可以证明,在样本足够大时,LM统计量渐进等价于: LM≈7f2(z°z")z°° 如果作f0关于z的回归: f=z+v 可以推出该回归模型的可决系数等于 R=TI2(22)2 从而有 LM=T·R2~x2(q) 由此可见,拉格朗日乘数统计量LM的值通过一个辅助回归来计算。具体步 骤如下: 第一步:用0LS方法估计约束模型,即在原假设H0:a1=a2=…=an=0下 对模型的参数进行估计 第二步:计算残差序列}和残差平方序列回2}。由残差平方序列},作 残差平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归,即估计如下模型 i2=a0+a1l21+a2l2+…+anl2 (1.1.13) 计算可决系数R 第三步:计算拉格朗日乘数统计量LM的值.拉格朗日乘数统计量LM渐近 等于: 如果没有ARCH效应,a1到a应全为零。由于可决系数(即通常的R2)相 当低,故这种回归缺乏解释力 对于样本容量为T的残差序列,在零假设(不存在ARCH误差)成立的条件 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
6 ¢ ú û ù ê ë é = - - -1) ˆ 1), ,( ˆ 1), ( ˆ ( 0 2 0 2 2 0 2 0 1 h u h u h u f L T 可以证明，在样本足够大时，LM 统计量渐进等价于： 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ( ) f f f Z Z Z Z f LM T ¢ ¢ ¢ ¢ » - 如果作 0 f 关于 0 Z 的回归： f = Z p +V 0 0 可以推出该回归模型的可决系数等于： 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 ( ) f f f Z Z Z Z f R T ¢ ¢ ¢ ¢ = - 从而有： 2 LM = T × R ~ ( ) 2 c q 由此可见，拉格朗日乘数统计量 LM 的值通过一个辅助回归来计算。具体步 骤如下： 第一步：用 OLS 方法估计约束模型，即在原假设 H0 :a1 =a2 = L = aq = 0 下 对模型的参数进行估计。 第二步：计算残差序列{uˆ t}和残差平方序列{ } 2 ˆ t u 。由残差平方序列{ } 2 ˆ t u ，作 残差平方关于常数和自身直到 q 阶滞后项的回归，即估计如下模型： 2 2 2 2 2 0 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ t t t q t q u u u u = a + a - + a - + L + a - (1.1.13） 计算可决系数 2 R ． 第三步：计算拉格朗日乘数统计量 LM 的值．拉格朗日乘数统计量 LM 渐近 等于： LM= 2 T × R 如果没有 ARCH 效应，a1到aq应全为零。由于可决系数（即通常的 2 R ）相 当低，故这种回归缺乏解释力。 对于样本容量为 T 的残差序列，在零假设（不存在 ARCH 误差）成立的条件 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
下,检验统计量TR2收敛到自由度为q的x2分布。因此,如果TR2足够大(大于 临界值),就拒绝αx1到α同时为零的原假设,这等价于拒绝不存在ARCH误差的 原假设。相反,如果TR2足够小,则接受原假设,认为不存在ARCH效应 、ARCH类模型的其他形式 (一) ARCHeM模型 前面讨论的ARCH模型和 GARCH模型,都是针对模型中的扰动项序列而言 的,扰动项序列的条件方差与被解释变量y,的条件期望无关。但在实际应用中, 条件方差的变化有时会直接影响被解释变量条件期望的值。例如,在考虑风险与 投资回报之间的关系时,由于投资者是依据当前信息而持有证券,当风险(条件 方差)增大时,投资者要求的风险补偿也就大,因此,条件方差的变化会影响收 益率条件期望的变化。基于遇这种认识, Engle、 Lilien和 Robins(1987)在ARCH 模型的基础上,建立了 ARCH-M模型来分析时变风险的收益补偿。 ARCH--M模型 的一般形式为 y1=g(X15,h1)+u1 u12~N(0,h) 其中,g(X25’h,)是解释变量向量X、回归参数向量ξ以及条件方差h的函数, 它等于被解释变量y的条件期望。在具体应用中,常用的 ARCH-M模型一般设 定为如下形式: y1=X5+f(h,)+1 (1.2.2) 4|921~N(0,h) f(h1)是条件方差h的单调函数,一般取f(h,)=Vh或f(h)=hn(h)。条件方差h 取ARCH或 GARCH形式,当h取ARCH结构 h,=a0+a1-1+…+aq41-q 时,称模型为 ARCH--M模型。当h取 GARCH结构 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
