f(a) f(8) +1)>(z)2 (, - =)4(s),其中 (a) -,(a), A() 0, 因而t,(30) 0,1<≤ n2.设f是实可微的，且f(）一0,1<v<n.则f(3) f() + Z( 一 x(0)A(a) + (z, - 2(0)A*(3),其中 (0) 0, 1<≤n我们定义[0,如果,一a,(a) -(), 如果—0因为一除在 ()外有界,且lim (3)0.E由此可得,~2(0)名量在%连续但一方面(3) - (0) +2 (%, - 20)A(a) + Z(, - 20)A(8),2=1> f(30) +一 z(0)(, + a,)()（2所以于在如复可微口，下面我们叙述其它的微分公式1。如果在即窦可微、则在面有a. fo-(f)n, 1<μ<n.b. fa-(f)rm, 1≤u≤n.2．如果1在的一个邻域内两次实可微．则在引对全部和μ，有a. /au*. fau*y?b. Iap -- tauy29
C. fa,eu faueg.定理6.3.（链式法则）设B，B,分别是C，Cm中的区域。g =(gi,..,gm):B,→Cm 是满足 g(B,)CB, 的一个映射。 设B，og（）且是B,中的一个复函数。如果所有gu，1≤u≤m都在实可微且f在m实可微，则fog在&o实可微且Go)() -2i(mo) (gn() .+.Z (ta(ms) . ((gu)(a)),titS(fw.(rmo)) . ((gu)s,(80)).::(fog)a(80) Z:tfa(mo) : ((ru)r,(8)).证明：象在实的情况那样，证明可从定义得出。口设BCC"是一个区域，f=(f1，..,f.):B→C是一个实可微映射，则我们定义的复函数矩阵：(tJ, =(t象在实情况中众所周知的那样，我们断言，detJ与通常的函数行列式相一致。一系列行与列的变换对于证明是必要的。我们有f..二计),1(t）+it2如果加第n+列到第列上去，则得?30
(f.十计所以u.rf.+计At从第n十u列减去第μ列，得出(f（iy因此((fu)(foya))Ar2-nid?(f)(.因为f,一g，十i，所以fusu- grrn + ihyru fou- go*y江址fogy gnyu + ihgyu, To9p gopihp将第n+"行加到第行上去，得到(2gn*)(2gyAf-2-ninde(g..一(ga,xn)(ge,y)indet(g)h再由第n十行减去第行，给出(gmra)(gaiu)A- de一）-ihy.((gurn) : (gwyμ)这恰好是实映射F=（g1h）的函数行列式品det Jr.31
$7.全纯映射定义7.1。设BCC是一个区域，g1，..，gm是B上的复函数。g（gi，.，gm）：B→Cm称为全纯映射，如果所有分量函数gu在B中全纯。定理 7.1.设 B,CC,B,CC"是区域，g-(g1,·., gm):B,一→B，是一个映射，则g是全纯的，当且仅当对B，上的每个全纯函数f，fog是B，上的一个全纯函数，证明：设?是一个全纯映射“则所有分量函数g是全纯的，即，对全部和，（g）一0.如果f是全纯的，则对全部u，t一0，fog是实可微的，并且从链式法则，立即可得(fog)a, -Zt. (g)n + Z fa.. (i)n, 0,v-1,..,n口反之,置f(m)= wu,如果条件满足,则 fog(a)= gu(a)。从这个定理可知，如果g：B，→B，是一个全纯映射，且f:B,→C是一个全纯映射，则fog:B,→C是一个金纯映射。定义7.2.设BCC是一个区域，8=（g1，，gm）是一个从B到C的全纯映射．我们称m.为g的全纯函数矩阵。设EB，m一g（3o），f和g如上述，则定理7.2。mog() m,(m0)o,(s).(myot) - (f.og) 2 fo gt证明：口 (,o9g).定义7.3. 设 BCC是一个区域，g-(gi,·,gn):B→C2是一个全纯映射，M，detm，称为g的纯函数行列式，132-
定理7.2蕴含：定理7.3.设记号如上述，且令m=n一1.则M1。g=M，M..一个全纯映射的复函数行列式有下列形式：((gvμ）（gwμ)(ghA.-detde0((gvn）（g2n)(g- det((gr*m)) . det((g...,)- det((gv) . det((gn.)) - Idet(g,))]- /M,/',即，它们是实的且非负。这意味着全纯映射是保持定向的：定义7.4。设B1，Bz是C"中区域.映射g：B→B，称为双全纯的（双方可逆全纯的）如果a.g是双射的，且!b.g和g是全纯的定理7.4。.设BCC"是+个区域，gB→C"是一个全纯映射。令 EB且 -g().则有开邻城UU()CB和V一Vm)CC"，当且仅当M，（Bo）*0使得g:U→V是双全纯的。证明：1.有开邻域U，V，使得g:U→V是双全纯的．则1 Mia,(80) M,-i(mo) . M g(30),因而M（）丰02.g是连续可微的，且函数行列式M，是连续的．如果M0）0，则存在一个开邻城W二W（）CB使M，W+0于是A，W≠0且g在30是正则的（在实的意义下）有开邻域UU(）CW，VV（mo）,使得g:U→V是双射的且g-（gi，，g）是连续可微的。gog-1Vidy是一个全纯映射。由此可得.33