对于n-2,已经有一个反例设G=C,M-(,z2)EG:22 ± 01, f1(21,22) 32 g(21,32), f2(21,22) ± 22 + h(21, 22),其中g和h在整个C上全纯。则flMfJM，但对于gh，f+！定理4.1.（全纯函数的恒等定理）设GCC"是一个域，且在G中f,fi全纯，设BCG是一个非空区域，适合lB一lB.则lGfG.证明：设Bo是集合(aEG：f(a）f(a))的内部，且Wo=G一Bo。因为BCBo,所以B。≠@.由于G是连通的，所以只要证明W。是开的，由此立知B。一G.让我们假设W。包含一个点80，它不是一个内点，则对于每个关于30的具有PG的多圆柱P,PnB±@.设rER,且P:zz<:dist(a，）<r）是这样一个多圆柱令P' = (3:dist'(8,80) <r/2]CP,则也有P'nB@选择一个任意点aEP'nB且置P*=a:dists，3）<r/2).显然3oEp*而P*CP（三角不等式）。因此，P*CPCG.设a,(s - )"和 f() - b( - 1)*.(3) -(是和在P*中的Taylor级数展开式。因为在EBo的邻域内，f一2，所以对所有有b，（系数由函数唯一确定，参考定理3.8)。因此lP*lP*且P*CBo.由此得oEBo，矛口盾.定理4.2.（幕级数的恒等定理）设GCC是一个域，0EG，且Zan",ba"是两个在G中收敛的幂级数。如果存在一个s>0,使得在U(0)CG中a"-≥ bs"，则对全部,a,b
证明：设()a8,g(s)=688eG.由定理3.6，和g在G内全纯，又由可微性给出：O++"afn8(0) =0vl :vn!:ar0211...0z'Ozid.·口因此a-b.s5.在Reinhardt域中的展开在这一节，我们将详细研究C”中一些域的性质。设,是实数，满足0<r<,1<v<n.选定r=(..,r.)EV,使得对所有v,有r,<r,<.则T,i:lz,lr，对所有)是一个n维环面。我们定义H=(:r<1z,l<,对全部))P=ta:1zl<r,对全部.显然H和P都是Reinhardt域。Jzalrzr图3．在Reinhardt城中的展开设f是H中的全纯函数，则对所有rEr（H)，ch(fIT.）是P,一11！<，对所有中的一个全纯函数（因而更不必说在P中七是全纯的）?20
命题。g:P × r(H)→C, 其中 g(a,t) - ch(flTt)(a), 乌无关.我们有证明：dEom!ds.ch(fI Tr)(a) -glr 5m 3,Jiem--lr-15.-1 8g-d5+(51,...,5.).1E1=r5121对每个,1≤≤n,我们有;<-l,因此≠,因而被积函数在圆环1<上全纯，并且从一个变量的Cauchy积分公式可知,如果r（r,...,r.）E(H）且r（r.r*)Et(H),则f(5, .f(51, -,52) d5, .,5) dsi5专lisjieri5; -3j口这就得出命题，定理5.1..设GCC"是个域,且E(一(,..,.)EC,其中,0则集合GG一E也是C中的个域证明：1.E是闭的，所以C一E是开的，因而G!-Gn(C一E）也是开的。此外，E不包含内点。2.我们把点EC"写作形式（1，），其中EC-1.现在令 80 一(21,3*(0)) EG,且设 U:(0) = U.((°) ×U'(*(0)是 30的一个邻域。我们证明U,一E还是连通的，设一（"，*W）和 2-（22,*(2)）是U一E中的任意两点。然后定义(。*W），显然3EU一E。U（2(%）是%平面上的一个开圆盘，且U（）一（0)仍然连通。因此，存在一个路径P连接和，且整个路径位于U（2）（0）内；自然，也存在一个路径中连接*() 和 *(2),且它位于 U'(3*(0))内。现在我们由w(t)(t),*w）和w()（z(),))定义路径wi，W。则w，连接和，w，连接和，且它们的合成在U一E中连接和。因此U:一E是连通的.21
t30.图4.定理5.1的证明3.令，"EG一E，且设?是G内任意一个连结和"的路径.由于?(）是紧的，所以它能够由有限多个适合U,CG(a一1，·.·的多圆柱U·.U所覆盖.！引理。存在一个80,使得对所有适合1"<的马l）和）位于相同的多圆柱U中。证明：设有适合|4一→0的序列（），（）E1，使得Φ（），q（）不位于相同的多圆柱U中存在（），（）的收敛子庄列）（）令t-Hmt-lim如果po)EU，则存在一个满足(V)CU的开邻域VV()Cl.则对几乎鉴部N有e和EV，因此(t,)EU，且p(i,)eV这是宁个牙盾，它证明了这个引理，”现在让6适当选取，且0±t<<<1是I的一个划分4满足-<1,.设=),且V,是包含-的多圆柱（可能对≠i有V一Vi,）由构造j-位于VnV中，所以VnVi-i总是一个非空开集，实际上，nE#o，1，我们用在V一E内部的条路径P1连结8EV-E和点EVnVE由(2)，这悬可能的，其次，我们用在V一E内部的一条路径P连结.和点VnV，E，如此继续，最后，设?是一E内的一条路径，它连结和一".22
V一E.路径的合成在G—E中就连结"和"定理5.2．设G是C中的一个域，F-（8（21,.)C"：至少有一个，使一01则Go一G一E.也是一个域证明：对每个μ，1≤μ≤n，Gμ=G一Eμ是连通的，这里E-t.,）eC*p一0f还可妖定理通过简单的坐标置换得到。显然,BUB;因此G-((G 二E)-E)..-E,由普通的归纳证明可得出这一命题.定理5.3.设GCC*是一个正常Reinhardt域，f在G上全纯EGnC则ch(fIT）在原点的一个邻域与f重合。我们有G。-r(GnC)C(rEV:r,+0,i-1,1证明：n1.Go是一个域：ja.GnCn是一个Reinhardt域，因此，由定理I2。.G-r(GnCn) 是开的.b.如果，是G中的点，则存在点GnC满足)一，=1,2，如上所述，Gn℃"是域，所以在GnC"中存在一条路径，它连结和则to是G中的一条路径，宅连结r和2.令.E:SB=rEGo:chflT）在0的邻近和f重合..B是开的：如果ro6.BCGop，则有一个邻域U(ro)CGo，它能够被写成t(H)．这可以从本节初我们选择集合t(H)的方法得到设PP(0）是相应的多圆柱：则对aEP和rEU(to)，有 ch(fIT)()-ch(f/T)(a)此外g().ch(fIT)(a)是上的一个全纯函数由于rEB，它与f在原点附近重合因此，U(ro)CB..FSb.W=Go一B是开的：证明类似于.a..★C.B≠の：有一个关于0的多圆柱P，适合PCG.则:3: