《高等数学》课程教学资源：第八章（8.3）全微分

全微分

全 微 分

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+Ay)-f(x,yAk(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 全增量的概念

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏增量 二元函数 对 x和对 y的偏微分 全增量的概念

如果函数x=∫(x,y)在点(xy)的某邻域内有定义,并设 P(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之 差 f(x+△x,y+Δy)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量Δx,4y的全增量,记为, 即△=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 一般来讲,全增量Δz与Δ,Δy的相依关系是比较复杂的,因此我们希 望能象一元函数的微分那样,用△,Ay的线性函数x+BA来近似表 示,并给出误差估计。由此引出如下定义:

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之 差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增量，记为z ， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 一般来讲，全增量z与x,y的相依关系是比较复杂的，因此我们希 望能象一元函数的微分那样，用x,y的线性函数Ax + By 来近似表 示，并给出误差估计。由此引出如下定义：

全微分的定义 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的全增量 Δ=∫(x+Ax,y+Δy)-∫(x,y)可以表示为 △z=A△x+BAy+0(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关,p=√(△x)2+(△Ay)2 则称函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点x,y)的 全微分,记为,即dz=A△x+B△y 函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续

全微分的定义 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续

事实上 △z=AAx+B△y+0(P) lim△z=0, 0 limf(x+△x,y+△y) △x→>0 △y→>0 =limf(x,y)+△x] 0 =∫(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 可微的条件

事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续. 二、可微的条件