数字信号处理实验教程一基于MATLAB语言4.可能用到的MATLAB函数与代码实验中DFT运算可采用MATLAB中提供的函数f来实现。DTFT可以利用MATLAB矩阵运算的方法进行计算e-jn2X(ejn)=x[nle-n [[n, ] x[n, ] ., x[n ](2-7)n=ne-inyQ例E2-1设x(n)=(-0.8)",0≤n≤10，试用MATLAB近似计算其频谱，并绘制其[0,2元]区间的曲线。解：我们在[0,2元|区间上以0.01元进行取样，计算对应频率上频谱的样本值。%Ex_2_1.mn=0:10;x=(-0.8).^n;w=0:0.01*pi:2*pi,X=x*exp(-j*n'*w);subplot(211);plot(w,abs(X);xlabel("Omega/pi');title(Magnitude'),axis tightsubplot(212);plot(w,angle(X)/pi);xlabel(lOmega/pi);title(Phase');axis tight计算得到的频谱曲线如图2-1所示。Magnitude30/元Phase0.230/元图2-1示例信号的频谱四、实验内容1.已知x(n)=(2-1,1,1)，完成如下要求：（1）计算其DTFT，并画出[-元，元]区间的波形。（2）计算4点DFT，并把结果显示在（1）所画的图形中。3
数字信号处理实验教程—基于 MATLAB 语言 3 4. 可能用到的 MATLAB 函数与代码 实验中 DFT 运算可采用 MATLAB 中提供的函数 fft 来实现。 DTFT 可以利用 MATLAB 矩阵运算的方法进行计算 N N jn jn jn N n n n j j n e e e X e x n e x n x n x n 2 1 1 ( ) [ ] [ ], [ ], , [ ] 1 2 （2-7） 例E2-1 设 n x(n) (0.8) ，0≤n≤10，试用MATLAB近似计算其频谱，并绘制其[0,2 ] 区间的曲线。 解：我们在[0,2 ]区间上以 0.01 进行取样，计算对应频率上频谱的样本值。 %Ex_2_1.m n=0:10;x=(-0.8).^n; w=0:0.01*pi:2*pi; X=x*exp(-j*n'*w); subplot(211); plot(w,abs(X));xlabel('\Omega/\pi');title('Magnitude');axis tight subplot(212); plot(w,angle(X)/pi);xlabel('\Omega/\pi');title('Phase');axis tight 计算得到的频谱曲线如图 2-1 所示。 图 2-1 示例信号的频谱 四、实验内容 1. 已知 ( ) {2,1,1,1} x n ，完成如下要求： （1）计算其 DTFT，并画出[ , ]区间的波形。 （2）计算 4 点 DFT，并把结果显示在（1）所画的图形中
数字信号处理实验教程一基于MATLAB语言（3）对x（n）补零，计算64点DFT，并显示结果。（4）根据实验结果，分析是否可以由DFT计算DTFT，如果可以，如何实现。2.考察序列x(n)=cos(0.48m)+cos(0.52m)(1）0≤n≤10时，用DFT估计x(n)的频谱；将x(n)补零加长到长度为100点序列用DFT估计x(n)的频谱。要求画出相应波形。（2）0≤n≤100时，用DFT估计xn）的频谱，并画出波形。（3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。3.已知信号x(t)=0.15sin(2ft)+sin(2，t)-0.1sin(2t），其中f=1Hz，f=2Hz，J，=3Hz。从x(t)的表达式可以看出，它包含三个频率的正弦波，但是，从其时域波形（图E2-1）来看，似乎是一个正弦信号，利用DFT做频谱分析，确定适合的参数，使得到的频谱的频率分辨率符合需要。1.5:0.50.51.5D0.10.20.30.40.50.60.70.80.9图 E2-14.利用DFT近似分析连续时间信号x(t)=e-0.u(t)的频谱（幅度谱）。分析采用不同的采样间隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定适合的参数。五、实验报告要求1.简述实验目的、实验原理、实验内容和实验过程。2.列出完成各项实验内容所编写的程序代码并给出实验结果，程序代码中在必要的地方应加上注释，必要时应对实验结果进行分析。3.总结实验中的主要结论、遇到的问题及解决方法，谈谈你的收获和体会
