0-(g.0g-1)a·g+免Igo,&对每个μ，1<u<n，我们得到一个线性方程组：T0m.因为detm，0，所以对所有a和μ只有平凡解：g0。它在整个V上成立，所以Cauchy-Riemann微分方程组满足且g-1是全纯的。定理7.5设BCC是一个区域，g一（g1，，g）全纯且在B中是一对一的：则在整个B上，M，0.这个定理在实的情况是不成立的，例如是一对一的，但其导数y=3在原点为0这里我们将不给出定理7.5的证明。（在R.Narasimhan所著"Several Complex Variables", Chicago Lectures in Mathema.tics，1971的第五章的定理5中，能找到这个证明）。定理7.6.设B,CC是个区域，g:B,→C是一对一且全纯的则B,g(B）也是一个开集合且g-1:B，→B是全纯的证明：1.设moEB，则存在-个EB,满足g(30）mo从定理7.5知，在B，上M，0,因而有开邻域U(）CB,Vm）CC,使得g:U-V是双全纯的.但另一方面，V-g(U)Cg(B)B;即m是一个内点。2.从（1），对每个%EB，有一个开邻域V(m）CBa使得口g-V是全纯的。34
第二章全纯域51.连续性定理在本节和下一节中，我们将系统地讨论全纯函数的解析延拓问题.设P=(C":1al<1)是单位多圆柱，1,.,9m,0<<1,1≤v≤n是实数.则对2<μ<n我们定义：D(aEP：1/ ≤g且9μ≤/l <1, DU D,且H- P- D- (P- D).则HEP:1z>q或/2l<q, 2≤μ≤(ER:q1<1IU(BEP:12/<qu,2<μ<n)(P,H）称为一个“在C中的EuclidHartogs图".H是一个正常Reinhardt域，P是它的完全包。定义1.1设（P,H）是C中的一个EuclidHartogs图，g一..,gn):P-C"是一个双全纯映射,令 = g(P),H一g(H),(gl.则（P，H）称为一个一般的Hartogs图我们对n一3直观地说明这个概念，EuclidHartogs图在绝对空间中如图6所示，以后在C中我们将采用下面的符号表示。（实际情况要复杂得多，）定理1.1.设（P，H）是C中一个一般Hartogs图，f在中全纯。则恰有P上的-~个全纯函数，满足Ff.证明：设（P，H)(g(P),g(H))，g:P→C#是双全纯的则fog在H中全纯，且由第一章定理5.5.在P上恰有一个金梦
z1图6.在C3中的EuclidHartogs图g图7．一般Hartogs图的符号表示纯函数F*满足F*H一fog.令F=F*og-，则F在P中全纯，FIHf，且从F*的唯一性可得延拓的唯一性。定理1.2.（连续性定理）设BCC"是一个区域，(P,H）是满足HCB的一个一般Hartogs图，f是B内的一个全纯函数。如果PnB是连通的，则f能够唯一地延拓到BUP因为在内全纯，所以在P中恰有一个证明：满足Hf的全纯函数.设
(P,A)图8.连续性定理的说明If()，BEB,F() lf(3),BEP因为BnP是一个域且fIH一fIH，由此可知从恒等定理）F是BUP上的一个完全确定的全纯函数。显然FIBf.延拓的唯口一性是慎等定理的一个进一步的推论。连续性定理是所有进一步研究的基础。定理1.3.设n≥2P=(s:1z<1)是单位多圆柱，0≤r<1, 1,,n, P8: z,1 ≤, 对所有 且G-．则G上每一个全纯函数都能够唯一地开拓为P上的一个全纯函数.证明：1.显然,G是一个区域。如果（"),·,),-1,2给定,则点(α),s）也位于G中。对于=1,2，我们能够在环面上连接与(）.定义:1→C如下：(）（(t),.., z()),其中 z(()=2+t.(max(1z(,1z(@-+),a- 1, 2, 1,..,n. 显然[2(l≥1t>r,v 1,n，因此,@EG,tE1,a1,2.设10P,(2t)(2p(2 -- 2t),\1
Jzzlt图9。定理1.3.的证明甲连结（a）与（）.因而G是连通的，因此G是一个域2.对21,,n设E-EC:1<1].选择满足<|<1的EC,且令T(zn) - 2n - 2)s g(zs,*o.,2m) m (21,...,2a-1,T(2m))1gP→P是一个满足g（0，，）0的双全纯映射。如果UU(%)C(EC:<J21.<1)是一个开邻域,则 E××E-) × UCG, 因此EwX ...× E(X T(U)Cg(G). 选择实数q1.,qs,满足<g.<1,v-1,,n一1和{W.[W.l <q.CT(U),则H- (mEP:qi< IWl)U(mE P:W,l <qμ-μ-2,..,n)包含在g(G)中且（P，H）是一个EuclidHartogs图。令Pg-(P) - P 且 H g-(H),则 (P, H) 是一个适合 HCG 的一般Hartogs图。此外，PnGG连通。现在从连续性定理就可得-38