偏号数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个,但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下,只考虑函数对其中一个自 变量的变化率,因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题,这就是偏导数概念,对此给出如 下定义
偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义
、偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当固定在v而在处有增量 △x时,相应地函数有增量 f∫(xa+△x,y)-∫(x0,y) 如果im f(x+△,)-f(xnyn2存在,则称 △x→>0 △ 此极限为函数z=f(x,y)在点x,y)处对的 偏导数,记为 Oz af ax x=xo axx ,zx=x或f(x0,y0) y=y =o
定义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 一、偏导数的定义及其计算法
同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y)处对 的偏导数,为 lim f(xo,]o+Ay)-f(xo,yo) △y->0 △ az 记为 X= y 或∫(x0,y0) va=xo yx=xo J=o y=yo y=o 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作 af 或f(x,y) ax ax
同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x
f(x, y)=lim f(x+h,y)-∫(x,y) h->0 同理可以定义函数z=∫(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 az,9,z1或/(x,y) oy f, (x, )=lim/(, +h)-f(, y)
h f x h y f x y f x y h x ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = → 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y . h f x y h f x y f x y h y ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = →
偏导数的求法 由偏导数的定义可知,求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求以时把y视为常数而对x求导 ax 求9f时把x视为常数而对y求导 这仍然是一元函数求导问题
偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 x f 求 时把 x 视为常数而对 y 求导 y f 这仍然是一元函数求导问题