数字信号处理实验教程—基于 MATLAB 语言 4 （3）对 x(n) 补零，计算 64 点 DFT，并显示结果。 （4）根据实验结果，分析是否可以由 DFT 计算 DTFT，如果可以，如何实现。 2. 考察序列 x(n) cos(0.48n) cos(0.52n) （1）0 n 10 时，用 DFT 估计 x(n) 的频谱；将 x(n) 补零加长到长度为 100 点序列 用 DFT 估计 x(n) 的频谱。要求画出相应波形。 （2）0 n 100 时，用 DFT 估计 x(n) 的频谱，并画出波形。 （3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。 3. 已 知 信 号 ( ) 0.15sin(2 ) sin(2 ) 0.1sin(2 ) 1 2 3 x t f t f t f t ， 其 中 f 1Hz 1 ， f 2Hz 2 ， f 3Hz 3 。从 x(t) 的表达式可以看出，它包含三个频率的正弦波，但是，从其 时域波形（图 E2-1）来看，似乎是一个正弦信号，利用 DFT 做频谱分析，确定适合的参数， 使得到的频谱的频率分辨率符合需要。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 图 E2-1 4. 利用 DFT 近似分析连续时间信号 ( ) ( ) 0.1 x t e u t t 的频谱（幅度谱）。分析采用不同 的采样间隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定适合的参数。 五、实验报告要求 1. 简述实验目的、实验原理、实验内容和实验过程。 2. 列出完成各项实验内容所编写的程序代码并给出实验结果，程序代码中在必要的地 方应加上注释，必要时应对实验结果进行分析。 3. 总结实验中的主要结论、遇到的问题及解决方法，谈谈你的收获和体会
数字信号处理实验教程一基于MATLAB语言实验2利用FFT计算线性卷积一、实验目的1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。3.考察利用FFT计算线性卷积各种方法的适用范围。二、实验设备与环境计算机、MATLAB软件环境。三、实验基础理论1.线性积与圆周卷积设x(n)为L点序列，h(n)为M点序列，x(n)和h(n)的线性卷积为(3-1)y(n)= x(n)* h(n) = x(m)h(n-m)m=-ocyi(n)的长度为L+M-1。x(n)和h(n)的N点圆周卷积为-x(m)h(n-m)R(n)(3-2)y(n)=x(n) @ h(n)= )m=0圆周卷积与线性卷积相等而不产生交叠的必要条件为N≥L+M-1(3-3)圆周卷积定理：根据DFT的性质，x(n)和h(n)的N点圆周卷积的DFT等于它们DFT的乘积DFT[x(n) ? h(n))=X(k)H(k)(3-4)2.快速卷积快速卷积算法用圆周卷积实现线性卷积，根据圆周卷积定理利用FFT算法实现圆周卷积。可以将快速卷积的步骤归纳如下：（1）为了使线性卷积可以用圆周卷积来计算，必须选择N≥L+M-1；同时为了能使用基-2FFT完成卷积运算，要求N=2。采用补零的办法使x(n）和h(n）的长度均为N.(2）计算x(n)和h(n)的N点FFTx(n)FFT→X(k)h(n)FFTH(k)5
数字信号处理实验教程—基于 MATLAB 语言 5 实验 2 利用 FFT 计算线性卷积 一、实验目的 1. 掌握利用 FFT 计算线性卷积的原理及具体实现方法。 2. 加深理解重叠相加法和重叠保留法。 3. 考察利用 FFT 计算线性卷积各种方法的适用范围。 二、实验设备与环境 计算机、MATLAB 软件环境。 三、实验基础理论 1. 线性卷积与圆周卷积 设 x(n) 为 L 点序列， h(n) 为 M 点序列， x(n) 和 h(n) 的线性卷积为 m yl(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) （3-1） y (n) l 的长度为 L M 1。 