数值分析 - 数值计算的误差

有效数字与相对误差限定理：设近似值x*可表示为x*= ±aj.azanx10m (aj+0),若x*具有n位有效数字，则其相对误差限满足x*-x× 10-(n-1)≤2a1X反之，若XX× 10-(n-1)≤32(aj+1)x则x*至少有n位有效数字。证明：板书有效数字越多，相对误差限越小11

11 有效数字与相对误差限 定理：设近似值x* 可表示为 x* =  a1 .a2···an ···10m (a10)， 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足  2a1  10-(n-1) 反之，若 则 x* 至少有 n 位有效数字。  2(a1+1)  10-(n-1) ⚫ 有效数字越多，相对误差限越小 证明：板书 x x x   − x x x   −

误差估计误差估计：估计误差限或相对误差限简单算术运算的误差估计记ε(x*)为x*的误差限，则有e(x±x)≤e(x)+8(x)8(xx)≤xe(x)+xe(x)+8()e(x)~e()+ie(x2)x21s(xi)+x 1e(x)[x, 1e(x)+/x 1e(x)-Ix,P1x, P12

12 误差估计 ⚫ 误差估计：估计误差限或相对误差限 记  (x*) 为 x* 的误差限，则有 ⚫ 简单算术运算的误差估计    ( x x x x 1 2 1 2 ) ( ) ( )       + 2 1 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 | | | | | | | | . | | | | x x x x x x x x x x x x                    + +    +         ( x x x x x x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )          + + x x x x 2 1 1 2   ( ) ( )      +