《线性代数》第四章 线性方程组

第四章线性方程组 要求 1)理解线性方程组有解定理及等价条件;理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件; 2)理解齐次线性方程组解的结构、基础解系的概念;掌握用初等变换求齐次线性方程组的 (通)解的方法; 3)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;掌握用初等变换求非齐次线性方程组的 (通)解的方法。 41线性方程组有解的条件 知识点:方程组有解定理及其等价条件 aux,+aux+.+a,x,=b x1+a2x2+…+a2nxn=b2 am,+amx,+.+amx,=b 称作为n元非齐次线性方程组。其矩阵形式为 Ax=阝 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 若β=0,即 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 amx,+am2x2+.+amn,=o 称其为方程(1)对应的齐次线性方程组。其矩阵形式为Ax=6 相容方程组(有解),不相容方程组(无解)或为矛盾方程组 讨论方程组(1)有解的条件 记A=(αx1,…αn),其中a1=(a1a2,…,an),则方程组(1)可等价写成向量形式 x1+…+xn∝n=阝。 如此方程组(1)是否有解的问题转变为:β能否由ax1…On线性表示的问题。 由方程组的向量形式(3)可见,方程组(1)有解的充分必要条件是β可由A的列向量组

65 第四章 线性方程组 要求： 1） 理解线性方程组有解定理及等价条件；理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件； 2）理解齐次线性方程组解的结构、基础解系的概念；掌握用初等变换求齐次线性方程组的 （通）解的方法； 3）理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用初等变换求非齐次线性方程组的 （通）解的方法。 4.1 线性方程组有解的条件 知识点: 方程组有解定理及其等价条件.        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， (1) 称作为 n 元非齐次线性方程组。其矩阵形式为 A x =  若  =  ，即        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     ， (2) 称其为方程(1)对应的齐次线性方程组。其矩阵形式为 A x =  。 相容方程组（有解），不相容方程组（无解）或为矛盾方程组。 讨论方程组（1）有解的条件。 记 ( , , ) A = 1  n ，其中 T i a i a i ami ( , , , )  = 1 2  ，则方程组(1)可等价写成向量形式： x11 ++ xnn = 。 (3) 如此方程组(1)是否有解的问题转变为：  能否由  n , , 1  线性表示的问题。 由方程组的向量形式(3)可见，方程组(1)有解的充分必要条件是  可由 A 的列向量组

a1…∝n线性表示,也即向量组a12…n与向量组α1,…αnβ等价。这也等价于 秩{1,…,n}=秩{1…an,B},即ramk(A)=rank(4) 定理1对于线性方程组Ax=β,下列命题等价: (1)Ax=β有解(或相容) (2)β可由A的列向量组∝1…∝n线性表示 (3)向量组∝1…∝n与向量组x1,…,n,β等价; (4)rank(A)=ramk(A)。 在线性方程组Ax=β有解的前提下,考虑其解的不同情况。设r(A)=r(A)=r,则 b 初等行变换…anc a 0 00 得同解方程组 an1x1+…+amxn=C (I)ramk(A)=r=n时,由 Cramer法则知方程组(4)(即(1))有唯一解xo (Ⅱ)当r(A)=r<n时,不妨设x1,…,x的系数行列式不为零,把(4)可改写为 a1x1+…+a1rx=C1-41r+xx+1- 对任意取定的值 代入(5)可得唯一解 则x0为(5)的解,即为(1)的解。 因为x,1…xn可任意取值(称x,1…,x为自由变量),故(1)有无穷多解

66  n , , 1  线性表示，也即向量组  n , , 1  与向量组 1 ,  ,n , 等价。这也等价于 秩 { , , } 1  n = 秩 { , , , } 1  n  ，即 rank(A) = rank(A) . 定理 1 对于线性方程组 A x =  ，下列命题等价： (1) A x =  有解（或相容）； (2)  可由 A 的列向量组  n , , 1  线性表示； (3) 向量组  n , , 1  与向量组 1 ,  ,n , 等价； (4) rank(A) = rank(A) 。 在线性方程组 A x =  有解的前提下，考虑其解的不同情况。设 r(A) = r(A) = r ，则                                   = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                   r r n r n m mn m n a a c a a c b b a a a a A 初等行变换 得同解方程组       + +  =  + +  = r rn n r n n a x a x c a x a x c    1 1 11 1 1 1 （4） （I） rank(A) = r = n 时，由 Cramer 法则知方程组(4)（即（1））有唯一解 x0 （II ）当 r(A) = r  n 时， 不妨设 r x , , x 1  的系 数行 列式 不为 零， 把(4) 可改 写为       + +  = −  − −   + +  = −  − −  + + + + r r r r r r r r r n n r r r r n n a x a x c a x a x a x a x c a x a x      1 1 , 1 1 11 1 1 1 1, 1 1 1 （5） 对任意取定的值      = + = + 0 0 1 1 n n r r x x x x  ，代入(5)可得唯一解      = = 0 0 1 1 r r x x x x  ，则 x0 为(5)的解，即为(1)的解。 因为 r n x , , x +1  可任意取值（称 r n x , , x +1  为自由变量），故 (1)有无穷多解

