分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上,得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法分部 积分法,它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
、基本内容 问题∫xe= 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数u=(x)和v=v(x)具有连续导数, (uv)=u'v+uv, uv=uv)-u'v Jmy=m-Jnhn,∫aoh=m-j 分部积分公式
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
注分部积分公式的特点:等式两边LP互换位置 分部积分公式的作用:当左边的积分∫4dh 不易求得,而右边的积分jwm容易求得 利用分部积分公式—化难为易 例1求积分xc0sx 解(一)令u=cosx,xx=dx2=h xcos xdx =coSx+I-sinxdx 2 显然,L,v选择不当,积分更难进行
注分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置 分部积分公式的作用：当左边的积分 udv 不易求得，而右边的积分 vdu 容易求得 利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然，u,v选择不当，积分更难进行
解(二)令u=x,c0sxb= d sinx=bhv xcos x=xdsinx=xsinx- sin xx =sinx+cosx +C 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,y 般来说,L,ν选取的原则是 (1)积分容易者选为v (2)求导简单者选为u 分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分 之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分
解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： （1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分
例2求积分x2ex 解=x2,e=de=lv, x edx=xet xe a (再次使用分部积分法)l=x,e=b x'e-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)