绪论中曾指出：从理论上来解释固体的性质并不是一件容 易的事情，因为任何宏观固体都是由很多原子组成的（典型值 是10231c3个原子)，而每个原子又是由原子核和众多电子组 成的，所以既便今天我们已经掌握了微观粒子的运动规律，又 有了大型计算机的帮助，但对这样一个复杂的多体问题也仍然 是无法完整求解的，所以我们只能通过各种合理的近似去接近 真实的情况，成功的固体理论都是合理近似的结果。 自由电子模型是固体理论的最早尝试，一个非常简单的模 型竟然给出了成功地出乎意料的一系列结果，它改变了我们对 固体的认识，也指出了在理论上逐步逼近真实情况的可能途径。 这一理论的成功提示我们：只有抓住相关问题物理过程的本 质，才能作出最恰当的近似，常常非常简单的模型也可以解释 复杂现象
绪论中曾指出：从理论上来解释固体的性质并不是一件容 易的事情，因为任何宏观固体都是由很多原子组成的（典型值 是 1023/cm 3个原子），而每个原子又是由原子核和众多电子组 成的，所以既便今天我们已经掌握了微观粒子的运动规律，又 有了大型计算机的帮助，但对这样一个复杂的多体问题也仍然 是无法完整求解的，所以我们只能通过各种合理的近似去接近 真实的情况，成功的固体理论都是合理近似的结果。 自由电子模型是固体理论的最早尝试，一个非常简单的模 型竟然给出了成功地出乎意料的一系列结果，它改变了我们对 固体的认识，也指出了在理论上逐步逼近真实情况的可能途径 。 这一理论的成功提示我们：只有抓住相关问题物理过程的本 质，才能作出最恰当的近似，常常非常简单的模型也可以解释 复杂现象
1897年Thomson发现电子，1900年Drude就大胆地将 当时已经很成功的气体分子运动论用于金属，提出用自由电 子气模型来解释金属的导电性质，他假定：金属晶体内的价 电子可以自由运动，它们在晶体内的行为宛如理想气体中的 粒子，故称作自由电子模型，以此模型可以解释欧姆定律。 几年之后Lorentz又假定自由电子的运动速度服从Maxwell- Boltzman分布，由此解释了Wiedemann-Franz定律。 这些成功使自由电子模型得到承认。虽然之后发现经典 模型并不能解释金属比热、顺磁磁化率等多种金属性质，不 过这些困难并不是自由电子模型本身造成的，而是采用经典 气体近似所造成的，改用量子理论矫正自由电子的行为后， 上述困难得到了圆满解决，因此自由电子模型成为固体理论 研究一个成功尝试，是理解金属、特别是简单金属物理性质 的有力工具。它对于固体理论的发展具有很多的启示意义， 我们回顾一下这个发展过程对我们理解固体理论的特点是有 帮助的
1897 年Thomson发现电子，1900 年Drude 就大胆地将 当时已经很成功的气体分子运动论用于金属，提出用自由电 子气模型来解释金属的导电性质，他假定：金属晶体内的价 电子可以自由运动，它们在晶体内的行为宛如理想气体中的 粒子，故称作自由电子模型，以此模型可以解释欧姆定律 。 几年之后 Lorentz 又假定自由电子的运动速度服从 MaxwellBoltzman分布， 由此解释了 Wiedemann-Franz 定律 。 这些成功使自由电子模型得到承认。虽然之后发现经典 模型并不能解释金属比热、顺磁磁化率等多种金属性质，不 过这些困难并不是自由电子模型本身造成的，而是采用经典 气体近似所造成的，改用量子理论矫正自由电子的行为后， 上述困难得到了圆满解决，因此自由电子模型成为固体理论 研究一个成功尝试，是理解金属、特别是简单金属物理性质 的有力工具。它对于固体理论的发展具有很多的启示意义， 我们回顾一下这个发展过程对我们理解固体理论的特点是有 帮助的
