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微分方程模型 浙江大学数学建模实践基地
s3.1微分方程的几个简单实例 在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较 为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题, 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方程是十分常 用的数学工具之
§3.1 微分方程的几个简单实例 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较 为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一
例1(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微 分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。 6+8=0 (3.1)的 (3.2) 近似方程 e(0)=0,6(0)=6 (32)的解为:(=0 cost 其中 当t=时,0()=0 故有 V142 由此即可得出 T=2丌 图3
例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微 分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg = − sin 从而得出两阶微分方程： 0 sin 0 (0) 0, (0) g l + = = = （3.1） 这是理想单摆应 满足的运动方程 （3.1）是一个两阶非线性方程，不 易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可 考察（3.1）的近似线性方程： 0 0 (0) 0, (0) g l + = = = （3.2） 由此即可得出 2 g T l = （3.2）的解为: θ(t)= θ0 cosωt g l 其中 = 当 时,θ(t)=0 4 T t = 4 2 g T l 故有 = M Q P mg l 图3-1 （3.1）的 近似方程
例我巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇,并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形: 敌潜艇发现自己目标已暴露后,立即下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B 为极点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程 为厂=(0),见图3-2。 Al 由题意=2,故ds=2dr 图3-2可看出,(ds)2=(dh)2+(rlb) 6 B A 图3-2
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形： 敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程 为r=r(θ)，见图3-2。 B A A1 dr ds dθ θ 图3-2 由题意， 2 ，故ds=2dr ds dr dt dt = 图3-2可看出， 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ds dr rd = +
故有:3d)2=r2(d)2 即:c==d √3 (3,3) 解为:r=Ae(34) 追赶方法如下: 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按(3.4) 对数螺线航行,即可追上潜艇
故有: 2 2 2 3( ) ( ) dr r d = 即: 3 r dr d = （3.3） 解为： 3 r Ae = （3.4） 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4） 对数螺线航行，即可追上潜艇。 追赶方法如下：