例3证明:如果向量a,B,y线性无关, 则向量a+B,B+y,a+y也线性无关 证明设k(a+)+k2(B+y)+k3(a+y)=0, 整理得(k1+k3)a+(k1+k2)B+(k2+k3)y=0 已知a,β,y线性无关,故必有 k1+k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0 解之得k=k2=k3=0.三元一次方程组只有零解 所以a+B,B+y,a+y线性无关
例3 证明: 如果向量 α , β ,γ 线性无关， 则向量 α+β , β+γ , α+γ 也线性无关. 证明 设 k1 (α+β ) + k2 (β+γ ) + k3 (α+γ ) = 0, 整理得 (k1+k3 ) α + (k1+k2 ) β + (k2+k3 ) γ = 0 已知 α , β ,γ 线性无关 , 故必有 k1+k3 = 0, k1+k2 = 0, k2+k3 = 0. 解之得 k1= k2= k3= 0 . 三元一次方程组只有零解. 所以 α+β , β+γ , α+γ 线性无关
线性组合 定义35设a1,02,…,an和是m+1个n维 向量,如果存在一组数k,k2,…,k使 =k1a1+k2a2+…+ 则称β为a1,a2…,an的线性组合,或称B可由 线性表示
二、 线性组合 定义 3.5 设 α1 , α2 , ···,αm和 β 是 m+1个 n 维 向量, 如果存在一组数 k1 , k2 , ···, km 使 β = k1α1 + k2α2+ ···+ kmαm , 则称 β 为 α1 , α2 , ···,αm 的线性组合，或称 β 可由 α1 , α2 , ···,αm 线性表示