7 下，检验统计量 2 TR 收敛到自由度为 q 的 2 c 分布。因此，如果 2 TR 足够大（大于 临界值），就拒绝a1到aq同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在 ARCH 误差的 原假设。相反，如果 2 TR 足够小，则接受原假设，认为不存在 ARCH 效应。 二、 ARCH 类模型的其他形式 (一) ARCH—M 模型 前面讨论的 ARCH 模型和 GARCH 模型，都是针对模型中的扰动项序列而言 的，扰动项序列的条件方差与被解释变量 t y 的条件期望无关。但在实际应用中， 条件方差的变化有时会直接影响被解释变量条件期望的值。例如，在考虑风险与 投资回报之间的关系时，由于投资者是依据当前信息而持有证券，当风险（条件 方差）增大时，投资者要求的风险补偿也就大，因此，条件方差的变化会影响收 益率条件期望的变化。基于遇这种认识，Engle、Lilien 和 Robins(1987)在 ARCH 模型的基础上，建立了 ARCH—M 模型来分析时变风险的收益补偿。ARCH—M 模型 的一般形式为： t g X t ht ut y = ( , , ) + ' x (1.2.1) ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht 其中， ( , , ) ' t t g X x ¢ h 是解释变量向量 X、回归参数向量x 以及条件方差 t h 的函数， 它等于被解释变量 t y 的条件期望。在具体应用中，常用的 ARCH—M 模型一般设 定为如下形式： t t ht ut y = X + f ( ) + ' x d (1.2.2) ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht ( ) t f h 是条件方差 t h 的单调函数，一般取 ( ) t f h = ht 或 ( ) t f h =ln( ) t h 。条件方差 t h 取 ARCH 或 GARCH 形式，当 t h 取 ARCH 结构 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L +a - 时，称模型为 ARCH—M 模型。当ht 取 GARCH 结构 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
4u2+∑Bh 时,称模型为 GARCH-M模型。 (二)指数 GARCH模型( EGARCH) 讨论ARCH模型的非对称性是ARCH模型建模过程的一项重要内容 用Ω21表示至t-1期与所有相关变量有关的信息集,当金融市场除了Ω1没有 其他信息对金融回报的预期起作用时称市场为有效市场。u对Ω21来说是最新的 信息。正的导致金融价格非预期增加,称为利好消息;反之,负的导致金 融价格非预期减少,称为利坏消息。 对于ARCH模型,一个单位的利好新息冲击和一个单位的利坏新息冲击对 波动的影响是一样的。但实际上利好、利坏新息冲击对金融市场波动的影响是不 样的。相同单位的利坏新息冲击对波动的影响常常要比利好新息冲击来的大 新息对金融市场波动的这种非对称性影响成为杠杆效应。当利坏新息使t期的资 产价格下降,从而减少了投资于新企业的资本,使债务一资本比上升,导致公司 预期回报的方差风险增加。另外,非对称性还对资产回报、证券市场回报协方差 与证券市场回报方差之比产生重大影响。因此,重新设定ARCH模型使之能描 述波动的非对称性是非常必要的。 尽管 GARCH模型是处理实际金融数据的常用模型,但是此类模型也有不足之 处。一是模型对系数参数的非负约束;二是外部冲击对条件方差的影响程度只取 决于外部冲击的绝对值大小,而与冲击的符号无关。而在现实的金融市场特别是 股票市场上,往往出现这种情况,价格波动受负外部冲击的影响比同等幅度的正 外部冲击要大,正负冲击反映具有非对称性,即所谓的“杠杆效应”。为此, Nelson (1991)引入指数 GARCH模型(简称 EGARCH)来处理正负冲击反应的非对称性 比较有效,具有一定代表性。 EGARCH模型与ARCH模型的区别主要体现在条件方 差的结构上, EGARCH(p,q)模型条件方差的形式为: In h g(-)+∑B 其中,g(c)=E,+(1,|-ED,E,=B,/Vh,。因为等式左侧是h的对数 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
8 t i p i t i i q i t i h a u h - = - = = + å + å1 2 1 0 a b 时，称模型为 GARCH—M 模型。 (二)指数 GARCH 模型（EGARCH）。 讨论 ARCH 模型的非对称性是 ARCH 模型建模过程的一项重要内容。 用Wt-1 表示至 t-1 期与所有相关变量有关的信息集，当金融市场除了Wt-1没有 其他信息对金融回报的预期起作用时称市场为有效市场。ut 对Wt-1 来说是最新的 信息。正的 ut 导致金融价格非预期增加，称为利好消息；反之，负的 ut 导致金 融价格非预期减少，称为利坏消息。 对于 ARCH 模型，一个单位的利好新息冲击和一个单位的利坏新息冲击对 波动的影响是一样的。但实际上利好、利坏新息冲击对金融市场波动的影响是不 一样的。相同单位的利坏新息冲击对波动的影响常常要比利好新息冲击来的大。 新息对金融市场波动的这种非对称性影响成为杠杆效应。当利坏新息使 t 期的资 产价格下降，从而减少了投资于新企业的资本，使债务¾资本比上升，导致公司 预期回报的方差风险增加。另外，非对称性还对资产回报、证券市场回报协方差 与证券市场回报方差之比产生重大影响。因此，重新设定 ARCH 模型使之能描 述波动的非对称性是非常必要的。 尽管 GARCH 模型是处理实际金融数据的常用模型，但是此类模型也有不足之 处。