定理2(有解定理)线性方程组(1)有解的充分且必要条件是r(A)=r(4);且当 r(A)=r(A)=r=n时,有唯一解;当r(A)=r(A)=r<n时,有无穷多解。 例1判别线性方程组是否有解, x1-X, 2x1+7x2+x3-x4=2 x1+8x2-3x3-4x4=3 1431 解: 27 18-3-43 00002 因为r(A)=2≠r(A)=3,所以该线性方程组无解 例2解线性方程组 x1-x2+2x3=1 2x,+3x,-4x,=4 (1){12x2-x3=2 x2-x3+x4=-3 3x1-x2+5x3=3 3x,-3x4=1 x1-2x2 3x2=4 -7x2+3x3+x4=-3 10 解:(1)1-2-12 013-1 010 153 007 34 0000 001 0000 由阶梯形,r(A)=r(A)=3,故有唯一解。由最简形得唯一解为。 2 01-11-3 010-13 130-31 0-73 00000 因为r(A)=r(4)=3<4,所以方程组有无数解,其解为{x2=3+x4 x2=6+2x 其中x4(自由变量)可以取任何值

67 定 理 2 ( 有解定理 ) 线 性 方程 组 (1) 有解 的 充分 且 必要 条 件是 r(A) = r(A) ；且当 r(A) = r(A) = r = n 时，有唯一解；当 r(A) = r(A) = r  n 时，有无穷多解。 例 1 判别线性方程组是否有解，      + − − = + + − = − + + = 8 3 4 3 2 7 2 4 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：           − − − ⎯→           − − − − = 0 0 0 0 2 0 9 7 7 0 1 1 4 3 1 1 8 3 4 3 2 7 1 1 2 1 1 4 3 1 A 因为 r(A) = 2  r(A) = 3 ，所以该线性方程组无解。 例 2 解线性方程组 （1）        − − = − + = − − = − + = 2 2 3 4 3 5 3 2 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x ； （2）        − + + = − + − = − + = − − + − = 7 3 3 3 3 1 3 2 3 4 4 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 解： （1）               − − − − − − = 2 2 3 4 3 1 5 3 1 2 1 2 1 1 2 1 A               − − − ⎯→ 0 0 0 0 0 0 7 2 0 1 3 1 1 1 2 1 .                   − − ⎯→ 0 0 0 0 7 2 0 0 1 7 1 0 1 0 7 10 1 0 0 由阶梯形， r(A) = r(A) = 3 ，故有唯一解。由最简形得唯一解为。 7 2 , 7 1 , 7 10 x1 = x2 = − x3 = − 。 （2）               − − − ⎯→               − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 1 2 6 0 1 0 1 3 1 0 0 0 8 0 7 3 1 3 1 3 0 3 1 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4 A ， 因为 r(A) = r(A) = 3 < 4，所以方程组有无数解，其解为      = + = + = − 3 4 2 4 1 6 2 3 8 x x x x x ， 其中 4 x （自由变量）可以取任何值

42齐次线性方程组 知识点:齐次方程组有非零解的充分必要条件.基础解系及其通解的计算 、齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 =0 矩阵形式: Ax= e 向量形式: x1+…+xnn=6 齐次线性方程组必有零解(平凡解)。我们关心的是:是否有非零解(非平凡解) 定理3(1)当r(A)=n时,Ax=θ只有唯一零解;反之也成立 (2)当r(4)=r<n时,Ax=0有无穷多解(即有非零解);反之也成立 推论3齐次线性方程组在m=n时,若其系数行列式D=0,则必有非零解。反之也成立(即 Cramer法则 证明因为D=0,则r(A)=r<n,由定理3知,该齐次线性方程组必有非零解。 、齐次线性方程组解的性质 性质1如果x1,x2分别是Ax=0的解向量,则x1+x2也是Ax=6的解向量。 性质2如果x1是Ax=0的解向量,则对任意k∈R,kx1也是Ax=0的解向量 故Ax=0的解向量全体构成了n维向量空间Rn的一个子空间,称为Ax=0的解空间 齐次线性方程组的基础解系 定义1设n1…,n分别是Ax=0的非零解,并且满足 (1)n1,…,n线性无关; (2)Ax=的任一个解n都可由η1,…,n,线性表示 则称n1,…,n为Ax=θ的一个基础解系

