目录引言特征与 Gaus 和第一章L多1.特征1S$2.Gauss和24第二章特征和估计与大筛法，32321最简单的特征和估计52.经典的特征和均值估计342多3．大筛法·4，新的特征和均值估计·49第三事函数与L函数的中值公式555551，些引理·$2.5函数的四次中值公式，6.353、L函数的四次中值公式6754.L函数的二次中值公式.毓四章零点分布（一）7.41.函数与L函数的零点密度估计1822、函数零点密度估计的改进第五章线性素变数三角和估计91$1，BHHorpanoB方法9110352.零点密度估计方法+1093.复变积分法多4对小9的线性素变数三角和估计115119第六章三数定理1.Goldbach问题中的圆祛11912232.非实效方法·12853.实效方法1.奇数表为三个几乎相等的奇素数之和133
55.N名++136第七章SELBERG筛法.·:148SI.筛函数148多2.最简单的Selberg上界筛法154.≤ 3.函数 G(,2)和G,()159$4.筛函数估计的两个基本定理1705 5.函数 F(u)和(u)17556.Jurkat-Richert 定理183第八章算术数列中素数分布的均值定理2005I.Bombieri-BHHorpaao定理20652.一类新的均值定理209..+225第九章陈景润定理-51命题{1,2].….225238多2.D（N）上界估计的改进253第十章零点分布（二）253S1.L函数的若干引理.门2572.Turin方法26293.L函数非零区域的扩展27354.L函数在直线α1附近的零点密度估计279第十一章 Goldbach 数 (一).2791.E（）的初步估计.287$2.B(*）的进一步估计$3.小区间上的Goltbach数306.A313Goldbach 数(二)第十二章2314-1.一些引理32052.定理的证明.n参考文献324:2u
引言gi1742,年，德国数学家ChristianGoldbach（1690—1764）在和他的好朋友、大数学家LeonhardEuler（1707-1783）的几次通信中，提出了关于正整数和素数之闻关系的两个推测，用现在确切的话来说，就是：（A）每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；（B）每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。这就是著名的Goldbach猜想。我们把猜想（A）称为“关于偶数的Goldbach猜想”，把猜想（B）称为"关于奇数的Goldbach猜想”由于2n + 1 ± 2(n-1) + 3,所以，从猜想（A）的正确性就立即推出猜想（B）亦是正确的，Euler虽然没有能够证明这两个猜想，但是对它们的正确性是深信不凝的，1742年6月30日，在给Goldbach的一封信中他写遵：我认为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。Goldbach猜想提出到今天已经有237年了，可是至今还不能最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料，都表明这两个猜想是合理的，这种合理性以及猜想本身所具有的极其简单，明确的形式，使人们和Eiler一样，也不由得不相信它们是正确的，因而，二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数学工作者和数学爱好者，特别是不少著名数学家的注意和兴趣，并为此作出了艰巨的努力，但是，直至本世纪，对这两个猜想的研究才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是，（1）1937年，苏联数学家H.M.BIHorpanoBL132)证明了：每一个1）例如，Shea MokKang验证了想（A)对于所有不翅过33×10°的偶数是正确的
充分大的奇数都是三个奇素数之和；（2）1966年，我国数学家陈景润18证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和，这是两个十分杰出的成就，BaHorpaⅡOB的结果基本上证明了猜想（B）是正确的）.所以，现在说到Goldbach猜想时，总是只指猜想（A），即关于偶数的Goldbach猜想.下面我们简要地谈一谈研究Goldbach猜想的历史，从提出Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中，然许多数学家对它进行了研究，但并没有得到任何实质性的结果和提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证，提出一些简单的关系式或一些新的推测(见L，E.Dickson：Histo-ry of theTheory of Numbers,，421--425)总之，数学家们还想不出如何着手来对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意义的探讨。但我们也应该指出：古老的筛法，以及在此期间内Euler，Gauss，Dirichlet，Riemann，Hadamard等在数论和函数论方面所取得的辉煌成就，为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础。1900年，在巴黎召开的第二届国际数学会上，德国数学家DHilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中，提出了二十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题，作为今后数学研究的主要方向，并期待在这新的一个世纪里，数学家们能够解决这?些难题，Goldbach猜想就是Hilbert所提出的第八问题的一部分。但是，在此以后的一段时间里，对Galdbach猜想的研究并未取得什么进展1912年，德国数学家E.Landau在英国剑桥召开的第五届国际数学会上十分悲观地说：即使要证明下面较弱的命题（C），也是当代数学家所力不能及的：1）后来，BopO3JK"具体计算出，当奇数N≥160"时，就一定可以表为三个奇素数之和。ca16.是一个比10的400万次方还要大的数（目前知道的最天素数是Mersenpe素数231ror二1，这只是一个6533位数）。而对于如此巨大的数字，我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说，猜想（B）是否一定成立，所以，BHHorpanoB是基本上解决了猜想（B）
(C）存在一个正整数，使每一个≥2的整数都是不超过充个素数之和,1921年，英国数学家G，H.Hardy在哥本哈根数学会作的一次讲演中认为：Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个。就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者没有意识到对Goldbach猜想的研究正在开始从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破，这就是：1920年前后，英国数学家Hardy，Littlewood和印度数学家Ramanujan所提出的“圆法”[41]42]；1920年前后，挪威数学家Brun[9】所提出的"筛法”;以及1930年前后，苏联数学家IIlHHpeJbMaz(109)所提出的“密率”，在不到50年的时间里，沿着这几个方向对Goldbach猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数论和其它一些数学分支的发展，(一)圆法首先我们来谈谈圆法，从1920年开始，Hardy和Littlewood以总标题为《Some problemsof"Partitio.numerorum"》发表了七篇论文，在这些文章中，他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的一个辑新的分析方法。其中1923年发表的第II，V二篇文章就是专门讨论Goldbach猜想的L42]。这个新方法的思想在1918年Hardy和Ramanujan[41的文章中已经出现过．后来人们就称这个新方法为Hardy-Littlewood-Ramanujan 圆法。对于Goldbach猜想来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，由于积分c(ma)dα=ll, m= 0;(1)10，m午0，公其中e（）一znx，所以方程N-p+pPsp≥3(2)的解数