6.1.2二元运算及其性质 1.二元运算 的一乙x运算是最常见的代数运算下面是一些常见集合 是(1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算但除法不 拿,3整数集合z上的加法、减法和乘法是Z上的一元运 但除法不是 3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R上的二元运 算,但加法、减法不是. (4)设M(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2),即 (见第110页公式) 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算 (5)S为任意集合,则∪,∩,-,⊕为S的幂集P(S)上的 元运算 6)S为任意集合,S°是S上的所有函数的集合,则合 成运算o是S°上的二元运算
6.1.2 二元运算及其性质 1.二元运算 二元运算是最常见的代数运算.下面是一些常见集合 的二元运算： (1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不 是. (2)整数集合Z上的加法、减法和乘法是Z上的二元运 算，但除法不是. (3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运 算，但加法、减法不是. (4)设Mn (R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)，即 （见第110页公式） 则矩阵加法和乘法都是Mn (R)上的二元运算. (5)S为任意集合,则∪，∩，-， 为S的幂集P(S)上的 二元运算. (6)S为任意集合，S 是S上的所有函数的集合,则合 成运算 o 是S 上的二元运算. s s
6.1.2二元运算及其性质 2.二元运算的性质 定义6.1-5设0为S上的二元运算,如果对任意的 xy∈S都有 Xo y=y oX, 则称运算。在S上是可交换的,或者说o在S上适合交 换律 定义6.1-6设o为S上的二元运算,如果对任意的 xy,z∈S都有 (X o y)o Z=X o y o z) 则称运算。在S上是可结合的,或者说o在S上适合结 合律
6.1.2 二元运算及其性质 2.二元运算的性质 定义6.1-5 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x,y∈S都有 x o y=y o x, 则称运算 o 在S上是可交换的，或者说 o 在S上适合交 换律. 定义6.1-6 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x,y,z∈S都有 (x o y) o z=x o (y o z), 则称运算 o 在S上是可结合的，或者说 o 在S上适合结 合律
6.1.2二元运算及其性质 定义6.1-7设0为S上的二元运算,如果对任意的 X∈S都有 则称运算。适合幂等律,也可以说S中的全体元素都 是幂等元 定义6.1-8设o和*为S上的二元运算,如果对任意的 xy,z∈S都有 X( y o Z =(Xy)o(Xz (y o Z*X(y*Xo(Zx) 则称运算*对0在S上是可分配的,或者说*对在S上 适合分配律
6.1.2 二元运算及其性质 定义6.1-7 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x∈S都有 x o x=x, 则称运算 o 适合幂等律，也可以说S中的全体元素都 是幂等元. 定义6.1-8 设 o 和*为S上的二元运算，如果对任意的 x,y,z∈S都有 x*(y o z)=(x*y) o (x*z), (y o z)*x=(y*x) o (z*x)， 则称运算*对 o 在S上是可分配的，或者说*对 o 在S上 适合分配律
6.1.2二元运算及其性质 定义6.1-9设o和*为S上的两个可交换的二元运算, 如果对任意的Xy∈S都有 X (X y=X, Xo Xy)=X, 则称运算o和*满足吸收律. 例如,在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的
6.1.2 二元运算及其性质 定义6.1-9 设 o 和*为S上的两个可交换的二元运算， 如果对任意的x,y∈S都有 x*(x o y)=x， x o (x*y)=x， 则称运算 o 和*满足吸收律. 例如,在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的
6.1.3代数系统中的特殊元素 给定集合A上的二元运算。,这里集合A可以是单个元 素,如:整数集合乙,其运算为乘法,在乙中存在元素 使得i∈Z*1=;若运算为加法,则在乙中存在元素0,使 入i∈ZH+0=于是,对满足这种特性的元素,应给予 定义 定义6.1-10设o为S上的二元运算,如果存在元素e (或e)∈S使得对任意X∈S,都有 eox=x(或xoe=X) 则称e(或e是S中关于运算的,个左么元(或右么 元)若e∈S关于0既是左么元,又是右幺元,则称e为S上 关于运算。的幺元
6.1.3 代数系统中的特殊元素 给定集合A上的二元运算 o ，这里集合A可以是单个元 素，如：整数集合Z，其运算为乘法，在Z中存在元素1， 使得 i∈Z,i*1=i；若运算为加法,则在Z中存在元素0，使 得 i∈Z,i+0=i.于是，对满足这种特性的元素，应给予一 个定义． 定义6.1-10 设 o 为S上的二元运算,如果存在元素el (或er )∈S使得对任意x∈S, 都有 el o x=x （或x o er=x）, 则称el (或er )是S (或右幺 元).若e∈S关于 o 既是左幺元, 又是右幺元，则称e为S上 关于运算 o 的幺元