解由定义 D=∑(-)n"nana2n…am2 只有P1=n的项ana2p2…am,才可能不为零,其它都为零。…因此所有n项中只剩 下一项:ann=an=d1·d2…d。由例1,该项的符号是( 例7利用行列式的定义证明 000 证明由定义D=∑(-1nan2a2n…m2 只有P1取1的项ana2n2…am2才可能不为零,这些不为零的项有(m-1)。当P1取定 为1时,P2…,Pn只能在2,…,n中取值。又由于t(1p2…p4)=r(P2…P4),于是 D=∑(-1)a1a2…amn=a1∑(-1)a2n…am 13行列式的基本性质 知识点:行列式的六大性质两个推论(通过例子介绍性质的应用) a1a12 22 转置行列式行列式D的行与列对应互换得到的新行列式,记作D, 若记D中(位置上的元素为b,即成立b2=an。 性质1D=D 证明记D=deb),则b=an由定义
6 解 由定义 n n p p np n p p p D a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) = (−1) 只有 p1 = n 的项 p p npn a a a 1 1 2 2 才可能不为零，其它都为零。…. 因此所有 n! 项中只剩 下一项： a na n an d d dn = 1 2( −1) 1 1 2 。由例 1，该项的符号是 2 ( 1) ( 1) − − n n 。. 例 7 利用行列式的定义证明 n nn n n n nn n a a a a a a a a a a a a D 1 22 2 11 1 2 21 22 2 11 0 0 0 = = 证明 由定义 n n p p np n p p p D a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) = (−1) . 只有 1 p 取 1 的项 p p npn a a a 1 1 2 2 才可能不为零，这些不为零的项有 (n −1)! 。当 1 p 取定 为 1 时， p pn , , 2 只能在 2, , n 中取值。又由于 (1 ) ( ) p2 p4 p2 p4 = ，于是 n n p np n p p D a a a 2 2 11 2 ( 1)! (1 ) ( 1) − = − = n n p np n p p a a a 2 2 2 ( 1)! ( ) 11 ( 1) − − = n nn n a a a a a 1 22 2 11 1.3 行列式的基本性质 知识点: 行列式的六大性质两个推论（通过例子介绍性质的应用）； n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n T a a a a a a a a a D 1 2 12 22 2 11 21 1 = 转置行列式 行列式 D 的行与列对应互换得到的新行列式，记作 T D ， 若记 T D 中 (i, j) 位置上的元素为 bij ，即成立 bij = a ji 。 性质 1 T D = D 。 证明 记 det( ) ij T D = b , 则 bij = a ji . 由定义
D=∑(-1)hnbn…bm=∑(-1)Pan1a2…an 交换和式中各项an1a2…an,的因子an的位置,使得 假设这些因子经过m次的位置对换而完成。于是P1P2…Pn经m次对换成标准排列 1·2……n同时12…n也是经m次对换成q1q2…qn。(例如a31a12a23=a12a23a31是经两 次位置对换而成的,故312-2+123;同时123-2231)。由推论12,p1P2…Pn与 q1q2…qn有相同奇偶性。故 ∑(-1) AP2"Pna2 (-1)9“)a q1"a= 性质表明,对行成立的行列式性质,对列也同时成立。 性质2任意对换行列式的两行(或两列)元素,其值变号。 证明设D=det(an)。交换第S行与第t行元素,得到的新行列式为 bu b b D b,i b, 其中b=a1(i≠S,1,V),b=a,b=ay,()。于是 D=∑(-1)四…b列…bn…bm,=∑(-1n 甲P ∑(-1) P1…p3…P…Pn) 由定理1,r(p1…P,…P1…pn)=(P1…p1…p,…Pn)±1,从而 D=∑(-1)n'an…an…an…an,=-D 推论2两行(或两列)元素对应相同的行列式,其值为零
7 p p p n n p p p p p np n T p p p n n n n D b b b a a a 1 2 ! ( ) 1 2 ! ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 =(−1) =(−1) . 交换和式中各项 ap11ap2 2 apnn 的因子 p i i a 的位置，使得 ap11ap2 2 apnn = q q nqn a a a 1 1 2 2 。 假设这些因子经过 m 次的位置对换而完成。于是 p1 p2 pn 经 m 次对换成标准排列 1 2 n 同时 12n 也是经 m 次对换成 n q q q 1 2 。（例如 a31a12a23 = a12a23a31 是经两 次位置对换而成的，故 312 123 ⎯2→ ；同时 123 231 ⎯2→ ）。由推论 1.2, p1 p2 pn 与 n q q q 1 2 有相同奇偶性。故 D a a a a a a D n n n n q q nq n q q q p p p n n T p p p = − = − = 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ! ( ) 1 2 ! ( ) ( 1) ( 1) ■ 性质表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。 性质 2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。 证 明 设 det( ) D = aij 。 交 换 第 s 行与第 t 行 元 素 ， 得 到 的 新 行 列 式 为 n n nn n n b b b b b b b b b D 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， 其中 b a ( i s,t, j ), b a , b a , ( j ) i j = i j sj = t j t j = sj 。于是 s t n s t n s t n s t n p t p s p n p n p p p p p s p t p n p n p p p p D b b b b a a a a 1 1 1 1 1 ! ( ) 1 ! ( ) = (−1) = (−1) t s n s t n p sp tp np n p p p p a a a a 1 1 1 ! ( ) =(−1) 由定理 1， ( p1 ps pt pn ) = ( p1 pt ps pn ) 1 ，从而 D a a a a D t s n t s n p sp t p np n p p p p = − − = − 1 1 1 ! ( ) ( 1) 。 ■ 推论 2 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零