一是模型对系数参数的非负约束；二是外部冲击对条件方差的影响程度只取 决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的符号无关。而在现实的金融市场特别是 股票市场上，往往出现这种情况，价格波动受负外部冲击的影响比同等幅度的正 外部冲击要大，正负冲击反映具有非对称性，即所谓的“杠杆效应”。为此，Nelson （1991）引入指数 GARCH 模型（简称 EGARCH）来处理正负冲击反应的非对称性， 比较有效，具有一定代表性。EGARCH 模型与 ARCH 模型的区别主要体现在条件方 差的结构上，EGARCH（p,q）模型条件方差的形式为： å å= - = = + - + p i i t i q i t i t i h g h 1 1 0 ln a a (e ) b ln (1.2.3) 其中， t t t t t t t g(e ) = fe + g ( e - E e ) , e = u / h 。因为等式左侧是 ht的对数， PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
所以无论等式右侧是正是负,作为其反对数,ln(h,)总是正的。这样就避免了ARCH 模型对系数参数的非负约束。由于模型没有对系数参数施加任何约束,模型更像 个关于lnh,的无约束ARMA(p,q)模型,从而使得模型参数的估计更容易。 模型中参数γ刻画了过去冲击不同幅度对当前条件方差的影响;参数φ刻画 了过去冲击不同符号对当前条件方差的影响,如果α,φ<0,那么当外部冲击E 为负时,条件方差将趋向于增加,而当外部冲击E为正时,条件方差将趋向于 减小;通过这种方式刻画了正负冲击影响的非对称性。 为了解释怎样把对称性引入模型,取q=1,p=0。上述模型变为 nh,=∝o+a1pE-1+a1y(F EE, p 正新息表示“利好”,负新息表示“利坏”。虽然正新息和负新息的绝对值相同 但 EGARCH模型可以区别正、负新息对波动的不同影响。 下面举例说明正、负新息对条件方差的不同影响。 在码服从正态分布的假定下,H=E) 0.798(参见陆懋组314页), 令a=0,a1φ=0.4,axy=0.2。标准新息E=土1。 Ln(h)=ao+044×1+0.2×(1-0.798)=04404 当E=-1时 Ln(h)=a+04×(-1)+0.2×(-1|-0.798)=-03596 现在令Cφ=-04,ay=0.2。标准新息E=±1。与前面相比只改变了anφ的符 号,其他值不变。 当E=1时 Lnh)=a0-04×1+0.2×(1-0.798)=-03596 当E=-1时, Ln(h)=ao-0.4×(-1)+0.2×(-1|-0.798)=04404 这时负的新息有较大影响。可见aφ是一个重要参数,它可以改变利好和利坏消 息的作用大小。当aφ=0时,利好和利坏消息的作用无差别 注:ARCH模型的非对称性 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
9 所以无论等式右侧是正是负，作为其反对数，ln( ) ht 总是正的。这样就避免了 ARCH 模型对系数参数的非负约束。由于模型没有对系数参数施加任何约束，模型更像 一个关于 t ln h 的无约束 ARMA（p,q）模型，从而使得模型参数的估计更容易。 模型中参数g 刻画了过去冲击不同幅度对当前条件方差的影响；参数f 刻画 了过去冲击不同符号对当前条件方差的影响，如果aif < 0 ，那么当外部冲击 t-i e 为负时，条件方差将趋向于增加，而当外部冲击 t-i e 为正时，条件方差将趋向于 减小；通过这种方式刻画了正负冲击影响的非对称性。 为了解释怎样把对称性引入模型，取 q = 1, p = 0。上述模型变为 ln ( ) ht 0 1 t 1 1 t E t = a +a fe +a g e - e - 正新息表示“利好”，负新息表示“利坏”。虽然正新息和负新息的绝对值相同， 但 EGARCH 模型可以区别正、负新息对波动的不同影响。 下面举例说明正、负新息对条件方差的不同影响。 在et 服从正态分布的假定下，m = E( ) t e = 0.5 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ p = 0.798（参见陆懋组 314 页）， 令a0 = 0，a1 f= 0.4，a1g = 0.2。标准新息et= ±1。 当et= 1 时， Ln(ht) = a0 + 0.4 ´ 1 + 0.2 ´ (1-0.798) = 0.4404 当et= -1 时， Ln(ht) = a0 + 0.4 ´ (-1) + 0.2 ´ (| -1 | - 0.798) = -0.3596 现在令a1 f= -0.4，a1g = 0.2。标准新息et= ±1。与前面相比只改变了a1 f的符 号，其他值不变。 当et= 1 时， Ln(ht) = a0 - 0.4 ´ 1 + 0.2 ´ (1-0.798) = -0.3596 当et= -1 时， Ln(ht) = a0 - 0.4 ´ (-1) + 0.2 ´ (| -1 | - 0.798) = 0.4404 这时负的新息有较大影响。可见a1 f是一个重要参数，它可以改变利好和利坏消 息的作用大小。当a1 f = 0 时，利好和利坏消息的作用无差别。 注： ARCH 模型的非对称性 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com