a（一）”在一个区域B内部一致收敛，如果级数在B-0的每个紧子集内一致收敛*定义1.4。设BCC"是一个区域，f是B上一个复函数f称为在B中全纯，如果对每个3EB，在B中存在一个邻域UU(so)和一个在U上收敛于f()的霉级数a,(s一o)注意，并不要求在U上一致收敛。现在我们证明为什么逐点收敛就够了。定义1.5.点集V=(r=（r）ER":r≥0,1<n)称为绝对空间,t:C"→V,r()=(I≥l,"！.,lzml)是 C"到V上的一个自然投影V是R”的一个子集，且本身继承从R"到V所诱导的拓扑（相关拓扑.所以：C"→V是一个连续满映射。如果BCV是开的，则T-1(B)CGC也是开的定义1.6.设 rE V+fr(r1,,r)ER":rR>0),ECn,那么 P()=(EC":1z1 <,1 <≤n) 称为具有(多)半径r的关于 的多圆注。 T = T(P)(E C":1%一称为P的特征边界（见图1）(z2/1:t(T)fPT1Jal图1.多圆柱在绝对空间中的像
P一P（）是C中一个凸域，它的特征边界是P的拓扑边界OP的一个子集.对于n=2和&0，情况很容易说明：这时V是R 中的一个象限，(P)是一个开矩形，t(T)是(P)的边界上的一个点．因此T -(EC:lz, rrlz -r) (a (rtei81,rzei8)EC:0<0, <2元,0< 0, <2元)是一个二维环面，类似地，在n维情况，我们得到一个n维环面（n个圆的Descartes积）。如果 EC(3 (,, z)EC":+0, 1<<n),则P=(EC":1l<1,1<≤是一个具有半径r（ri，，r）的关于0的多圆柱。.定理1.1.设E℃，如果幂级数a%”在孔收敛，则它在多圆柱P的内部一致收敛。证明：1.由于级数在收敛，所以集合（a:≥0]有界选择MeR,使得对所有,Ial<M。 如果 rE℃且 0<q<1,则q E ℃ 设p*P, 对3E P*, 13"][21]"]...[,]'n< 1+ 2(0[1...19 . 24p* - q++,. 12(0/p1...[2w]ps - q101-18il,即la·li！，q是a"的一个控制函数，因而#一M·>M.重指标的集合9是可数的，所以存在一个双射@：N。→3.令b,(s)=ao(n) * g(n),则 Z b.(s) 在 P* 绝对且一致收敛,给定 > 0,存在一个 nE N
使得在 p*上 ≥ 1bn(8)] <e. 令1。二0((0,1,2,.…,n,),如30+果是一个满足1CIC的有限集，则0,1，.….，n}C-(1),因此Zb,(s) -E a/-Zb(3) - b,(3) E b(a) /≤ Z 1b()1 <8,对ep* :EN所以Za"在p*-致收敛。2. 设KCP,是紧的。（Pg:0≤9<1)是P,的一个开覆盖，因而也是K的开覆盖，但另一方面存在一个有限子覆盖(Pa."，Pel.如果我们置qmax9，，q)，则KCP，而P与1)中的P*类似。因此≥α"在上一致收敛，定理得证口其次，我们将考察在什么集合上幂级数收敛，为了简单起见，我们选择。一0作为我们展开的点，相应的结论在一般情况也是成立的：，定义1.7。一个开集BCC称为Reinhardt城,如果iE.B- T,-t-t()CB注释T是环面EC*：121z。定义1.7的条件意味着t（B）=B；一个Reinhardt域由它的在绝对空间中的像T(B)来刻划。定理1.2。一个开集BCC是一个Reinhardt域，当且仅当存在一个开集WCV使得B-（W）证明：1. 设 B- t-i(W), WCV 是开的. 因为 aE B, t(a)Ew,因此 t-it(a)Cr-1(W) - B.1)原文将nEN@-()误为nE"(T)译者注6·.iti
2.设B是一个Reinhardt域。那么B=r-r(B)，并且只要证明t(B）是V中的开集就够了.假设T(B)不是开的，则存在一个点rE(B)，它不是T(B)的一个内点,因而是V一t(B)的一个聚点。设（r,)是V一t(B）中收敛于的一个序列，存在具有t,()的3;EC,使得对所有和1<之n有[=由于（）收敛，所以存在一个MER，使得对所有i和p有r<M．因此，序列（a）也是有界的。从而它必有一个聚点和个具有limt(s,）一的子序列（sj,)。因为是连续的，所以B是一个Reinhardt域，由此t(3) limt(sj,) limtj,可得出E-1(r)C-(B）=B.B是的一个开邻域，所以几乎所有i必须位于B中，从而几乎所有i以）必须位于口t(B）中，这是一个矛盾，因而r(B）是开的：一个Reinhardt域在绝对空间中的象总是个（任意形式）R开集，且这个集合的逆象还是这个域。定义1.8.设GCC是一个Reinhardt域。1.G称为正常的，如果。a，G是连通的；b. OEG.2.G称为完全的，如果:1E GnC-P,CG.图2说明定义.1.8.当一2时在绝对空间的情形TzlTal三国2.(a）完全的Reinkaidt 城，（b)正常的Reinhardt城
当n1.时，Reinhardt域是开圆环的并，在这种情况下完全的和正常的 Reinhardt 域之间无差别显然当n>1时，多圆柱和球=+..+R都是正常的和完全的.Reinhardt域。通常我们有定理1.3.每个完全的Reinhardt域都是正常的。证明：设G是一个完全的Reinhardt，域。存在一个点EGn℃，且由定义0EP,CG.剩下是证明G是连通的。a.设EG是一个一般位置的点（即BEGnC)，&和0之间的连接线段整个地位于P内，因而位于G内。b.从在一个“轴”上。由于G是开的，所以存在一个邻域U()CG，并且我们能找到一个点EU.()AC，因此有一个U中的路径连接和和G中的一个路径连接和0：它们一起就给出G中一条连接和0的路径。口从（a）和（b）可得G是连通的设(s）一a"是一个关于原点的幂级数.集合MC，在其上β(3）收敛，则称为B(3)的收敏集。(a)在M中总是收敛的，而在M之外是发散的。B(())一M称为霖级数()的收敛区域。9是C"内一个形式幂级数。则定理1.4。设β(a）收敛区域BB（（）是一个完全的Reinhardt域：$在B的内部一致收敛。证明：1. 设E B, 测U()t8E Cn: 1 - l <e) - U,(2())X..×U（)是一个具有半径（8,..,8）的关于的多圆柱.对充分小的8,U）位于B内，对1，，n，我们能找到eU），使得>设一（，，）,则B31E：对每个点EB选择这样-个固定点32.如果EB，则存在一个具有P的aEB，）在8