下面看看函数极值的几何意义 设函数f(x,y)在点(x0,y)处可微且取 极值,则相应的曲面2=f(x,y)在点(xy) 处的切平面方程为 f(x0,y0(x-x)+fy(x。,y(y-y)-(z-20)=0 由可微函数取极值的必要条件: f(x3y)=f(x,y)=0 故切平面方程实际为一1 此时,切平面平行于x平面
处的切平面方程为 f x (x0 , y0 )(x − x0 ) + f y (x0 , y0 )( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 由可微函数取极值的必要条件： f x (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0 此时, 切平面平行于xy 平面. 设函数 在点 ( , ) 0 0 f (x, y) x y 处可微且取 极值, 则相应的曲面 在点 ( , ) 0 0 z = f (x, y) x y 下面看看函数极值的几何意义 故切平面方程实际为 . 0 z = z
定理(mn元可导函数取极值的必要条件) 若=f(X)在点具有偏导数,且在 0 处取极值,则必有 f(x0) 0(i=1,2,…,n) ax 证不妨设f(X)在点Y处取极大值,则 f(X)<f(X0),VX∈U(X0) 其中,X=(x, x;12x;,x2 0≤/y0 0 00 13ii+1 记 0 0 9"n
定理 (n 元可导函数取极值的必要条件) 若 u = f (X ) 在点 X0 具有偏导数, 且在 X0 处取极值, 则必有 0 ( ) 0 = i x f X (i =1,2, ,n). 证 不妨设 f (X ) 在点 X0 处取极大值, 则 ( ) ( ), U( ) X0 X X0 f X f 其中, ( , , , , , ) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 i i i n X x x x x x = − + ( , , , , , ) 0 0 1 0 1 0 i 1 i i i n X x x x x x = − + ( , , , , , ) 1 i 1 i i 1 n X x x x x x = − + 记
X∈UX0),则 f(X1)<f(X0)(i=1,2,…,n) 即一元函数=f(X)在点x=X处取极大值 由一元函数取极值的必要紊件.得 d f(x 0 dx 即P a(X0) 0(i=1,2,…,n) O 该结论还可写为 J(X0)=0,Vf(X0)=0, grad f(X0)=0
U( ), Xi X0 则 ( ) ( ) X0 f X f i (i =1,2, ,n) 即一元函数 ( ) Xi u = f 在点 0 i i x = x 处取极大值. 由一元函数取极值的必要条件, 得 0 d d ( ) 0 = i = i x x i i x f X 即 0 ( ) 0 = i x f X (i =1,2, ,n) 该结论还可写为 ( ) 0, Jf X0 = ( ) 0, f X0 = grad ( ) 0. f X0 =
使函数u=f(X)的一阶偏导数全为 零的点Ⅹ称为函数的驻点 函数的驻点以及使函数的一阶偏导数 不存在的点。称为函数的极值可疑点 函数在其极值可疑点处.可能取极值 也可能不取极值 这就产生了一个问题如何判断函数在 极值可疑点处是否取极值
函数的驻点以及使函数的一阶偏导数 不存在的点, 称为函数的极值可疑点. 函数在其极值可疑点处, 可能取极值, 也可能不取极值. 使函数 u = f (X ) 零的点 X0 称为函数的驻点. 的一阶偏导数全为 这就产生了一个问题: 如何判断函数在 极值可疑点处是否取极值
我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果 设z=f(x,y)∈C(U(x0,y), grad f(x,yo)=0, ay dz=f(o, yo)dx+f(ro,yo)dy=0 故由微分形式的泰勒公式.得 f(x, y)-f(o, yo)=d f(xo, yo)+od f(o, yo)+r2 f a-f axOy△ (△x,△y) +r 2! f af(4 Vax 2
我们首先进行分析、讨论, 然后再归纳出结果. 则 d ( , )d ( , )d 0 z = f x x0 y0 x + f y x0 y0 y = 故由微分形式的泰勒公式, 得 ( , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 2! 1 x y y f y x f x y f x f x y = + R2 y x ( , ) (U( , )), grad ( , ) 0, 0 0 0 0 2 设 z = f x y C x y f x y = 0 0 2 2 0 0 0 0 d ( , ) 2! 1 f (x, y) − f (x , y ) = d f (x , y ) + f x y + R