第三讲复变积分 §3.1复变积分 复变积分是复数平面上的线积分.设C是复平面上的曲线,函数f(2)在C上有定义.把曲线 C任意分割为n段,分点为 sn in=B 20=A,21,22 B k是xk-1→2k段上的任意一点,作和数 若当n→∞,使得max|4zk→0时,此和数的极限存在,且 与k的选取无关,则称此极限值为函数f(2)沿曲线C的积 分,记为 f(a)dz f(k)△z max|△zk|→0 个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 f(a)dz=(u+ iv)(dr + idy) iudr+ 因此,如果C是分段光滑曲线,f(z)是C上的连续函数,则复变积分一定存在 复变积分的基本性质 如果积分A0/6… fn(z)dz都存在,则 f1(2)+f2(2)+…+fn(2)dz=/f(a)dz+/f(2)d +/fn(a) 2.若C=C1+C2+…+Cn f(z)dz+/f(a)dz+.+/f(a)dz f(a): 3./f()dz=-/f()dz,其中C-表示C的逆向 4./af(a)d=a/f(2)dz,其中a为常数 5./f(=)ds/f(z)d 6|d5M,其中M为|(在C上的上界,为C的长度
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §3.1 ✏ ✑ ✒ ✓ ✔✕✖✗✘✔✙✚✛✜✢✣✖✗✤✥ C ✘✔✚✛✜✢ ✦✣✧★✙ f(z) ✩ C ✜✪✫✬✤✭ ✦✣ C ✮✯✗✰✱ n ✲ ✧✗✳✱ z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B, ζk ✘ zk−1→zk ✲ ✜✢✮✯✴✳✧✵✶✙ Xn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) = Xn k=1 f(ζk)∆zk, ✷✸ n→∞ ✧✹✺ max |∆zk| → 0 ✻ ✧✼✶✙✢✽✾✿✩ ✧❀ ❁ ζk ✢❂❃❄❅✧❆❇✼✽✾❈✱★✙ f(z) ❉ ✦✣ C ✢✖ ✗✧❊✱ Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk. ❋ 3.1 ✴●✔✕✖✗❍■✜✘❏● ❍✕✣✖✗✢✪❑▲▼ Z C f(z) dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (u dx − v dy) + i Z C (v dx + u dy). ◆✼✧❖P C ✘✗✲◗❘ ✦✣✧ f(z) ✘ C ✜✢❙❚★✙✧❆✔✕✖✗✴ ✫✿✩ ✤ ✔✕✖✗✢❯❱❲❳❨ 1. ❖P✖✗ Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dz ❩ ✿ ✩ ✧❆ Z C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z) dz + Z C f2(z) dz + · · · + Z C fn(z) dz; 2. ✷ C = C1 + C2 + · · · + Cn ✧❆ Z C1 f(z) dz + Z C2 f(z) dz + · · · + Z Cn f(z) dz = Z C f(z) dz; 3. Z C− f(z) dz = − Z C f(z) dz ✧❬ ❭ C − ❪❫ C ✢❴ ❵❛ 4. Z C af(z) dz = a Z C f(z) dz ✧❬ ❭ a ✱❜✙❛ 5. Z C f(z) dz ≤ Z C |f(z)| | dz| ❛ 6. Z C f(z) dz ≤ Ml ✧❬ ❭ M ✱ f(z) ✩ C ✜✢✜❝✧ l ✱ C ✢❞❡✤
显然,复变积分的数值依赖于 ·被积函数 端点位置,即积分的“上下限”, ·积分路径. 对于给定的一个被积函数,当端点固定时,对于不同的积分路径,积分值一般是不同的 例31求/Rezd,C为()沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+i;(i)沿虚轴由 0→i,再平行于实轴i→1+i;(i)沿直线0→1+i 解对于(i), adx+/idy= 对于(i), Re z dz=/adx 对于(i Re zdz=/(1+i)tdt=5(1+i)
Wu Chong-shi §3.1 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 2 ✟ ❢❣✧✔✕✖✗✢✙❈❤✐❥ • ❦ ✖★✙✧ • ❧ ✳♠♥✧♦✖✗✢ ♣✜q✾r✧ • ✖✗st✤ ✉❥✈✫✢✴●❦✖★✙✧✸❧ ✳ ✇✫✻ ✧✉❥①②✢✖✗st✧✖✗❈✴③✘①②✢✤ ④ 3.1 ⑤ Z C Re z dz ✧ C ✱ (i) ❉ ❍⑥ ⑦ 0 → 1 ✧⑧✚⑨❥⑩⑥ 1 → 1 + i ❛ (ii) ❉ ⑩⑥ ⑦ 0 → i ✧⑧✚⑨❥❍⑥ i → 1 + i ❛ (iii) ❉❶✣ 0 → 1 + i ✤ ❷ ✉❥ (i) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx + Z 1 0 i dy = 1 2 + i; ✉❥ (ii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx = 1 2 ; ✉❥ (iii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 (1 + i)t dt = 1 2 (1 + i)
