第五章特征值问题及二次型 要求: 1)理解矩阵特征值特征向量的概念:掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法 2)理解相似矩阵的概念及性质,掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3)理解向量的内积与正交的概念:掌握向量组正交化过程:理解正交矩阵的概念。 4)理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质:会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 5)了解二次型及其矩阵表示;了解二次型的标准型。 6)会用正交变换法和配方法化二次型为标准型 7)了解二次型的秩、惯性定理、正定性:掌握正定矩阵的判别。 51矩阵的特征值问题 知识点:矩阵特征值特征向量的概念:计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义1(特征值特征向量)设A是n阶方阵,若存在数λ和非零向量x,使得 Ax=dx 则称A为A的特征值,称x为A的属于(或对应于)的特征向量。有时也称(,x)是A 的特征对 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量⊙总满足(1)式,但6不是特征向量。 (1)可写成 (I-A)x=8 设A=(an),对于固定的,(2)是关于x的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是 (3)
77 第五章 特征值问题及二次型 要求： 1）理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。 2）理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3） 理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。 4）理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 阵。 5）了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。 6）会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。 7）了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。 5.1 矩阵的特征值问题 知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义 1 （特征值特征向量）设 A 是 n 阶方阵，若存在数 和非零向量 x，使得 A x = x (1) 则称 为 A 的特征值，称 x 为 A 的属于(或对应于) 的特征向量。有时也称（ ，x）是 A 的特征对。 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量 总满足(1)式，但 不是特征向量。 (1)可写成 (I − A) x= (2) 设 A =( ij a )，对于固定的 ，(2)是关于 x 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 I − A = n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 =0 (3)
(3)是关于A的一元n次方程,称为方阵A的特征方程,而它左端的n次多项式 f(4)=f()=-4 称为A的特征多项式。表明A的特征值是特征方程(3)的根或f4()的零点。n次多项式恰 有n个零点,故n阶方阵A恰有n个特征值。但需注意两点: )n个特征值中有可能是相同的,称为重特征值,即是f(4)=0的重根。如单位矩阵 2)即便A为实方阵,其特征值也可能是复数。例如/0 则 10 22+1 A的特征值为λ=±√-1=±i.但根据多项式理论,实矩阵的复特征值是成对出现的 定理1设礼,2…是A-n)的n个特征值,则 °)∑λ 2)∏14=|4 证明由条件-4=(2-1)A-2)…(A-) (4) 2-C∑4)m+…+(-1)”∏4 另一方面,由行列式定义,|/-4中含有”的只有一项: d1=(2-a1)-a2)…(-am)= 且在-4中,-也只出现在d中,故1°)成立:在(4)式中令=0,2°)成立 推论1方阵A可逆当且仅当它的特征值全不为0。 定理2设是A=(an)的特征值,5是对应的特征向量,则
