fIP, ch(fIT) 且 tu(/2(],..,1o)位于B中口（1）和（2）蕴含着BGo定理5.4。设GCC"是一个正常的Reinhardt域，↑在G内全纯。存在一个在G内收效的幕级数 B8(3)一a"满足(a) B(a), 8EG.证明：如果EG，则存在一个满足|<|，j一1·,n的EG.所以加EP...对&EP令ach(f[T.,)(s) m系数a，是关于的Taylor级数的系数，它们不依赖于.由于是任意的，由此可知f关于o的Taylor级数在整个G中收敛，它定义一个全纯函数g，g与f在原点附近重合。由唯一性定理，在G上tG.定义5.1.如果GcC是一个正常的Reinhardt域，则GU.P+称为G的完全包.reGhca附注1.G是开的2.GCG.如果EG,则存在 a,E GnC"，使得 EP,CG3.G是一个 Reinhardt 域。设oEG,EGnC,EP,,则 T,CP,CG.4. G 是完全的。 设E GnC,rE GnC,加E P,, 则 P,CP,CG.3.由性质（1）到（4),G是最小的，设GCG,G，是一个完全的Reinhardt域如巢eGnC，则P,CG.因此，GCG.G是包含G的最小的宪全域，且有下述重要的定理定理5.5.设G是一个正常的Reinhardt域，f在G内全纯，则恰有一个在G中的全纯函数，满足FGf证明：由定理5.4，在G中我们能写作 24 :
a)这个级数仍然在G上收敛，且实际上收敛于一个全纯函数F，显口然FIG一f.延拓的唯一性，可从恒等定理得出。对于n≥2,可以在C中选择集合G和G,使得G≠ G.这构成一个与单复变函数论的重大差别，在那里对每个域G，存在G上的-个全纯函数，它不能延拓到任何正常的上域（superdomain）中去.在结束这一章之前，我们举二个关于=2的具有G≠G的这样一对集合（G，G）的重要例子。设P（aEC:lal<1)是关于原点的单位多圆柱，且D(3EC:≤Izl <1,1l ≤q), 0<q<1, 0<q<1.则 H-P-D是一个正常 Reinhardt 域,且 A-U P,- P.EHB配对（P，H）称为一个Eaclid Hartogs图。它们在绝对空闻中的像见下图：这里单复变和多复变函数论之间的基本区别是这样→个Har-μafH同q1图5.在C中的EucldHariugs图
togs图在C中不存在，我们已经注意到，在C中Reinhardt域是开圆盘和圆环，所以C.中的正常Reinhardt域是一个开圆盘，即是一个完金的Reinhardt域。：因此G不是G的一个正常上集合(超集）。s6.实和复可微性设MCC*是一个集合，f是M上的一个复函数。在每一点EM有一个唯一的表示f(3）一Ref30）+imf(）。所以能够由g(r,p) -Re f(a),h(r,n) - [m f()定义M上的实函数g和h，其中一+i.因而我们写作：fg+i.定义6.1.设BCC"是一个区域，f一g十谁是B上的一个复函数，是B的一个点。f称为在品实可微的，如果多和金是（实)可微的实可微性意味着什么？如果g和都是可微的，则g(c, 9) g(to, 0) + Z (r, - x(0)a(r, d)1+ Z(y, y)a**(t, b), (1)(t, ) h(co, 0) + Z (, - x(0) μ(r, )+ 2(y, - y)**(r, b);其中，α**，β，β**都是B上的实函数，它们在（0，%）连续而且a(t0, 0) gx,(r0, 0),a**(t03 90) g9,(t0* %) :26
β(t0, 0) hz.(10,.0),β**(ro, to) -- hy,(c0, o).综合这些方程有：：(2) (3) f(80) + 2 (r, - 20)△*(8) *+2 (g, 0)△**();这里,一+，**一*+**在连续，且其中A*(0) m gz,(80) + ihz,(30) fx,(c0),A**(80) g,(30) + ih,,(30)f,,(s0),定理6.1.设BCC是一个区域，加EB是一个点，f是B上一个复函数。则在是实可微的，当且仅当存在B上的函数A,，它们在连续，且在B中满足下述方程：(3) f(s) 二 f(30) +2 ( 二 z(0)A(a)2(, - 2)4(8).V-1证明：1.设f在实可微，利用方程一[(z, 20) +(2, 2)]x,—r0)2和1[(, 80) — (2, 二 2(0)], 2i则有(2, 2(0) *(a) - i**(3)>f(3) f(s) +2(三, 一 2(0) *(8) + i**(3) 2如果我们定义27
A* -iA*+和+*A22则(3)式成立。2. 设(a)一f(o) + 2(0)A(s)2(3, 20)A*(0),+A,A"在 2o连续。 方程 ,-(△*一**)/2,A(A+**)/2以矩阵形式表示成(≤)-±.(则detA一2iΦ0.这表示方程关于*和，A**可解.这个解函数满足（2）；（1）可从分解（2）成实部和虚部得出，因为函数α，α**，，*在点是唯一确定的,所以对于函数△，△"来说同口样也是成立的。现在我们记：fz,(80) -- (0) -—[fe,(0) 二 f,(),2fn,(80) A"(80) -_[f,(z0) + if,(c0)1.:nt定理6.2，设BCC是一个区域，加EB，1是B上一个复函数。则f在是复可微的，当且仅当f在品是实可微的且）-0，1<v<n.（这意味着Cauchy-Riemann微分方程组必须满足：gxyhyyhx--gyri1<<n.)证明：1. 设 f(s) f(s0) + Z (z, 一 z(0)A,(a), A,() 在连续·28