x(n) 和 h(n) 的 N 点圆周卷积为 y(n) x(n)○N 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Nm h n x m h n m N RN n （3-2） 圆周卷积与线性卷积相等而不产生交叠的必要条件为 N L M 1 （3-3） 圆周卷积定理：根据 DFT 的性质，x(n) 和 h(n) 的 N 点圆周卷积的 DFT 等于它们 DFT 的乘积 DFT[x(n)○N h(n)] X (k)H(k) （3-4） 2. 快速卷积 快速卷积算法用圆周卷积实现线性卷积，根据圆周卷积定理利用 FFT 算法实现圆周卷 积。可以将快速卷积的步骤归纳如下： （1）为了使线性卷积可以用圆周卷积来计算，必须选择 N L M 1；同时为了能 使用基-2FFT 完成卷积运算，要求 N 2 。采用补零的办法使 x(n)和 h(n) 的长度均为 N 。 （2）计算 x(n)和 h(n) 的 N 点 FFT ( ) ( ) ( ) ( ) h n H k x n X k FFT FFT
数字信号处理实验教程一基于MATLAB语言（3）组成乘积Y(k)= X(k)H(k)（4）利用IFFT计算Y(k）的IDFT，得到线性卷积y(n)Y(k)IFFT→(n)3.分段卷积我们考察单位取样响应为h(n)的线性系统，输入为x(n)，输出为y(n)，则y(n)= x(n)*h(n)当输入序列x(n）极长时，如果要等x(n）全部集齐时再开始进行卷积，会使输出相对输入有较大的延时，再者如果序列太长，需要大量的存储单元。为此，我们把x(n）分段，分别求出每段的卷积，合在一起得到最后总的输出。这种方法称为分段卷积。分段卷积可细分为重叠相加法和重叠保留法。重叠保留法：设x(n）的长度为N，h(n）的长度为M。我们把序列x(n）分成多段N点序列x（n），每段与前一段重叠M-1个样本。由于第一段没有前一段保留信号，为了修正，我们在第一个输入段前面填充M一1个零。计算每一段与h(n）的圆周卷积，则其每段卷积结果的前M-1个样本不等于线性卷积值，不是正确的样本值。所以我们将每段卷积结果的前M-1个样本舍去，只保留后面的N-M+1个正确输出样本，把这些输出样本合起来，得到总得输出。利用FFT实现重叠保留法的步骤如下：(1）在x(n）前面填充M-1个零，扩大以后的序列为x(n) = (0,0,..,0,x(n)M-1个(2）将x(n）分为若干N点子段，设L=N-M+1为每一段的有效数据长度，则第i段x,(n）（0≤n≤N-1）的数据为x(n)= x(m)iL≤m≤iL+N-l,i≥0,0≤n≤N-1（3）计算每一段与h(n）的N点圆周卷积，利用FFT计算圆周卷积：x(n)FFTX(k)h(n)FFT→H(k)Y,(k)= X,(k)H(k)Y,(k)IFT→y(n)（4）舍去每一段卷积结果的前M-1个样本，连接剩下样本，得到卷积结果y(n)。重叠相加法：设hn）长度为M，将信号x(n）分解成长为L的子段，建议L选择与的M6
数字信号处理实验教程—基于 MATLAB 语言 6 （3）组成乘积 Y(k) X (k)H(k) （4）利用 IFFT 计算Y(k) 的 IDFT，得到线性卷积 y(n) Y(k) y(n) IFFT 3. 分段卷积 我们考察单位取样响应为 h(n) 的线性系统，输入为 x(n) ，输出为 y(n) ，则 y(n) x(n) h(n) 当输入序列 x(n) 极长时，如果要等 x(n) 全部集齐时再开始进行卷积，会使输出相对输 入有较大的延时，再者如果序列太长，需要大量的存储单元。为此，我们把 x(n) 分段，分 别求出每段的卷积，合在一起得到最后总的输出。这种方法称为分段卷积。分段卷积可细分 为重叠相加法和重叠保留法。 重叠保留法：设 x(n) 的长度为 Nx ，h(n) 的长度为 M 。我们把序列 x(n) 分成多段 N 点序列 x (n) i ，每段与前一段重叠 M 1个样本。由于第一段没有前一段保留信号，为了修 正，我们在第一个输入段前面填充 M 1个零。计算每一段与 h(n) 的圆周卷积，则其每段 卷积结果的前 M 1个样本不等于线性卷积值，不是正确的样本值。所以我们将每段卷积结 果的前 M 1个样本舍去，只保留后面的 N M 1个正确输出样本，把这些输出样本合起 来，得到总得输出。 