68 4.2 齐次线性方程组 知识点: 齐次方程组有非零解的充分必要条件. 基础解系及其通解的计算. 一、齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     矩阵形式： A x =  向量形式： x11 ++ xnn =  齐次线性方程组必有零解（平凡解）。我们关心的是：是否有非零解（非平凡解）。 定理 3 （1）当 r(A) = n 时， A x =  只有唯一零解; 反之也成立。 （2）当 r(A) = r  n 时， A x =  有无穷多解（即有非零解）; 反之也成立。 推论 3 齐次线性方程组在 m = n 时，若其系数行列式 D =0，则必有非零解。反之也成立(即 Cramer 法则). 证明 因为 D =0，则 r(A) = r  n ，由定理 3 知，该齐次线性方程组必有非零解。■ 二、齐次线性方程组解的性质 性质 1 如果 1 2 x , x 分别是 A x =  的解向量，则 x1 + x2 也是 A x =  的解向量。 性质 2 如果 1 x 是 A x =  的解向量，则对任意 k  R, k 1 x 也是 A x = 的解向量。 故 A x = 的解向量全体构成了 n 维向量空间 n R 的一个子空间，称为 A x = 的解空间。 三、齐次线性方程组的基础解系 定义 1 设  t , , 1  分别是 A x =  的非零解，并且满足 (1)  t , , 1  线性无关； (2) A x =  的任一个解  都可由  t , , 1  线性表示； 则称  t , , 1  为 A x =  的一个基础解系

事实上Ax=0的基础解系就是Ax=0解空间的一组基。因此若基础解系为η1…,n 则其线性组合全体k+…+k1构成了Ax=θ全部解。故其解的一般形式可写成 n=kn1+…+k,n,k1,…,k,∈R 我们称其为Ax=0的通解。 当r(A)=n时,Ax=θ只有唯一零解,即解空间v={θ}。故无基础解系。 当r(A)=r<n时,Ax=θ有无穷多解,即解空间V≠{θ}。从而Ax=θ有基础解系。 定理4对于n元齐次线性方程组Ax=0,如果r(A)=r<n,则Ax=0必有基础解系, 且任一个基础解系中必有n-P个解向量n1…nn 证明因为r(A)=r<n,不妨设A的前r个列向量线性无关,于是,A的行最简形为, 10 0b1 b 01 A→00 b…b, B Pr-I 00 B对应的方程组(与原方程组同解)为 1xr+1 b (6) 任意取定x*13x2,…,xn的一组值,可唯一确定(6)的一组解,也就是原方程组的一组解。 现分别取x+1,x+2,…,xn的n-F组值, bu2 由(6),依次可得/ 0)(0 b

69 事实上 A x = 的基础解系就是 A x =  解空间的一组基。因此若基础解系为  t , , 1  ， 则其线性组合全体 t t k11 ++ k  构成了 A x =  全部解。故其解的一般形式可写成  = k11 ++ ktt , k1 ,  , kt  R。 我们称其为 A x =  的通解。 当 r(A) = n 时， A x =  只有唯一零解，即解空间 V = {} 。故无基础解系。 当 r(A) = r  n 时， A x =  有无穷多解，即解空间 V  {} 。从而 A x = 有基础解系。 定理 4 对于 n 元齐次线性方程组 A x = ，如果 r(A) = r  n ，则 A x = 必有基础解系， 且任一个基础解系中必有 n − r 个解向量  n−r , , 1  。 证明 因为 r(A) = r  n ，不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是，A 的行最简形为， b b B b b b b A r r n r n r n r =                       → − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 , 21 2, 11 1,                         . B 对应的方程组（与原方程组同解）为        = − − − = − − − = − − − + − + − + − r r r r n r n r n r n r n r n x b x b x x b x b x x b x b x 1 1 , 2 21 1 2, 1 11 1 1,     （6） 任意取定 r r n x , x , , x +1 +2  的一组值，可唯一确定(6)的一组解，也就是原方程组的一组解。 现分别取 r r n x , x , , x +1 +2  的 n − r 组值， , 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1                                           =               + +      n r r x x x 由(6)，依次可得 , , , , , 2, 1, 2 22 12 1 21 11 2 1               − − −               − − −               − − − =               − − − r n r n r n r r r r b b b b b b b b b x x x     