例2函数z=√x2+y2在点(0,0)处取极小值 进行分析 上半空间中的圆雏面 函数z=√x2+y2在点(0,0)处偏导数不存在 固定y=0(x=0),发现相应的一元函数z=|x (z=|y1)在x=0(y=0)处取极值 将以上对两例的分析与极值的定义 综合起来,你能得出什么样的结论?
函数 2 2 例 z = x + y 在点 (0,0) 处取极小值. 2 进行分析： 上半空间中的圆锥面 函数 2 2 z = x + y 在点 (0,0) 处偏导数不存在. 固定 y = 0 (x = 0), 发现相应的一元函数 z =| x | (z =| y |) 在 x = 0 (y = 0) 处取极值. 将以上对两例的分析与极值的定义 综合起来, 你能得出什么样的结论？
得出结论没有? 如果点X是函数的极值点则在过X的任何 一条曲线上点X将仍是函数的极值点
得出结论没有？ 如果点X0 是函数的极值点,则在过X0 的任何 一条曲线上,点X0 将仍是函数的极值点
先以二元函数为例.叙述结果.然后将它 推广到一般的n元函数 若X0(x0,y)是函数f(x,y)的极值点,则 x是一元函数f(x,y)的极值点 y是一元函数f(x0,y)的极值点, 但函数f(x,y)在极值点X(x0,y0)处偏导数可 能存在,也可能不存在,故可得到结论: 如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零 使偏导数不存在的点也可能是函数的极值点
若 ( , ) 0 0 0 X x y 是函数 f (x, y) 的极值点, 则 0 x 是一元函数 ( , )0 f x y 的极值点; 0 y 是一元函数 ( , ) 0 f x y 的极值点, 能存在, 也可能不存在, 故可得到结论: 但函数 f (x, y) 在极值点 ( , ) 0 0 0 X x y 处偏导数可 如果偏导数存在, 则极值点处的偏导数必为零. 使偏导数不存在的点, 也可能是函数的极值点. 先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它 推广到一般的n 元函数
定理(二元可导函数取极值的必要条件) 若2=f(x,y)在点(x,y)具有偏导数,且在 (x0,y0)处取极值,则必有 Qf(xy0)=0, of (xo,yo) 0 证不妨设∫(x,y)在点(x0,0)处取极大值,则 f(, y)<f(o, yo) (X,y)EU(xo, yo) 故f(x,y)<f(x,y)(x,y)∈U(x2y) f(o, y)<f(xo, yo) (xo,D)EU((Xo,yo))
定理 (二元可导函数取极值的必要条件) 证 若 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在 (x0 , y0 ) 处取极值, 则必有 0. ( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 = = y f x y x f x y ( , ) ( , ) , 不妨设 f x y 在点 x0 y0 处取极大值 则 ( , ) ( , ) ( , ) U(( , )) 0 0 0 0 f x y f x y x y x y 故 ( , ) ( , ) ( , ) U(( , )) 0 0 0 0 0 0 f x y f x y x y x y ( , ) ( , ) ( , ) U(( , )) 0 0 0 0 0 0 f x y f x y x y x y
即一元函数z=f(x,y)和z=f(x0,y) 在点(x0,y)处取极大值和极小值 由一元函数取极值的必要条件.得 d f(x, yo) 0 df(xo, y) 0 dx X=x 0 f(x0,y=Q,f(x0,1) 0 ax 该结论还可写为 grad f(xo,y0)=0, ok Vf(xo, y0)=0, Jf(0, 10)=0
由一元函数取极值的必要条件, 得 即 即 一元函数 ( , ) ( , ) 0 0 z = f x y 和z = f x y ( , ) . 在点 x0 y0 处取极大值和极小值 0. d d ( , ) 0, d d ( , ) 0 0 0 0 = = = = y y y f x y x x x f x y 0. ( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 = = y f x y x f x y ( , ) 0, ( , ) 0. grad ( , ) 0, 0 0 0 0 0 0 = = = f x y Jf x y f x y 或 该结论还可写为