78 (3) 是关于 的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程，而它左端的 n 次多项式 f () = () A f = I − A 称为 A 的特征多项式。表明 A 的特征值是特征方程(3)的根或 () A f 的零点。n 次多项式恰 有 n 个零点，故 n 阶方阵 A 恰有 n 个特征值。但需注意两点： 1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是 () A f = 0 的重根。如单位矩阵。 2）即便 A 为实方阵，其特征值也可能是复数。例如 A = − 1 0 0 1 ，则 I − A = 1 1 − = 1 2 + . A 的特征值为 = −1 = i. 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。 定理 1 设 n , , , 1 2 是 A = ( ) n n aij 的 n 个特征值，则 1º) = = = n i n i i aii 1 1 = trA 2º) A n i i = =1 . 证明 由条件 I − A = ( )( ) ( ) 1 2 − n − − （4） = = − = − + + − n i i n n n i i n 1 1 1 ( ) ( 1) 另一方面，由行列式定义， I − A 中含有 n 的只有一项： = − − − = − − + = 1 1 1 11 22 ( )( ) ( ) n n i i i n d a a an n a 且在 I − A 中， n−1 也只出现在 1 d 中，故 1º)成立；在（4）式中令 = 0 ， 2º）成立。 ■ 推论 1 方阵 A 可逆当且仅当它的特征值全不为 0。 ■ 定理 2 设 是 A = ( ) n n aij 的特征值， 是对应的特征向量，则
1)ξ不再是其它特征值的特征向量 2)(2,5)是A的特征对:进一步,(o(4),5)是()的特征对,其中 q()=a0+a1+…+a,2,(A)=a01+a14+…+a,A 3)若A可逆,则(12,5)是A-的特征对 证明1)假设5=A2=1,A≠H。故(4-1)5=,因为5≠6,A={,矛盾。 2)由A25=25,类似可得A=5,这表明(,)是A4的特征对。进一步有 (A)5=(a0I+a1A+…+a,A)=(a0+a14+…+a32°)5=p(1)5 3)若A可逆,则4≠0。由A5=A,可得A5=(1/A)2 定理3设51,523…,5m分别是A的属于互不相同的特征值A1,A2,…,m的特征向量,则 51,52,…,m线性无关。 证明归纳法。当m=1,结论成立(因51≠)。设m=k时结论成立,当m=k+1,设 a151+a252+…+ak5k+ak+15k1=6, 则A(a151+a1252 ak+5k+)=6,即 a14151+a2252+…+akk5k+ak+1k+15k4=b (2) 将(1)式乘以入41,再减去(2)式得 a1(+-1)1+a2(4+1-2)2+…+a4(+1-A1)k=6 因为51,52,…5线性无关,故a1(4k+1-1)=0,而入+1≠1,所以a1=0,(i=1,2,…,k) 代入(1)式,得ak15k=0因为k1≠日,所以ak1=0,故51,52,…5k线性无关 例1求A=121的特征值和特征向量
79 1） 不再是其它特征值的特征向量； 2）（ k ， ）是 k A 的特征对；进一步，（ () ， ）是 (A) 的特征对，其中 s s s () = a0 + a1 ++ as ,(A) = a0 I + a1A ++ a A 。 3）若 A 可逆，则（ 1/ ， ）是 −1 A 的特征对。 证明 1）假设 = A = ， 。故 ( − ) = ，因为 ， = ，矛盾。 2）由 2 A 2 = ，类似可得 k k A = ，这表明( k , )是 k A 的特征对。进一步有 (A) = ( 0 1 ) s a I + a A ++ as A =（ s a0 + a1 ++ as ) =() . 3）若 A 可逆，则 0 。由 A = ，可得 (1/ ) 1 = − A . ■ 定理 3 设 m , , , 1 2 分别是 A 的属于互不相同的特征值 m , , , 1 2 的特征向量，则 m , , , 1 2 线性无关。 证明 归纳法。当 m =1 ，结论成立（因 1 ）。设 m = k 时结论成立，当 m = k +1 ，设 a1 1 + a2 2 ++ ak k + ak+1 k+1 = ， （1） 则 A(a1 1 + a2 2 +ak k + ak+1 k+1 ) = ，即 a11 1 + a22 2 ++ akk k + ak+1k+1 k+1 = （2） 将（1）式乘以 k+1 ，再减去（2）式得 a1 (k+1 − 1 ) 1 + a2 (k+1 − 2 ) 2 ++ ak (k+1 − k ) k = 因为 k , , , 1 2 线性无关，故 ai (k+1 − i ) = 0 ,而 k+1 i ，所以 ai = 0 ，(i = 1,2, , k) . 代入（1）式，得 ak+1 k+1 = .因为 k+1 ，所以 ak+1 = 0 ，故 1 2 1 , , , k+ 线性无关。 ■ 例１ 求 A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 的特征值和特征向量
解令-4(2-4)-1x-2-1=(2-4(2-13=0,=4,3==1 对于1=4,解(41-A)x=,得a1=1属于1=4的特征向量全体为ka1 对于石2=A1=1,解(-A)x=0,得无关的a2=1,a3=0.属于石 的特征向量全体为k2a2+k3a3(k2,k3不全为0) 例2求A=-430的特征值和特征向量。 解令1-4=(-2)(A-1)2=0,A1=2,石=2 对于1=2,解(21-A)x=,得a=0。属于1=2的特征向量全体为ka。 对于2=1=1,解(-A)x=0,得B=-2。属于2=2=1的特征向量为kB (强调:对于重特征值,有可能有重数个线性无关的特征值,也有可能没有。) 例3若A=A满足A2=1,证明:A的特征值只能为±1。 证明设(,)为A的特征对,则5=A25=25,于是(1-2)=O,故λ=±1 例4已知A=A3,且/-A,2/-A和3/-A均不可逆。 1)证明:I+2A可逆 2)求4和m4 证明1)由条件知|-4=0,|21-4=0,3-4=0,故1,2,3均为A的特征值, 所以-不是A的特征值。因而+24=2(-51-A=(-2)-51-4≠0