利用 FFT 实现重叠保留法的步骤如下： （1）在 x(n) 前面填充 M 1个零，扩大以后的序列为 ˆ( ) {0,0, ,0, ( )} 1 x n x n M 个 （2）将 x(n) 分为若干 N 点子段，设 L N M 1为每一段的有效数据长度，则第i 段 x (n) i （0 n N 1）的数据为 xi(n) xˆ(m) iL m iL N 1，i 0， 0 n N 1 （3）计算每一段与 h(n) 的 N 点圆周卷积，利用 FFT 计算圆周卷积： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y k y n Y k X k H k h n H k x n X k i IFFT i i i FFT i FFT i （4）舍去每一段卷积结果的前 M 1个样本，连接剩下样本，得到卷积结果 y(n)。 重叠相加法：设 h(n) 长度为 M ，将信号 x(n) 分解成长为 L 的子段，建议 L 选择与的 M
数字信号处理实验教程一基于MATLAB语言数量级相同。以x（n）表示每段信号，则x(n)=2x(n)1=0,0≤n≤L-1x(n+iL)x(n)=0其它x(n)* h(n)= x,(n)* h(n)i=0每一段卷积y（n)的长度为L+M-1，所以在做求和时，相邻两段序列有M-1个样本重叠，即前一段的最后M-1个样本和下一段的前M-1个序列重叠，这个重叠部分相加，再与不重叠部分共同组成输出y(n)。利用FFT实现重叠保留法的步骤如下：（1）将x(n)分为若干L点子段x(n)。（2）计算每一段与h(n)的卷积y,(n)，根据快速卷积算法利用FFT计算卷积。（3）将各段y（n）（包括重叠部分）相加，得到输出y（n）y(n)=Zy(n-iL)i=04.可能用到的MATLAB函数实验中FFT运算可采用MATLAB中提供的函数ft来实现。MATLAB提供了函数conv用来计算线性卷积，实验中可以将编程计算的结果和conv函数的计算结果相比较，以验证结果的正确性，conv函数用法如下x和h为要进行卷积运算的两个序列，y为卷积结果。y= conv(x,h)统计程序运行时间可以利用MATLAB提供的tic和toc两个命令，具体用法如下：tic.需要运行的程序代码toc即，在需要统计运行时间的程序代码之前加上tic命令，之后加上toc命令，此时会在命令窗口中显示该程序的运行时间，例如将下列代码写入一个m文件并执行ticA=[1,2;3,4];B=[5,6;7,8];x=A/B;toc命令窗口中显示Elapsedtimeis0.000058seconds7
数字信号处理实验教程—基于 MATLAB 语言 7 数量级相同。以 x (n) i 表示每段信号，则 0 ( ) ( ) i x n xi n 0 1 0 ( ) ( ) ，其它 x n iL ， n L xi n 0 ( ) ( ) ( ) ( ) i x n h n xi n h n 每一段卷积 y (n) i 的长度为 L M 1，所以在做求和时，相邻两段序列有 M 1个样 本重叠，即前一段的最后 M 1个样本和下一段的前 M 1个序列重叠，这个重叠部分相加， 再与不重叠部分共同组成输出 y(n)。 利用 FFT 实现重叠保留法的步骤如下： （1）将 x(n) 分为若干 L 点子段 x (n) i 。 （2）计算每一段与 h(n) 的卷积 y (n) i ，根据快速卷积算法利用 FFT 计算卷积。 （3）将各段 y (n) i （包括重叠部分）相加，得到输出 y(n) 0 ( ) ( ) i i y n y n iL 4. 可能用到的 MATLAB 函数 实验中 FFT 运算可采用 MATLAB 中提供的函数 fft 来实现。 MATLAB 提供了函数 conv 用来计算线性卷积，实验中可以将编程计算的结果和 conv 函数的计算结果相比较，以验证结果的正确性，conv 函数用法如下 y = conv(x,h) x 和 h 为要进行卷积运算的两个序列，y 为卷积结果。 统计程序运行时间可以利用 MATLAB 提供的 tic 和 toc 两个命令，具体用法如下： tic .需要运行的程序代码 toc 即，在需要统计运行时间的程序代码之前加上 tic 命令，之后加上 toc 命令，此时会在 命令窗口中显示该程序的运行时间，例如将下列代码写入一个 m 文件并执行 tic A=[1,2;3,4];B=[5,6;7,8]; x=A/B; toc 命令窗口中显示 Elapsed time is 0.000058 seconds