于是，量子光场态/山（t）》就可以用相互作用表象下的薛定方程来描述(t) = -v(t)(t)V(t) = Jj(r,t) . A(r,t)d3r形式上有dt'V(t')[(0))[(t)) = exp九0(A(r,t)=-iZkekEkake-ivkt+ik.r +H.c.将V（t）具体形式代入可得dt'V(t')exp(αkat - aiak)exp其中αk是c数drek ·j(r,t)e-ivkt+ik.r
7 l 于是，量子光场态|�(�)⟩就可以用相互作用表象下的薛定谔方程来描述 1 1& |� � ⟩ = − * ℏ� � |� � ⟩ � � = ∫ �⃗(�⃗,�) + �⃗ �⃗,� �!� 形式上有 |� � ⟩ = exp − � ℏ . ! " ��# � �# |� 0 ⟩ 将� � 具体形式代入可得 �⃗ �⃗,� = −� ∑" # $! �"�"�"�%&$!'(&")+⃗ + �. �. exp − � ℏ . ! " ��# � �# = 2 $ exp(�$�$ % − �$ ∗ �$) 其中�$是c数 �$ ∗ = 1 ℏ�$ �$ . ! " ��′ . �� ⃗ �$ < � ⃗ � ⃗ ,� �'()!"*($+-⃗
由上，[山(t))可以写为[Φ(t)) =exp(αka -kak) [b(0)K这里取|山(0)）为光场真空态|0)，在单模光场中，就可以得到相干态：[α) = eαat-a"aj0)其中eαat-αa即为平移算符D(α)相干态就是平移的真空态8
8 l 由上，|� � ⟩可以写为 |� � ⟩ = O ( exp(�(�( " − �( ∗�() |� 0 ⟩ 这里取|� 0 ⟩为光场真空态|0⟩，在单模光场中， 就可以得到相干态： |�⟩ = �45,)4∗5|0⟩ 其中�45,)4∗5即为平移算符� � 相干态就是平移的真空态
D(α) = eαat-α*a平移算符平移算符有如下性质（作业中推一下）D-1(α)aD(α) = a + αD-1(α)atD(α) = at + α*下面证明[α=D(α)[0)与α[α)=α|α)是等价的左乘D-1(α)aD-1(α)a|α) = D-1(α)aD(α)[0) = (a + α)|0) = α|0)再左乘D(α)a|α) = αD(α)[0) = α[α)所以，{α)是a的本征态,本征值为α9
9 平移算符 � � = �45,)4∗5 l 平移算符有如下性质 （作业中推一下） �)! � �� � = � + � �)! � �"� � = �" + �∗ l 下面证明|�⟩ = �(�)|0⟩与�|�⟩ = �|�⟩是等价的: 左乘�)! � � �)! � � �⟩ = �)! � �� � 0⟩ = � + � |0⟩ = �|0⟩ 再左乘� � � �⟩ = �� � 0⟩ = �|�⟩ 所以，|�⟩是�的本征态，本征值为�
2.相干态的表示（作业中推一下）相干态用Fock态表象进行展开[α) = ZnCn/n)Cn可以由如下得到：Z[α) =[n)(n|α) =Cn/n)unum即cn=(n|α)要得到cn具体的表达式，从aα）=αα）开始。先左乘(nl，有(n|a|α) = α(n|α)Vn + 1(n + 1|α) = α(nα)α则Cn+1CnVn+1an相干态的展开系数间有递推关系：Cn=πCo10
10 2. 相干态的表示 （作业中推一下） l 相干态用Fock态表象进行展开 |�⟩ = ∑6 �6|�⟩ �6可以由如下得到： |�⟩ = I6 |�⟩⟨�|�⟩ = I6 �6|�⟩ 即�6 = ⟨�|�⟩ l 要得到�6具体的表达式，从�|�⟩ = �|�⟩开始。先左乘⟨�|，有 � � � = �⟨�|�⟩ � + 1 � + 1 � = �⟨�|�⟩ 则 �6,! = 4 6,! �6 相干态的展开系数间有递推关系：�6 = 4. 6! �8
●将Co用如下方法给出：从[α)=D(α)|O)开始平移算符D(α)=eαat-a'a,eA+B=eAeBe-[A,B/2[α/21α/2Co = (0|α) = (0|D(α)0) = (ole-eαateα*a21Oe其中对平移算符D(α）的展开用到了B-H定律所以an[α/2心Cn=eVn!作为相干态在Fock态上的展开系数，cn/2也是相干态中有n个光子存在的几率幅最后，相干态可表示成qn[a/2Z[α) = e2[n)Vn!11
11 l 将 �8 用如下方法给出：从 |�⟩ = �(�)|0⟩ 开 始 平移算符� � = �/0"%/∗0 ， �21(31 = �21 �31 �% 21,31 /6 �8 = ⟨0|�⟩ = 0 � � 0 = 0 �) 4 7 # �45, �)4∗5 0 = �) 4 7 # 其中对平移算符� � 的展开用到了B-H定律 所以 �6 = �) 4 7 # �6 �! 作为相干态在Fock态上的展开系数， |�6|�也是相干态中有 n个光子存在的几率幅 最后，相干态可表示成 |�⟩ = �) 4 7 # I6 �6 �! |�⟩