多元函数的极值 极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它 是一种简单的优化问题 无约束极值 多元函数的极值 变拉 量‖格 替 日 法乘 数 法 有约束极值
极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴, 它 是一种简单的优化问题. 多 元 函 数 的 极 值 无约束极值 有约束极值 变 量 替 代 法 拉 格 朗 日 乘 数 法 多元函数的极值
无约束极值 无约東极值的形式 目标函数:=f(X),X∈!cR" 表现形式:maxf(X)X∈g mif(X)X∈g2
无约束极值的形式 目标函数： n u = f (X) , X R 表现形式： max f (X) X min f (X) X 一 . 无约束极值
极大值和极小值的定义 设=f(X)在U(X0)cR"内有定义 若X∈U(X0),总有 f(X)<f(X0)(f(X)>f(X0) 则称f(X)为函数f(X)的极大值(极小值 A0称为函数的极大点(极小点) 函数的极大值和极小值统称为函数的极值
极大值和极小值的定义 设 u = f (X ) 在 n U(X0 ) R 内有定义. 若 U( ), ˆ X X0 总有 ( ) ( ) X0 f X f ( ( ) ( )) X0 f X f 则称 ( ) X0 f 为函数 f (X ) 的极大值(极小值). X0 称为函数的极大点(极小点). 函数的极大值和极小值统称为函数的极值
例1函数z=1-x2-y2在点(0,0)处取极大值 2 例2函数z=√x2+y2在点(O,0)处取极小值 现在对已有的结果进行分析 看能否得到一点什么
例1 函数 2 2 z = 1− x − y 在点 (0,0) 处取极大值. 函数 2 2 例2 z = x + y 在点 (0,0) 处取极小值. 现在对已有的结果进行分析, 看能否得到一点什么
例1函数z=√1-x2-y2在点(0,0)处取极大值 进行分析: 上半单位球面 函数z=√1-x2(即固定y=0)在点x=0处 取极大值,由一元函数取极值的必要紊件.有 ax10.0)=0 2 类似地.函数z y(即固定x=0)在点y=0处 取极大值,由一元函数取极值的必要条件.有 2 (0,0) 0
例1 函数 2 2 z = 1− x − y 在点 (0,0) 处取极大值. 进行分析： 函数 2 z = 1− x (即固定 y = 0) 在点 x = 0 处 取极大值, 由一元函数取极值的必要条件, 有 (0,0) = 0 x z 取极大值, 由一元函数取极值的必要条件, 有 类似地, 函数 z = 1− y 2 (即固定 x = 0) 在点 y = 0 处 (0,0) = 0 y z 上半单位球面