80 解 令 I − A = ( − 4) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 − − − − − − = ( − 4) 2 ( −1) =0，1 = 4，2 = 3 =1. 对于 1 = 4 ，解 (4I − A) x = ，得 = 1 1 1 1 . 属于 1 = 4 的特征向量全体为 1 k 。 对于 2 = 3 =1 ，解 (I − A) x = ，得无关的 − = 0 1 1 2 ， − = 1 0 1 3 . 属于 2 = 3 =1 的特征向量全体为 2 2 33 k + k .（ 2 3 k , k 不全为 0） 例２ 求 A = − − 1 0 2 4 3 0 1 1 0 的特征值和特征向量。 解 令 I − A = ( − 2) 2 ( −1) = 0，1 = 2，2 = 3 =1. 对于 1 = 2 ，解 (2I − A) x = ，得 = 1 0 0 .。属于 1 = 2 的特征向量全体为 k 。 对于 2 = 3 =1 ，解 (I − A) x = ，得 − − = 1 2 1 。属于 2 = 3 =1 的特征向量为 k 。 （强调：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征值，也有可能没有。） 例３ 若 A = Ann 满足 A = I 2 ，证明： A 的特征值只能为 1。 证明 设( , )为 A 的特征对, 则 2 2 = A = , 于是 (1− ) = 2 ，故 = 1。 例４ 已知 A = A33 ，且 I − A， 2I − A 和 3I − A 均不可逆。 1）证明： I + 2A 可逆。 2）求 A 和 trA. 证明 1）由条件知 I − A = 0， 2I − A = 0， 3I − A = 0 ，故 1，2，3 均为 A 的特征值， 所以 2 1 − 不是 A 的特征值。因而 0 2 1 ) ( 2) 2 1 2 2( 3 I + A = − − I − A = − − I − A
2)由定理1知4-4=123=6.mA=∑a=∑=1+2+36 52相似矩阵 知识点:相似矩阵的概念与性质,矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义2(相似矩阵)对于n阶方阵A,B,若存在可逆阵P,使P-AP=B,则称A相 似于B,记作A~B.(P称为相似变换矩阵) 三条性质 i)A~A.(自反性) ⅱ)若A~B,则B~A.(对称性) ⅲi)若A~B,B~C,则A~C.(传递性) 例5若A~B,则r(A)=r(B) 证明若A~B,则PAP=B.因为P可逆,故P=PP…P。于是有 P1…P2PAPP2…P=B表明A与B等价。故r(A)=r(B) 例6(可作为习题证明:若A~B,则 (i)A-B (i)(A)~(B),((4)是A的多项式) 证明由A~B,成立P-AP=B.故 (i)Bk=P-AP,即A~B (ⅱ)设9(4)=anm+an1m-+a1A+a0,有 p(B)=a B Bm-+∴+a,B =P-(a,A"+amA-+a,A+aoI)P=P-(A)P, EpP(A)-(B)
81 ２）由定理 1 知 A = 1 2 3 6 3 1 = = i= i . trA== n i ii a 1 == 3 i 1 i =1+2+3=6. 5.2 相似矩阵 知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义 2 （相似矩阵）对于 n 阶方阵 A, B ，若存在可逆阵 P ，使 P AP = B −1 ，则称 A 相 似于 B ，记作 A ～ B .（ P 称为相似变换矩阵） 三条性质： ⅰ） A ～ A .（自反性） ⅱ）若 A ～ B ，则 B ～ A .（对称性） ⅲ）若 A ～ B ， B ～C ，则 A ～C .（传递性） 例 5 若 A ～ B ，则 r(A) = r(B). 证 明 若 A ～ B ， 则 P AP = B −1 . 因 为 P 可逆，故 P = P1P2 Ps 。于是有 Ps P P AP P Ps = B −1 2 −1 1 −1 1 2 .表明 A 与 B 等价。故 r(A) = r(B). ■ 例 6 (可作为习题)证明：若 A ～ B ，则 （ⅰ） k A ～ k B ； （ⅱ） (A) ～(B) ，（ () 是 的多项式） 证明 由 A ～ B ，成立 P AP = B −1 . 故 （ⅰ） k B = P A P −1 k , 即 k A ～ k B . （ⅱ）设 () = 1 0 1 a a 1 a a m m m m + + + − − ，有 (B) = a B a B a B a I m m m m 1 0 1 + 1 + + + − − = P a A a A a A a I m m m m 1 0 1 1 1 ( + + + − − − )P = P (A)P 1 − , 即 (A) ～(B)