Drude模型把金属简单地看成是由自由电子组成的理想气体， 因此可以套用处理理想气体的方法来处理金属的各种特性。 Drude Model中的唯一的参量：电子密度（浓度） n=N,×Z2=6.022×102×2D A 其中Na是Avogadro常数，Z是每个原子贡献的价电子数目， Pm是金属的质量密度(kgm3)，A是元素的原子量。 我们要注意到：对于金属，n的典型值为109m3。这个值 要比理想气体的密度高上千倍。如果将每个电子平均占据的 体积等效成球体，其等效球半径： /3 1 4πr ~10-10m n 4πn 如此高浓度的电子，仍然可以以自由粒子运动的方式来描 述，是量子力学出现后才得到解释的
· Drude 模型把金属简单地看成是由自由电子组成的理想气体， 因此可以套用处理理想气体的方法来处理金属的各种特性。 · Drude Model 中的唯一的参量：电子密度（浓度） 1/3 3 10 10 m 4 s r πn ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∼ 23 6.022 10 m m A Z Z n N A A ρ ρ =× = × × 其中 NA是Avogadro常数，Z是每个原子贡献的价电子数目， ρm 是金属的质量密度（kg/m3），A 是元素的原子量。 我们要注意到：对于金属，n 的典型值为1029/m3。这个值 要比理想气体的密度高上千倍。如果将每个电子平均占据的 体积等效成球体，其等效球半径 ： 如此高浓度的电子，仍然可以以自由粒子运动的方式来描 述，是量子力学出现后才得到解释的。 1 4 3 3 s r n = π
补充知识：微观粒子尺寸习惯上常用玻尔半径(Bohr radius)做单位： a0= 4re=0.529×10"m=-0.0529nm me2 大多数金属自由电子的r/a,在2和3之间， 碱金属自由电子的r/a,在3到6之间。 例如Cu的n=8.47×1028m3 上=2.67,5=0.141nm1 ~1.4A a。 注意：广、不是电子自身大小！是它在晶体中可以占有的 平均空间。那么密集的电子依然有高度的自由，从 经典观点看是难以理解的
补充知识：微观粒子尺寸习惯上常用玻尔半径（Bohr radius）做单位： 2 0 10 0 2 4 a 0.529 10 m=0.0529nm me πε − = =× = 大多数金属自由电子的 在 2 和 3 之间， 碱金属自由电子的 在 3 到 6 之间。 例如Cu的 0 / sr a s 2.67, 0.141nm s o r r a = = 28 3 n 8.47 10 m− = × ～1.4 Å 0 / sr a 注意： 不是电子自身大小！是它在晶体中可以占有的 平均空间。那么密集的电子依然有高度的自由，从 经典观点看是难以理解的。 s r
简单金属Na的晶体模型图： 图1钠金属晶体模型示意图。原子实为 Na+,它们浸没在传导电子海中。传导电子来源 于自由原子中的3s价电子。原子实有10个电 子，它们的组态为1s22s22p5。在碱金属中，原 子实只占晶体总体积中较小的一部分：（约 15%)》 但在贵金属(Cu、Ag、Au)中原子实相 对较大，以至于可能相互接触。在室温下常见的 晶体结构：碱金属为体心立方，贵金属为面心 立方。 Cu:fcc a=3.61 金属Na:bcc点阵a=4.225×1010m, 金属中r=1.28 自由Na+离子的半径为：0.98×1010m; 离子实占体积的75% 因此离子实仅占晶体体积的10.5%。 数据取自Kittel书 这里和Kittel8版p97计算不同。 4 哪里有电子的自由？！ (0.98)3 ≥15% 所以当时是大胆假设 =10.5% (1.83)
简单金属Na的晶体模型图： 金属Na：bcc 点阵 a＝4.225×10-10m， 自由Na+离子的半径为：0.98×10-10m; 因此离子实仅占晶体体积的10.5%。 这里和Kittel 8版p97计算不同。 3 3 4 2 3 10.5% r a × π = Cu：fcc a = 3.61 r = 1.28 75% 哪里有电子的自由?! 所以当时是大胆假设 离子实占体积的 数据取自Kittel书 金属中 ( ) ( ) 3 3 0.98 15% 1.83