2单连通区域的 Cauchy定理 Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系.与涉及的区域有关 区别两种区域 单连通区域:在区城中作任何简单闭合围道,围道内的点都属于该区域; ·复连通区域,或称多连通区域 图3.2单连通区域与复连通区域 单连通区域的 Cauchy定理如果函数f(2)在单连通区域G中解析,则沿石中任何一个分 段光滑的闭合围道C(见图33)有 f(adz=0 这里的C也可以是G的边界 C 33单连通区域的 Cauchy定理
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 3 ✟ §3.2 ❸❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ Cauchy ✫➀➁➂✢✘✖✗❈❁✖✗st➃➄✢❅➅✤❁➆➇✢➈➉✪❅✤ ➈➊❏➋➈➉❨ • ➌➍➎➏➐ ❨➑ ➒➓ ➔→➣↔ ↕➙ ➛➜ ➝➞✧➝➞ ➟➠➡➢➤➥➦ ➒➓❛ • ➧➍➎➏➐ ✧➨➩ ➫➭➯ ➒➓✤ ❋ 3.2 ➲➳➵➸➺➻➼➳➵➸➺ ➌➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆ ❉ G ❭ ✮➴✴●✗ ✲◗❘✢➷▼ ➬➮ C(➱✃ 3.3) ✪ I C f(z) dz = 0, ❐❒✢ C ❮❰Ï✘ G ✢Ð❝✤ ❋ 3.3 ➲➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ
证为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理.附加的条件是f(z)在石中连续① 在此条件下可以应用 Green公式 P(a, y)dr+Q(a, y)dy )Q aP f(a)dz dz -vdl +i dr+ u 而将上面的闭合围道积分化为面积分 dr -ud drd (U dr +udy ∥(G:2 根据 cauchy- Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0,故有 f(z)dz=0.口 由于Gren公式的要求,这里所说的单连通区域,只能是一个有界区域,即不能是包含∞点 在内的(无界)区域.即使∫(2)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特性:解析函数在它的解析区域內,各 点的函数值是密切相关的 · Cauchy- Riemann方程是这种关联的微分形 · Cauchy定理则是它的积分形式 由 Cauchy定理立即可以得到下面的推论 推论若f(2)在单连通区域可中解析,则复变积分/f(2)dz与路径无关 (解析函数的)不定积分既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关,因此,如果固定 起点20,而令终点z为变点,则作为积分上限的函数, f(a)dz= F(z) 是单连通区域G内的单值函数,称为f(2)的不定积分 定理31如果函数∫(x)在单连通区域G内解析,则 F(a)=f(a)dz ①只要f(2)在G中解析,即f(z)存在,则f"(x)也存在,z∈G,因而f(z)连续,即四个偏导数aa/Or,Ou/oy,ou/Ox 和a/oy连续 见第四讲
Wu Chong-shi §3.2 ÔÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 4 ✟ Ü ✱Ý➪Þ➱✧q✛✩ßà✢áâqã ä❐● ✫➀✤åæ✢áâ✘ f 0 (z) ✩ G ❭❙❚ ç ✤ ✩ ✼áâq❰Ïèé Green êë I C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = Z Z S ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy ❥ I C f(z) dz = I C u dx − v dy + i I C v dx + u dy , ìí✜✛✢➷▼ ➬➮✖✗î✱✛✖✗ I C u dx − v dy = − ZZ S ∂v ∂x + ∂u ∂y dx dy, I C v dx + u dy = ZZ S ∂u ∂x − ∂v ∂y dx dy. ïð Cauchy-Riemann ñò✧ó❧ ❏ ● ✖✗ ❭✢❦ ✖★✙ô✱ 