收敛，所以在P,中（由定理1.i可知）。因此P,CB，由于P,CP,且TCP，可知B是一个完全的Reinhardt域.3.设P*一P，其中是对于如在1）中那样选择的.显然BUP*。现在对每个选择一个具有0<9<1的9，使得&,EB一（1/9)82位于B中。这是可能的，由此可知对于每个EB，(a）在P中一致收敛。如果KCB是紧的，则K能由有限多个口集合P覆盖.所以β）在K上一致收敛问题发生在是否每个完全的·Reinhardt域都是某个幂级数的收敛区域，这是不对的，必须附加必要的性质：我们这里不再深究这件事，由于每个完全的Reinhardt域都是连通的，所以我们能够论及一个幕级数的收敏域，现在我们返回到全纯的概念，设f是在区域B上全纯的函数，是B中一点。设幂级数a(一 )"在的一个邻域上收敛于(s)，则存在一个品E U,使得 z2( ,1 ≤v≤ n,并且 P-()CU. 现在令0<8<min（1一z])，从定理1.1,级数在U(）上一致收敛，对每个VE3，可以把a一）看作是R”上的一个复函数，这个函数显然在连续，从而极限函数在%连继。我们得到：定理1.5.设BCC*是一个区域，且f是B上的一个全纯函数，刚+在B上连续$2.复可微函数定义2.1.设B是一个区域，f:B→C是个复函数.称为在EB复可微的，如果在B上存在复函数A·A，它们在全都连续，且在B内满足等式：f(3) = f(0) + (2, z0)A,(3)
可微性是一个局部性质如果存在一个邻域U一U（）CB，使得U在&点复可微，则B在点复可微，因为函数A，（a)能够延拓到U的外边使得所要求的方程成立。在下述定理成立：，定理2.1.设BCC"是个区域，f:B→C在复可微，则函数在，A，在的值唯一确定.门证明：E，二(3ECn：一0)，a≠以是一个维复平面设B5EC:(s0,.221, 5, e01x0)EE,nB).续(,) 甲 f(2(0),.,*(0152(01,,20))定义了 B,上的一个复函数。由于f在。可微，所以在B，上有+ f+(2+) f(20,+p e$01, R3(+, *(0).f(c0)+(3+ 20): A(220) x *(z0) +(220):A()于是,A*(2n) 一 Ar(z(0),202200）在0连续因此孩(2,)在2c复可微，宜2*(a0)s）是唯一确定口的这对每个都成立！定义2.2设定义在区域BC上的复函数于在EB复可微如果))4（(那么我们称(0)1B为f在关于，的偏导数，且可写作() (a),()(),: Oz设BCC是一个区域，f在B复可微，#定理 2.2.在连续.我们有()() +(,一 2)A,(3)，这个证明：口方程的右边显然在品连续。，，设B二C是一个区域，如果f在B的每一点复可微，则称f在B上复可微。复可微函数的和，积，商（分母不为0）还是复可微的。证明类似于实的情况，这里不介绍它了。10
定理2.3.设BCC"是一个区域，f在B中全纯。则t是B中的复可微函数。证明：设EB，则存在一个邻域UU(3）和一个幕级数习a（一）它在U中一致收敛于)不失一般性，令=0则Ea" - ao-- + 21 .2ann-2...a1=0>1+.Eaaow.n-12..n +v2>1+Z ao-0Vn>1现在，这个分解仅有形式的意义.选择一个形如PU（0）×·XU(0)CU(0)的多圆柱和一点ET(3EC:1则P,=P且EU（如果选择得充分小）.因为≥ai收敛，所以la也收敛。由于e"，所以对所有，！0。因yao此上面表示式的每个在的子级数在P，的内部也绝对且一致收敛，其极限函数是连续的，并记为Ai，,由于（）)+(）+.+),由此可知在复可微。从这个证明，我们可以得到在一点的偏导数的值。因为f(s) =.i.(1 210)1.. (2 +2(0)*,2- 我们得到f(80) a130-09f.,(0) -- 00..01.s3.Cauchy 积分在这一节，我们将寻找全纯函数的另外一些特性。:1:
设r一（，.，r）是绝对空间中一点,其中对所有v，≠0则P=EC"：1<r对所有是一个非退化的关于原点的多圆柱，T（3EC"：ta）)是相应的特征边界。将证明的结果是P上的任意一个全纯函数，可由它在T上的值所确定首先我们必须推广复线积分的概念。设KEC：=re>0固定，0≤6≤2元是复平面中的一个圆，↑在K上连续通常写作f(o)dz - (f(reio) . trie'edo.右边的表示式由定义' g(0) dt - f'Rep(t) dt + f'Imp(o) dt可简化成实积分。现在设ff()在n维环面T（5EC"：（）)上连续那么 h;P× T -→C,()h(s,5) -(51- z)...(5. -8.)也是连续的我们对每个EP定义h(s,5)d5...dE.F(s) md5rdr,m,51~%,J152/mr2523d5n- f(51,..*,5n)...,t,eion)f(r,eidr,... (riee, - zl)...(rneion - z,)ero,+..+on'do....do..X t:F有意义，甚至在P上连续。定义3.1．设P是一个多圆柱，T是相应的n维环面。设1是T上的一个连续函数则由f(E)dEch(f)() + (5, .31)...(5. -- 2.)12:
所定义的连续函数ch(f)：P→C，称为f在T上的Cauchy积分.定理3.1.设BCC是一个区域，P是一个多圆柱，PCB，并且T是属于P的维环面。如果f是B上的复可微函数，则fP=ch(f)T).证明：这个定理是熟知的一维Cauchy积分公式的一个推广。具有（）（51，，,-1,）的函数在B（EC:(5,...,5n-1,)E EnnB)对于固定的（51.,5,-1)ECn-1是复可微的，其中E是平面（aEC"：，，但另一方面，持在B，中全纯，B#是.C中一个开集.K，,EC:151r，包含在B，中，且对于一个单变量的Cauchy积分公式来说(5.) d5n,()115nlsin Sn因此,f(51.....5n) dEn.f(5t,#1，2）2元iKn专#—zn类似地，对于倒数第二位的变量，我们得到f(51,...,5称-1,,f(51,0.,5#-2,2n-1,24)Ea-2ni58-1 2 8-)K.d5n-1117f(51,5n) d52xi/K5a2xiEK2在"步之后得dsrd52f(s,,2) 12ri Jk, E. -JK522.12[...[, (n ds ]...[2元i Jkm5,一za口- ch(fIT)(),定理3.2。设PCC"是一个多圆柱，T是相应的环面，且h是在T上的一个连续函数则fch（h）能够展开成一个在所有P13