个解m1(2),那么,总可以通过积分 U2(2)=An1(2) p(dcl d mn1(2)2 来求出第二解.这是因为这两个解都满足方程 d2+p(2) du+a( 5+P( du2+(2) 用m2(2)和u1(2)分别乘这两个方程,再相减,便可得到 P(2) due_109 +p()(1 d dz 积分,可得 两端除以n2,又可以得到 正(=)=a/n (9.3) 再积分一次,就得到上面的结果
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 3 ✓ ✙ ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✚✵✛✜❜ • ✢ ▼◆❇ w1(z) ❊ w2(z) ✣✤✿❀ • ✥ ✦✧Õt●❘á★✩❣ ÓÔ♣Õ • ✪✫❘áÕt✼×ØÙÚÛ ✬✭✼❘❇❀●➷❆✮ ✢ w1(z) ❦Û✼❇✣✤✿❀● F ❡❢❂✯❃❄❘❒♠❴♥✻♦♣❇●ÜÝ✰✱✲✳✴✵●❮➚Þà❯ ✢ w2(z) ❦Û✼ ❇ ✣✤✿❀✾ F ❡❢➴❄✶❂❘❒❫❴❇ (✶❡ ρ1 = ρ2 ❄ ) ●✷✸●Ö❍Þß❯ ✢ w2(z) ❦Û✼❇ (➴ ❄✼ g ❫❵❈❑ 0) ✣✤✿❀❘❇✾ ✹❚s✺ñ✿❀✼×Ø❛✸●✻❰❫❴☎✁♥✻s✺ñ✿❀ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, ❡❢ ✼✽❘á☞❫❴❇ w1(z) ●✷✸●➷❁➬✥ ✾ñ w2(z) = Aw1(z) Z z 1 [w1(z)]2 exp − Z z p(ζ)dζ dz ✿❘á❀☎❇✾➴❆❁❑➴♠❴❇ ❤❂❃✿❀ d 2w1 dz 2 + p(z) dw1 dz + q(z)w1 = 0, d 2w2 dz 2 + p(z) dw2 dz + q(z)w2 = 0. Ò w2(z) ❣ w1(z) ñ❄❅➴♠❴✿❀●❯➱❆●✲❁❒❇ w1 d 2w2 dz 2 − w2 d 2w1 dz 2 + p(z) w1 dw2 dz − w2 dw1 dz = 0, ✂ d dz w1 dw2 dz − w2 dw1 dz + p(z) w1 dw2 dz − w2 dw1 dz = 0. ✾ñ●❁❒ w1 dw2 dz − w2 dw1 dz = A exp − Z z p(ζ)dζ . ♠❈❉➬ w 2 1 ●❊❁➬❒❇ d dz w2 w1 = A w2 1 exp − Z z p(ζ)dζ . (9.3) ❯✾ñ❫❱●Ö❒❇❋ö✼● ❢ ✾
正则奇点邻域 4 例92求 Legendre方程 (1 +l(l+1)y=0 在x=1邻域内的有界解 解因x=1是 Legendre方程的正则奇点,故应设 v(x)=(x-1)∑cn(x-1)y n=0 代入方程,就有 (n+p)2(x-1) 由此可以得到指标方程 p(p-1)+p=0 和递推关系 (n-1)-l(1+1) 指标方程的解是 这说明 Legendre方程在r=1点邻域内的第一解实际上是在圆域|x-1|<2内解析的 当然在x=1点有界;而笫二解则一定含有对数项,以x=1(和x=-1)为枝点,因而 在x=1(和x=-1)点发散.故只需求第一解 由递推关系,可以求出 Legendre方程在x=1点邻域内第一解的系数的通项公式 (+n)( (+n)(+1-m)(+n-1)(l+2-n) )(+n-1)(+2-m)(l (n!)2r(l-n+1)(2 取co=1,就求出了 Legendre方程的第一解 Pl(a) 1r(l+n+1) (n)2r(l-n+1) 称为l次第一类 Legendre函数 如果要继续求第二解,则应设 32(r)=gPi(r)In(r-1)+>dn(a-1)
Wu Chong-shi §9.1 ✡☛÷øùúûü ý☞✏ ✒ 4 ✓ ✟ 9.2 ❘ Legendre ✿❀ 1 − x 2 d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ▲ x = 1 ❖P ◗✼➚❍❇✾ ✵ ❁ x = 1 ❆ Legendre ✿❀✼▼◆✽✺●■✃❏ y(x) = (x − 1)ρ X∞ n=0 cn(x − 1)n . ✣✤✿❀●Ö➚ X∞ n=0 cn (n + ρ)(n + ρ + 1) − l(l + 1) (x − 1)n+1 + 2X∞ n=0 cn(n + ρ) 2 (x − 1)n = 0. ❑▲❁➬❒❇★✩✿❀ ρ(ρ − 1) + ρ = 0 ❣ ÓÔ♣Õ cn = − n(n − 1) − l(l + 1) 2n2 cn−1. ★✩✿❀✼❇❆ ρ1 = ρ2 = 0. ↕➟ ▼ Legendre ❼❽④ x = 1 ◆❖P ◗❷ ❘➝❸ ❙❚⑩❯④ ❱ P |x−1| < 2 ◗❸❲❷● å➁④ x = 1 ◆ ➢❳✄ê ❘❨❸❩➝❬è ➢é➆➩●❭ x = 1(➫ x = −1) ↔❪ ◆ ●➣ê ④ x = 1(➫ x = −1) ◆❫❴✾❵ ❛ë➐ ❘➝❸✾ ❑ÓÔ♣Õ●❁➬❘á Legendre ✿❀▲ x = 1 ✺❖P ◗❀❫❇✼Õt✼✥ ➘❜Û cn = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 cn−1 = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 cn−2 = · · · · · · = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 · · · (l + 1)l 2 · 1 2 c0 = 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1) 1 2 n c0. ❝ c0 = 1 ●Ö❘á☞ Legendre ✿❀✼❀❫❇ Pl(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1) x − 1 2 n , ✆ ❑ l ❱❀❫❞ Legendre ②t✾ ❡❢à❡❢❘❀☎❇●◆✃❏ y2(x) = gPl(x) ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n
1r(+n+1) z6(m2r(-n+1(2 (x-1)+∑dn(x-1)n n=0 按照常微分方程级数解法的标准步骤,定出系数g(一定不为0)和dn即可 更实用的办法是根据第二解与第一解之间的关系,写出 y2(r)= gPl(a) PI(e) gP(a) P()21-52 +gPI(a) ri P()]2 容易判断右端第二项在|x-1<2内解析,因此可以将第二解设为 ()=P()l2++∑(x-1y 取g=1,并定出dn,最后就可以求出 Legendre方程的第二解 Q(x)=-P1(x) +1 2y-2(1+1)+ PFn+(1+5+…+ 1P(l+n+1) 称为l次第二类 Legendre函数,其中?是Elr数,中(2)是函数的对数微商,由于函数P(x)(延 拓到全平面后,它是以x=-1和x=∞为枝点的多值函数)和Q1(x)的多值性已有约定性的规 定,使用时需要特别注意
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 5 ✓ = g X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1) x − 1 2 n ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❣❤s✺ñ✿❀➾ t❇✐✼✩❥❦❧●❵áÕt g(❫❵❈❑ 0) ❣ dn ✂❁✾ ♠✬Ò✼♥✐❆✹❚❀☎❇♦❀❫❇♣q✼♣Õ●rá y2(x) = gPl(x) Z x ( 1 [Pl(ξ)]2 exp "Z ξ 2ζ 1 − ζ 2 dζ #) dξ = gPl(x) Z x 1 [Pl(ξ)]2 dξ 1 − ξ 2 = gPl(x) Z x dξ 1 − ξ 2 + gPl(x) Z x 1 [Pl(ξ)]2 − 1 dξ 1 − ξ 2 , st✌✍✉❈❀☎➘▲ |x − 1| < 2 ◗❇✐●❁▲❁➬✢ ❀☎❇❏❑ y2(x) = g 2 Pl(x) ln x + 1 x − 1 + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❝ g = 1 ●✈❵á dn ●✇✕Ö❁➬❘á Legendre ✿❀✼❀☎❇ Ql(x) = 1 2 Pl(x) ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(l + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1) 1 + 1 2 + · · · + 1 n x − 1 2 n , ✆ ❑ l ❱❀☎❞ Legendre ②t●q r γ ❆ Euler t● ψ(z) ❆ Γ ②t✼✻t✺①✾❑❰②t Pl(x)(② ③❇④⑤ö✕●þ❆➬ x = −1 ❣ x = ∞ ❑■✺✼✇①②t ) ❣ Ql(x) ✼✇①✻ ✼ ➚⑥❵✻✼⑦ ❵●❐Ò❄⑧à⑨❄⑩❶✾