0 ✧õ✪ I C f(z) dz = 0. ⑦❥ Green êë✢ö⑤ ✧❐❒÷ø✢➪ ❙➶➈➉✧ùú✘ ✴●✪❝➈➉✧♦①ú✘ûü ∞ ✳ ✩ ý✢ (❄❝) ➈➉✤ þÿ f(z) ➑ ∞ ➡✁✧✂✄ ∞ ➡☎✆➠✝✞✟✠ ✡☛☞✌ 0 ✤ Cauchy ✫➀✍ ✴●✎ ✛✏✑✒➹➘★✙✢✴●❯❱✓❲❨ ✁✔✕➑✂➠✁ ➒➓ ➟✧✖ ➡➠✔✕✗✘ ✙✚✛ ✜➠✤ • Cauchy-Riemann ñò✘❐➋❅✢✢✣✗✤ ë ✧ • Cauchy ✫➀❆✘✥✢✖✗✤ ë ✤ ⑦ Cauchy ✫➀✦♦ ❰Ï✺✧q✛✢★➂❨ ✩✪ ✷ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆✔✕✖✗ Z C f(z) dz ❁st❄❅✤ (❷✫✬✭➽) ✮➾✯✰ ✱ ❣ ✩➪❙➶➈➉ ❭➹➘★✙✢✖✗❁st❄❅✧◆✼✧❖P ✇✫ Þ ✳ z0 ✧ì✲✳✳ z ✱✕✳✧❆✵✱✖✗✜✾✢★✙✧ Z z z0 f(z) dz = F(z) ✘ ➪ ❙➶➈➉ G ý ✢ ➪ ❈★✙✧❇✱ f(z) ✢①✫✖✗✤ ➾➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ý ➹➘✧❆ F(z) = Z z z0 f(z) dz ç ✴✵ f(z) ✶ G ✷✸✹✺✻ f 0 (z) ✼✶✺✽ f 00(z) ✾✼✶✺ z ∈ G ✺ ✿❀ f 0 (z) ➳❁✺✻❂❃❄❅❆ ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x ❇ ∂v/∂y ➳❁❈ ❉ ✞❂❊
也在G内解析,并且 F()=a/f()d=f( 证只要直接求出F(2)的导数即可 图35 为此,设z是G内一点,2+4z是它的邻点,如图3.5,则 r()= f()d,F(z+4z)= f(sds 因为积分与路径无关,所以 AFF(z+△2)-F(2) f(s). 由此可得 △F f()d-f(2) +△z f(y-f(2】d 1/2+4 由于f(z)是连续的,故对于任给的ε>0,存在δ>0,使当K-2<6时,|f()-f(2)<E,所以 △ f(2)≤ △z 42 即得 lim 4F 2-04z f(2) 这就证明了F(x)在G内可导,并且F(x)=f(x)·口 原函数如果函数更(2)的导数更(2)=f(2),则更(x)称为f(2)的原函数.上面定义的f(x2) 的不定积分就是f(x)的一个原函数.对于给定的一个函数f(2)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果更1(z)与更2(2)都是f(2)的原函数,则 1(2)=f(2),2(2)=f(2)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 5 ✟ ❮✩ G ý ➹➘✧❋❀ F 0 (z) = d dz Z z z0 f(z) dz = f(z). Ü ùö ❶●⑤❍ F(z) ✢■✙♦❰ ✤ ❋ 3.5 ✱✼✧✥ z ✘ G ý✴✳✧ z + ∆z ✘✥✢❏✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧÷Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺ ∆F ∆z − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z f(ζ) − f(z) · dζ . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧õ✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧÷ Ï ∆F ∆z − f(z) ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❑ã ä✒ F(z) ✩ G ý❰■✧❋❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ▲✬✭ ❖P★✙ Φ(z) ✢■✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢▼★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❑✘ f(z) ✢ ✴●▼★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ◆ ø✧▼★✙①✘❖ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ▼★✙➃➄ùP◗✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢▼★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z).