最大值、最小值问题 在生产实践中,为了提高经济效益,必须要 考虑在一定的条件下,怎样才能是2用料最省, 费用最低,效率最高,收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面:最值 的存在性;最值的求法 假定f(x)在[a,b上连续,除去有限个点外 处处可导,且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f(x)在a,b1上的最值 的求法
最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性 ；最值的求法。 假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f( x )在[ a , b ]上的最值 的求法
最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在[a,b 上必存在最大值和最小值 其次,若最大值(或最小值)在开区间内取得, 则这个最值一定是极值,由假定,这个点一定是 驻点或不可导点;此外最值也可能在区间的端点 处取得,故求连续函数在闭区间上最值的方法是 0 a
一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f( x )在[ a , b ] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是 o x y o x y a b o x y a b a b
步骤 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; Jmnx=max{f(a),f(c1)…,f(cm),f(d1),…,f(ln),f(b)} mn 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值)
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; max ( ), ( 1 ), , ( ), ( 1 ), , ( ), ( ) (min) max (min) y = f a f c f cm f d f dn f b 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
、应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,41 上的最大值与最小值 解:∫(x)=6x+2)x-1) 解方程∫(x)=0,得x1=-2,x2=1 计算∫(-3)=23;f(-2)=34; f(1)=7; f(4)=142; 例2求f(x)=x3-(x2-1)3在[-2,2上的最值 2 解(x)=x3-(x 2-1)3.2x 3
二、应用举例 例1 解 f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) = 7; f (4) = 142; 例2 求 ( ) ( 1) 3在[ 2,2]上的最值 1 3 2 2 f x = x − x − − 解 f x x (x 1) 2x 3 1 3 2 ( ) 3 2 3 2 1 = − − − −
2(x2-1)3-x 3 rr 令f(x)=0得驻点x=±(x2-1=-x2) 2 易知,在x=0,x=土1处∫(x)不存在 这些点处的函数值为: f(0)=1f(士)=43 f(±1)=1f(±2)=43-3 比较以上各点处的函数值可知
3 2 3 2 1 3 4 3 2 2 ( 1) ( 1) 3 2 − − − = x x x x 令 f (x) = 0 得驻点 2 1 x = ( 1 ) 2 2 x − = − x 易知，在x = 0, x = 1处 f (x)不存在 这些点处的函数值为： 3 1 3 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 4 3 ) 4 2 1 (0) 1 ( = = − = = f f f f 比较以上各点处的函数值可知