换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的 方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应 的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后, 把换元法分成第一类换元和第二类换元
换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元
、第一类换元法 问题Jcos2 xdx sin2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→d=l 2 cos 2xdx==cos tds 7 sint+C=sin 2x+c 2 2 sin2x+C=c0s2x说明结果正确 2
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法 sin 2x C] cos 2x 2 1 [ + = 说明结果正确
将上例的解法一般化: 设F'()=f(a,则「f(u)d=F(u)+C. 如果u=g(x)(可微) dF|q(x)=∫|y(x)(x)x ∫f(x)p(x)d=Flo(x)+C 将上述作法总结成定理,使之合法化,可得 换元法积分公式
将上例的解法一般化： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 ——换元法积分公式
定理1设f(u)具有原函数,l=p(x)可导, 则有换元公式 ∫(x)p(x)d=叮Jf(a)bhls 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 ∫g(x)化为qx)(x)d 观察重点不同,所得结论不同
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
注①定理说明:若已知∫f()dm=F()+C 则||p(x)(x)x=F|(x)+C 因此该定理的意义就在于把 ∫/(a)dm=F(m)+C中的a换成另一个 x的可微函数φ(x)后,式子仍成立 又称为积分的形式不变性 这样一来,可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 ②由定理可见,虽然∫1x)p(x) 是一整体记号,但可把视为自变量微分 →p(x)x=lyp(x) 凑微分
注 ① 定理说明：若已知 f (u)du = F(u) + C 则 f x x dx = F x + C [( )] ( ) [( )] 因此该定理的意义就在于把 f (u)du = F(u) + C 中的 u 换成另一个 x 的可微函数 (x) 后，式子仍成立 ——又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 dx ②由定理可见，虽然 f[(x)](x)dx 是一整体记号，但可把 视为自变量微分 (x)dx = d(x) ——凑微分