中收敛的幂级数证明：为简单起见，我们只考虑两个变量的情况。设T#f()EC:115固定（)EP那么[<,1z/<,因而9,—（18,1/r)<1,1,2.因此qi控制J，i-1,2,并且vj-011(51— 21)(52 22)5..5221-1-3(2().2()")店：对（5，专）ET绝对且一致收敛。特别是允许任意置换各项，所以素2() ()5.5.在T上也一致且绝对收敛。因为h在T上是连续的，T是紧的，所以h在T上是一致有界的,I≤M。从而,对固定的(z,)EPh(51,52)1.25,5).()(2(51 21)(5, 22) 5152在T上绝对且一致收敛。并且我们能够交换求和及求积分的次序：h(51,52)() =ssJT (5, 21)(52 - 22)Za· (). ((5n) 5,d5,VeV22appap2r,Vp"2=0其中(f(55) d5id5.ap.rJt口对于每个一(z,z2)EP，这个级数收敛。定理3.3.设BCC"是一个区域，在B复可微。则f在B.14
中全纯。证明：设EB．为了简单起见我们假设0，则存在一个关于3的多圆柱P，使得PCB.设T是P的特征边界，从定理3.1，fIPch(T)，因为fT是连续的，所以从定理3.2f在是全纯的.口定理3.4.设BCC是一个区域。1在B中全纯，是B中个点.如果PCB是一个关于3的多圆柱，PCB，那么存在个幂级数B(z）a,(%),它在整个P上收敛于f证明：如果f全纯于B中，则fIPch(fIT），其中T表示P的特征边界。从定理3.2，↑P在所有P上能够被展开成为一个幕级数.口定理3.5.设函数序列（t）在区域B上一致收敛于t，且所有，在B中全纯则f在B中全纯。：证明：设80EB：又，我们假设和0.设P是一个关于的多圆柱,其中 PCB. 令 (,.,)EP.N()-(—%)（5,一z）在T上连续且N（）≠0，因此，1/N(）也在T上连续，且存在一个MER，使得在T上/1/N（)I<M，因为（f）在T上一致收敛于f,所以对每个80存在一个 V =V(8),使得对任何≥V在整个T上有f，一fl<8/M.但另一方面±1. If,-fl<6,因此，f,/N在T上致收敛于f/N，且能够交换积分和极限的次序。f(P , lim(t,[P) - limch(f,[T) - ch(lim(f,/T)) ch(fIT).由于所有t，在T上连续，所以f在T上连续。从定理3.2可知t口在原点全纯。定理3.6。设(3)a是一个形式幂级数，G是B() 15:
的收敛域。则t,f(a)=B(a)在G中全纯证明：设是所有重指标一（,,,）的集合，1oS是一个有限子集。显然，多项式乙a"在整个C上全纯。VEl.设点EG,P是一个关于的多圆柱，PCG.B()在P上一致收敛于f(3).如果令8=1/h，EN，则在每种情况，都存在一个有限集1Cs，使得对任何满足1CIcS的有限集1，在P的所有点上，有：Z a* - f(a)]<81对于t-Za"，我们得知fu是全纯的并且对每个kEN，在P的所有点上，f一fl<1/k.因此（f）在P上致收敛于f.从定理3.5知，在P中全纯，特别地在和全纯。定理3.7.设f在区域B上全纯。则所有偏导数t.，1≤n，也在B内全纯如果PB是一个中心在原点的多圆柱，且在P上f(a，则在P上f(a) -Za, * vr i.2证明：1.设PCB，3EPnC。则存在一个MER，使得对所有，lail<M，其中a"是f在P内的幂级数展开。如果0<q<1,-q·，则a被M·g所控制.现在-(，.，），其中乎0，1.·，，由此可得vi·laar.2n-21名形式地.16
Zvq-Eq")...(Zv,)..( g"对μ→i,≥q是一个几何级数，因而收敛。对μ一i,由比值u判别法：(vj + 1)q'+1.lim+1limg<1D,q'i"i+oviaVi可知>v;q是收敛的。因此级数pi-Mals>. M. ql!一1[z;lo收敛。由比较判别法，级数aw.2在点也收敛，因而在P,收敛。因为P是全部P，的并，所以级数在P的所有点收敛于一个全纯函数gi.2.设f*(s) gi(219*005zj-1, 5, 2/41, **+gz)d5+f(31,...0,...,2).并选择，平面内连结0到；的线段为积分路径，于是*定义在对于 h(a)= a",我们有 (3) h,(3), g;(8)=P上.0≥（h，);(a)。积分路径是P的一个紧子集，且这级数在那里一0致收敛，因而可以交换求和和求积分的次序，而得到+*(s) -Z(1 (h,),(z1**%-,,si+1,*+*8n)dE+h(21..,0,..Z h(3) = f(8).￥0.17
口因此, t,() u,(8) g;(3).我们以归纳我们的结果来结束这节，定理3.8.设BCC*是一个区域，f是B上一个复函数关于于的下列陈述是等价的：a.↑在B内复可微，b.f在B内任意多次复可微，cf在B内全纯．对每个EB，存在一个邻域U，使得在Ua（a一Bo)"．这里a，是“Taylor 级数展开式的系内f(3) 二1#0数”:at(30);agiey0211...02*v!...Va!d.对每个适合PCB的多圆柱P,fIT连续，且fIT ch(fIT).证明：上述结果差不多都已证明，但我们还必须计算系数a，为简单起见，令0和n2在定理3.2的证明中，我们已得到：f(313 22)n(2xi)21+1: 23从关于一个变量的Cauchy积分公式可知f(zt,22).V32f(z)dz1.0)git1Jk,OzV!2元i8*i+*+f口(0, 0).vilva!Ozio*y54.恒等定理与单复变理论不同，下面的定理在C”中不成立：“设G是一个域，MCG在G中有一个聚点，且，在G上全纯，在M上一，那么在G内f”.-18